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线性代数/矩阵/秩.md

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 >[!tip]
 > 基本证明思路：
-> 矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度。
+> 矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这可以从矩阵的奇异值分解看出来）。
 > - $\text{column rank} = \dim \text{Image}(A) = \dim \{Ax: x\in \mathbb{R}^{n}\}$.
 > - $\text{row rank} = \dim \{x\in\mathbb{R}^{n} : Ax\neq 0\}$.
 
-### 证明一
+### 证明一：线性组合
 
-令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，==其列秩为 $r$==。因此矩阵 $A$ 的列空间的维度是 $r$。令 $c_1, c_2, \cdots, c_r$ 是 $A$ 的列空间的一组基，构成 $m\times r$ 矩阵 $C = [c_1, c_2, \cdots, c_r]$，并使得 $A$ 的每个列向量是 $C$ 的 $r$ 个列向量的线性组合。由矩阵乘法的定义，存在一个 $r\times n$ 矩阵 $R$，使得 $A = CR$。（$A$ 的 $(i,j)$ 元素是 $c_i$ 与 $R$ 的第 $j$ 个行向量的点积。）
+适用于标量域上的矩阵，实数域或复数域皆可。
 
-现在，由于 $A = CR$，$A$ 的每个行向量是 $R$ 的行向量的线性组合，这意味着 $A$ 的行向量空间包含于 $R$ 的行向量空间，因此 $A$ 的行秩 $\leq R$ 的行秩。但 $R$ 仅有 $r$ 行，故 $R$ 的行秩 $\leq r = A$ 的列秩。这就证明了 $A$ 的行秩 $\leq A$ 的列秩。
+令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，==其列秩为 $r$==。因此矩阵 $A$ 的列空间的维度是 $r$。令 $c_1, c_2, \cdots, c_r$ 是 $A$ 的列空间的一组基，构成 $m\times r$ 矩阵 $C = [c_1, c_2, \cdots, c_r]$。则 $A$ 可以写为 $A = [a_1, \cdots, a_n] = [c_1, \cdots, c_r]\begin{bmatrix}t_{11}& \cdots& t_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ t_{r1}& \cdots& t_{rn}\end{bmatrix}\triangleq CT$。
+
+现在，由于 $A = CT$，$A$ 的每个行向量是 $T$ 的行向量的线性组合，这意味着 $A$ 的行向量空间包含于 $T$ 的行向量空间，因此 $A$ 的行秩 $\leq T$ 的行秩。但 $T$ 仅有 $r$ 行，故 $T$ 的行秩 $\leq r = A$ 的列秩。这就证明了 $A$ 的行秩 $\leq A$ 的列秩。
 
 考虑 $A$ 的转置矩阵 $A^T$，则 $A$ 的列秩 = $A^T$ 的行秩 $\leq A^T$ 的列秩 = $A$ 的行秩。证毕。
 
-### 证明二
+### 证明二：正交性
+
+适用于内积空间，实数域或复数域皆可。
 
-令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，==其行秩为 $r$==。因此 $A$ 的行向量空间的维度是 $r$，设 $x_1, \cdots, x_r$ 是 $A$ 的行向量空间的一组基，如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是线性独立的。
+令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，==其行秩为 $r$==。因此 $A$ 的行向量空间的维度是 $r$，设 $x_1, \cdots, x_r$ 是 $A$ 的行向量空间的一组基，如果把这组基当作列向量集看待，则向量集 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是线性独立的。
 
 > 这是因为，对一组标量系数 $c_1, \cdots, c_r$，如果
 > $$
 c_1 Ax_1 + \cdots + c_rAx_r = A(c_1x_1+\cdots+c_rx_r) = Av = 0,$$
-> 其中 $v = c_1x_1+\cdots+c_rx_r$。则可以推出两个事实：（1）$v$ 是 $A$ 行向量空间的线性组合，即 $v$ 属于 $A$ 的行向量空间；（2）由于 $Av=0$，$v$ 正交于 $A$ 的所有行向量，从而正交于 $A$ 的行向量空间的所有向量。两者结合，则 $v$ 正交于自身，这意味着 $v=0$，即 $c_1x_1+\cdots+c_rx_r = 0$，又由于 $x_1, \cdots, x_r$ 是一组基，可知 $c_1 = \cdots = c_r = 0$，故 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是线性独立的。
+> 其中 $v = c_1x_1+\cdots+c_rx_r$。则可以推出两个事实：（1）$v$ 是 $A$ 行向量空间的线性组合，即 $v$ 属于 $A$ 的行向量空间；（2）由于 $Av=0$，则$v$ 正交于 $A$ 的任意一个行向量，从而正交于 $A$ 的行向量空间的所有向量。
+> 上述两点结合，则 $v$ 正交于自身，这意味着 $v=0$，即 $c_1x_1+\cdots+c_rx_r = 0$，又由于 $x_1, \cdots, x_r$ 是一组基，可知 $c_1 = \cdots = c_r = 0$，故 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是线性独立的。
 
 $Ax_i$ 是 $A$ 的列空间中的向量。因此 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是 $A$ 的列空间中 $r$ 个线性独立的向量。所以 $A$ 的列向量空间的维数（$A$ 的列秩）$\geq r = A$ 的行秩。
 
 考虑 $A$ 的转置矩阵 $A^T$，则 $A$ 的行秩 = $A^T$ 的列秩 $\geq A^T$ 的行秩 = $A$ 的列秩。证毕。
 
-### 证明三（证明任意实数域或复数域上矩阵的秩等于其共轭转置的秩）
+### 证明三
 
-令 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，定义 $\text{rk}(A)$ 为 $A$ 的秩，$A^*$ 是 $A$ 的共轭转置。
+令 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，定义 $\text{rk}(A)$ 为 $A$ 的列秩，$A^*$ 是 $A$ 的共轭转置。
 
 首先我们有 $A^*Ax = 0 \Longleftrightarrow Ax = 0$。
 
 > $\Longrightarrow: A^*Ax = 0 \Longrightarrow x^*A^*Ax = 0 \Longrightarrow (Ax)^*(Ax) = 0 \Longrightarrow \|Ax\|_2^2 = 0 \Longrightarrow Ax = 0$；
 > $\Longleftarrow$ 是显然的。
 
-这说明 $A$ 与 $A^*$ 的零空间相同。由[秩－零化度定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9%E2%80%94%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86)，可得 $\text{rk}(A) = \text{rk}(A^*A)$。$A^*A$ 的每一个列向量是 $A^*$ 的列向量的线性组合，则 $A^*A$ 的列向量空间包含于 $A^*$ 的列向量空间，故 $\text{rk}(A^*A)\leq \text{rk}(A^*)$==（此处应用了上述结论：列秩=行秩=秩）==。进而 $\text{rk}(A) = \text{rk}(A^*A)\leq \text{rk}(A^*)$。
+这说明 $A$ 与 $A^* A$ 的零空间相同。由[秩－零化度定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9%E2%80%94%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86)（像空间维度+零空间维度=列向量个数，其中像空间维度即为列秩），可得 $\text{rk}(A) = \text{rk}(A^*A)$。
+
+而 $A^*A$ 的每一个列向量是 $A^*$ 的列向量的线性组合，则 $A^*A$ 的列向量空间包含于 $A^*$ 的列向量空间，故 $\text{rk}(A^*A)\leq \text{rk}(A^*)$。进而 $\text{rk}(A) = \text{rk}(A^*A)\leq \text{rk}(A^*)$。
 
-应用这一结果于 $A^*$，则 $\text{rk}(A^*) = \text{rk}(AA^*) \leq \text{rk}(A)$。证毕。
+应用这一结果于 $A^*$，则 $\text{rk}(A^*) = \text{rk}(AA^*) \leq \text{rk}(A)$，则 $A$ 与 $A^*$ 的列秩相等，后者即为 $A$ 的行秩。证毕。
 
 ## 秩-零化度定理(Rank-nullity theorem)