add NLA/ch1

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_assets_/Template/template-线性代数.md

@@ -3,5 +3,7 @@ tags:
   - 数学
 dlink:
   - "[[-线性代数-]]"
+author:
+  - Hu
 ---
->[!info] 定义
+

线性代数/数值线性代数/--数值线性代数--.md

@@ -0,0 +1,14 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[-线性代数-]]"
+author:
+  - Hu
+---
+# 目录
+```dataview
+LIST
+WHERE file.folder=this.file.folder
+AND contains(dlink,link(this.file.name))
+```

线性代数/数值线性代数/线性方程组的直接解法.md

@@ -0,0 +1,64 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--数值线性代数--]]"
+author:
+  - Hu
+---
+# Ch1 线性方程组的直接解法(Ax=b)
+
+## 1.1 三角形方程的解法
+
+- 下三角形：前代法
+	- 因为第一行只有$a_{11} \neq 0$，所以先解出$x_1$；
+	- 再将$x_1$代入第二行，解出$x_2$。重复以上步骤直至解出$x$。
+- 上三角形：回代法
+	- 因为最后一行只有$a_{nn} \neq 0$，所以先解出$x_n$；
+	- 再将$x_n$代入倒数第二行，解出$x_{n-1}$。重复以上步骤直至解出$x$。
+
+## 1.2 **Gauss**变换与**Gauss**消元法
+
+- **Gauss变换**的形式
+$$
+L_k = \begin{bmatrix}
+1 & & &\\
+& \ddots & &\\
+& & 1 &\\
+& & -l_{k+1, k}\;\;\;\; 1\\
+& & \vdots & \ddots \\
+& & -l_{n,k}& & 1
+\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times n}
+$$
+
+>[!tip] Gauss变换
+>Gauss变换可以看作一个算子。一个特殊的对应的Gauss变换作用于矩阵A，可以将A的第k列转化为$[x_1, x_2, \cdots, x_k, 0, \cdots, 0]^T$.
+
+- 矩阵$A$的三角分解：
+  - 令$L = (L_{n-1}L_{n-2}\cdots L_1)^{-1}, U = A^{(n-1)}$，则$A = LU$；
+  - 其中$L$是下三角矩阵，$U$是上三角矩阵
+- 三角分解之后，$Ax= b \rightarrow LUx=b \rightarrow Ly=b,Ux=y$
+
+## 1.3 选主元三角分解
+
+- 全主元消元法
+  - $U = L_{n-1}P_{n-1}L_{n-2}P_{n-2} \cdots L_1P_1AQ_1 \cdots Q_{n-1}$，其中$P_i, Q_i$均为置换矩阵，$L_i$为Gauss变换。
+  - 也就是说，从正式开始消元之前，就已经选过一轮全主元了。
+- 列主元消元法
+  - 只在当前主元这一列的下方选，如现在主元是$a_{kk}$，那么就是从$\{a_{ik}: k\leq i \leq n\}$中选出绝对值最大的一个，然后进行行交换——也就是说，没有全主元方法中的右端的$Q_i$了。
+  - 也是从第一步消元前就先选了一轮了。
+
+>[!tip] 选主元消去
+>选主元消去是建立在Gauss消元法的基础上的：它在每一次Gauss消去之后，通过对比主元与其他元间的大小进而交换对应的行与列，来确保A的所有顺序主子式均非零。
+
+## 1.4 平方根法(Cholesky分解)
+
+- $Ax=b \rightarrow A=LL^T \rightarrow LL^Tx=b \rightarrow Ly=b,L^Tx=y$
+- 改进的平方根法：$A = LDL^T$，不需要开方运算。
+
+## 1.5 拓展
+
+- 三对角矩阵$\rightarrow$带状矩阵
+  - 追赶法求解三对角矩阵
+- Doolittle分解，Courant分解
+- 求逆的方法：Gauss-Jordan消元，构建增广矩阵（将两个矩阵拼起来）。

线性代数/行列式/--行列式--.md

@@ -3,8 +3,9 @@ tags:
   - 数学
 dlink:
   - "[[-线性代数-]]"
+author:
+  - Hu
 ---
-
 # 目录
 ```dataview
 LIST

线性代数/行列式/行列式性质.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink: []
+---