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321Fontsize · 321Fontsize · commit aa992080abab · 2025-09-16T17:24:21.000+08:00
diff --git a/线性代数/数值线性代数/--数值线性代数--.md b/线性代数/数值线性代数/--数值线性代数--.md
@@ -11,4 +11,5 @@ author:
 LIST
 WHERE file.folder=this.file.folder
 AND contains(dlink,link(this.file.name))
+SORT file.name
 ```
diff --git a/线性代数/数值线性代数/古典迭代法.md b/线性代数/数值线性代数/古典迭代法.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 古典迭代法
 ---
 # Ch4 古典迭代法
 
diff --git a/线性代数/数值线性代数/对称特征值问题的计算方法.md b/线性代数/数值线性代数/对称特征值问题的计算方法.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 对称特征值问题的计算方法
 ---
 
 # Ch7 对称特征值问题的计算方法
diff --git a/线性代数/数值线性代数/敏度分析与误差分析.md b/线性代数/数值线性代数/敏度分析与误差分析.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 敏度分析与误差分析
 ---
 
 # Ch2 敏度分析与误差分析
diff --git a/线性代数/数值线性代数/最小二乘问题.md b/线性代数/数值线性代数/最小二乘问题.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 最小二乘问题
 ---
 
 # Ch3 最小二乘问题(Least Square)
diff --git a/线性代数/数值线性代数/梯度法.md b/线性代数/数值线性代数/梯度法.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 梯度法
 ---
 
 # Ch5 梯度法
diff --git a/线性代数/数值线性代数/线性方程组的直接解法.md b/线性代数/数值线性代数/线性方程组的直接解法.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 线性方程组的直接解法
 ---
 # Ch1 线性方程组的直接解法(Ax=b)
 
diff --git a/线性代数/数值线性代数/非对称特征值问题的计算方法.md b/线性代数/数值线性代数/非对称特征值问题的计算方法.md
@@ -5,6 +5,7 @@ dlink:
   - "[[--数值线性代数--]]"
 author:
   - Hu
+name: 非对称特征值问题的计算方法
 ---
 
 # Ch6 非对称特征值问题的计算方法
diff --git a/线性代数/矩阵/--矩阵--.md b/线性代数/矩阵/--矩阵--.md
@@ -0,0 +1,15 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[-线性代数-]]"
+author:
+  - Hu
+---
+# 目录
+```dataview
+LIST
+WHERE file.folder=this.file.folder
+AND contains(dlink,link(this.file.name))
+SORT file.name
+```
diff --git a/线性代数/矩阵/QR分解.md b/线性代数/矩阵/QR分解.md
@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--矩阵--]]"
+author:
+  - Hu
+name: QR分解
+---
+
diff --git a/线性代数/矩阵/Schur分解.md b/线性代数/矩阵/Schur分解.md
@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--矩阵--]]"
+author:
+  - Hu
+name: Schur分解
+---
+
diff --git a/线性代数/矩阵/正定性.md b/线性代数/矩阵/正定性.md
@@ -0,0 +1,41 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink: 
+  - "[[--矩阵--]]"
+author:
+  - Hu
+name: 正定性
+---
+
+# Positive Definite
+
+>[!info] Definition
+> - 实对称矩阵 $A$ is positive definite iff $\forall x \neq 0\in \mathbb{R}^n, x^TAx > 0$.
+> - Hermitian 矩阵 $A$ ($A^*=A$) is positive definite iff $\forall x \neq 0\in \mathbb{C}^n, x^*Ax > 0$, where $x^*$ denotes the conjugate transpose of $x$.
+
+## 等价性
+
+以下命题等价：
+
+- Hermitian 矩阵 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 是正定阵.
+
+- $\lambda(A)\in \mathbb{R}^+$.
+
+    ***Proof1.*** 假设 $(\lambda, x)$ 是 $A$ 的特征对，则 $x \neq 0, \Longrightarrow \lambda x^Tx = x^TAx > 0 \Longrightarrow \lambda > 0$.
+
+    ***Proof2.*** 根据 Schur 分解定理，$A = U TU^H$，其中 $U$ 是酉矩阵而 $T$ 是上三角阵. 由于 $A = A^H$，故 $T$ 必定是对角的. 故 $A$ 正定 $\Longleftrightarrow T$ 的对角元均为正数.
+
+- 由 $A$ 所定义的[半双线性形式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E5%8F%8C%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%BD%A2%E5%BC%8F) $\langle x,y  \rangle _A = x^H A y$ 是 $\mathbb{C}^n$ 上的一个内积
+   > 实际上，所有 $\mathbb{C}^n$ 上的内积都可认为是由此种方式定义得到.
+
+- $A$ 的所有顺序主子式均为正，这也被称为 Sylvester's criterion.
+  - ***Proof*** **ref.** [Sylvester's criterion](https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_criterion)
+  - 类似的，我们有 $A$ 半正定 $\Longrightarrow A$ 的所有顺序主子式均为非负数，反之不然，如 $\begin{bmatrix}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\1&1&0 \end{bmatrix}$.
+- 存在唯一的下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是正的，使得 $M = L^H L$. 这一分解被称为 [Cholesky decomposition](https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition).
+  - ***Proof*** **ref.** Decomposition of [this page](https://en.wikipedia.org/wiki/Definite_matrix)
+
+对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 $\mathbb{C}^n$ 改为 $\mathbb{R}^n$，并将“共轭转置”改为“转置”即可.
+
+## 3. 性质
+
diff --git a/线性代数/矩阵/矩阵扰动.md b/线性代数/矩阵/矩阵扰动.md
@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--矩阵--]]"
+author:
+  - Hu
+name: 矩阵扰动
+---
+
diff --git a/线性代数/矩阵/矩阵范数.md b/线性代数/矩阵/矩阵范数.md
@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--矩阵--]]"
+author:
+  - Hu
+name: 矩阵范数
+---
+
diff --git a/线性代数/矩阵/秩.md b/线性代数/矩阵/秩.md
@@ -0,0 +1,121 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--矩阵--]]"
+author:
+  - Hu
+name: 秩
+---
+# 秩
+
+## 秩的定义
+
+>[!info] Definition
+> 在线性代数中，一个矩阵 $A$ 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是 $A$ 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩与行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 $A$ 的秩，通常表示为 $\text{r}(A), \text{rank}(A), \text{rk}(A)$。
+
+$\text{rank}(A)$ 为 $A$ 的列空间的维数，i.e. $\dim\text{span }\{a_1, \cdots, a_n\}$。
+
+## 可替代定义
+
+### 用行列式定义
+
+>[!info] Definition
+> 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。若 $A$ 至少有一个 $r$ 阶非零子式，而其所有 $r+1$ 阶子式全为零，即矩阵的最高阶非零子式的阶数为 $r$。则称 $r$ 为 $A$ 的秩。
+
+### 用线性映射定义
+
+考虑线性映射：
+
+$$
+\begin{aligned}
+  &f_A: F^n \rightarrow F^m,\\
+  &x \mapsto A\cdot x
+\end{aligned}
+$$
+
+对于每个矩阵 $A$，$f_A$ 都是一个线性映射，同时，对每个 $F^n\rightarrow F^m$ 的线性映射 $f$，都存在矩阵 $A$ 使得 $f=f_A$。也就是，映射
+
+$$
+\begin{aligned}
+  &\Phi: \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\rightarrow \mathcal{L}(F^n, F^m)\\
+  &A\mapsto f_A
+\end{aligned}
+$$
+
+是一个同构映射。所以一个矩阵 $A$ 的秩还可定义为 $f_A$ 的像的维度（Dim of Image，参见[线性映射：核、像与秩-零化度理论](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%98%A0%E5%B0%84#%E6%A0%B8%E3%80%81%E5%83%8F%E5%92%8C%E7%A7%A9-%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86)）。
+
+矩阵 $A$ 成为 $f_A$ 的变换矩阵。此定义的好处是适用于任何线性映射而不需指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。
+
+## 行秩列秩相等性
+
+>[!tip]
+> 基本证明思路：
+> 矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度。
+> - $\text{column rank} = \dim \text{Image}(A) = \dim \{Ax: x\in \mathbb{R}^{n}\}$.
+> - $\text{row rank} = \dim \{x\in\mathbb{R}^{n} : Ax\neq 0\}$.
+
+### 证明一
+
+令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，==其列秩为 $r$==。因此矩阵 $A$ 的列空间的维度是 $r$。令 $c_1, c_2, \cdots, c_r$ 是 $A$ 的列空间的一组基，构成 $m\times r$ 矩阵 $C = [c_1, c_2, \cdots, c_r]$，并使得 $A$ 的每个列向量是 $C$ 的 $r$ 个列向量的线性组合。由矩阵乘法的定义，存在一个 $r\times n$ 矩阵 $R$，使得 $A = CR$。（$A$ 的 $(i,j)$ 元素是 $c_i$ 与 $R$ 的第 $j$ 个行向量的点积。）
+
+现在，由于 $A = CR$，$A$ 的每个行向量是 $R$ 的行向量的线性组合，这意味着 $A$ 的行向量空间包含于 $R$ 的行向量空间，因此 $A$ 的行秩 $\leq R$ 的行秩。但 $R$ 仅有 $r$ 行，故 $R$ 的行秩 $\leq r = A$ 的列秩。这就证明了 $A$ 的行秩 $\leq A$ 的列秩。
+
+考虑 $A$ 的转置矩阵 $A^T$，则 $A$ 的列秩 = $A^T$ 的行秩 $\leq A^T$ 的列秩 = $A$ 的行秩。证毕。
+
+### 证明二
+
+令 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，==其行秩为 $r$==。因此 $A$ 的行向量空间的维度是 $r$，设 $x_1, \cdots, x_r$ 是 $A$ 的行向量空间的一组基，如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是线性独立的。
+
+> 这是因为，对一组标量系数 $c_1, \cdots, c_r$，如果
+> $$
+c_1 Ax_1 + \cdots + c_rAx_r = A(c_1x_1+\cdots+c_rx_r) = Av = 0,$$
+> 其中 $v = c_1x_1+\cdots+c_rx_r$。则可以推出两个事实：（1）$v$ 是 $A$ 行向量空间的线性组合，即 $v$ 属于 $A$ 的行向量空间；（2）由于 $Av=0$，$v$ 正交于 $A$ 的所有行向量，从而正交于 $A$ 的行向量空间的所有向量。两者结合，则 $v$ 正交于自身，这意味着 $v=0$，即 $c_1x_1+\cdots+c_rx_r = 0$，又由于 $x_1, \cdots, x_r$ 是一组基，可知 $c_1 = \cdots = c_r = 0$，故 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是线性独立的。
+
+$Ax_i$ 是 $A$ 的列空间中的向量。因此 $\{Ax_1, \cdots, Ax_r\}$ 是 $A$ 的列空间中 $r$ 个线性独立的向量。所以 $A$ 的列向量空间的维数（$A$ 的列秩）$\geq r = A$ 的行秩。
+
+考虑 $A$ 的转置矩阵 $A^T$，则 $A$ 的行秩 = $A^T$ 的列秩 $\geq A^T$ 的行秩 = $A$ 的列秩。证毕。
+
+### 证明三（证明任意实数域或复数域上矩阵的秩等于其共轭转置的秩）
+
+令 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，定义 $\text{rk}(A)$ 为 $A$ 的秩，$A^*$ 是 $A$ 的共轭转置。
+
+首先我们有 $A^*Ax = 0 \Longleftrightarrow Ax = 0$。
+
+> $\Longrightarrow: A^*Ax = 0 \Longrightarrow x^*A^*Ax = 0 \Longrightarrow (Ax)^*(Ax) = 0 \Longrightarrow \|Ax\|_2^2 = 0 \Longrightarrow Ax = 0$；
+> $\Longleftarrow$ 是显然的。
+
+这说明 $A$ 与 $A^*$ 的零空间相同。由[秩－零化度定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9%E2%80%94%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86)，可得 $\text{rk}(A) = \text{rk}(A^*A)$。$A^*A$ 的每一个列向量是 $A^*$ 的列向量的线性组合，则 $A^*A$ 的列向量空间包含于 $A^*$ 的列向量空间，故 $\text{rk}(A^*A)\leq \text{rk}(A^*)$==（此处应用了上述结论：列秩=行秩=秩）==。进而 $\text{rk}(A) = \text{rk}(A^*A)\leq \text{rk}(A^*)$。
+
+应用这一结果于 $A^*$，则 $\text{rk}(A^*) = \text{rk}(AA^*) \leq \text{rk}(A)$。证毕。
+
+## 秩-零化度定理(Rank-nullity theorem)
+
+此定理给出了一个线性变换或一个矩阵的秩与它的零化度之间的关系。
+
+>[!quote]
+>零化度：对矩阵而言，零化度是其零空间的维数；对线性变换而言，零化度是其核空间的维数。
+
+对于一个元素在域 $F$ 的 $m\times n$ 矩阵 $A$，
+
+$$
+\text{rank}\;A + \text{nullity}\;A = n.
+$$
+
+对于一个从 $F-$线性空间 $V$ 映射到 $F-$线性空间 $W$ 的线性变换 $T:V\mapsto W$，我们有
+
+$$
+\dim(\text{Im}\;T) + \dim(\text{Ker}\;T) = \text{rank}\;T + \text{nullity}\;T = \dim V
+$$
+
+## 秩的不等式
+
+$\text{rank}(AB) \leq \min \{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}$
+
+>[!info] Proof
+> $AB$ 的每一个列向量是 $A$ 的列向量的线性组合，则 $AB$ 的列向量空间包含于 $A$ 的列向量空间，故 $\text{rank}(AB)\leq \text{rank}(A)$。$AB$ 的每一个行向量是 $B$ 的行向量的线性组合，则 $AB$ 的行向量空间包含于 $B$ 的行向量空间，故 $\text{rank}(AB)\leq \text{rank}(B)$。
+
+$\text{rank} (A+B) \leq \text{rank}(A) + \text{rank}(B)$
+
+
+[知乎汇总](https://zhuanlan.zhihu.com/p/341263037)
diff --git a/线性代数/行列式/--行列式--.md b/线性代数/行列式/--行列式--.md
@@ -11,4 +11,5 @@ author:
 LIST
 WHERE file.folder=this.file.folder
 AND contains(dlink,link(this.file.name))
+SORT file.name
 ```
diff --git a/线性代数/行列式/拉普拉斯展开法.md b/线性代数/行列式/拉普拉斯展开法.md
@@ -5,4 +5,5 @@ dlink:
   - "[[--行列式--]]"
 author:
   - Hu
+name: 拉普拉斯展开法
 ---
diff --git a/线性代数/行列式/行列式.md b/线性代数/行列式/行列式.md
@@ -8,12 +8,13 @@ aliases:
   - ぎょうれつしき
 author:
   - Hu
+name: 行列式
 ---
 行列式是一个数，它与一个方阵相关联，并用于描述该方阵的一些性质。
-给定一个 $n \times n$ 的方阵A，行列式可以表示为det(A)或|A|。
+给定一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，行列式可以表示为 $\det(A)$ 或 $|A|$。
 行列式的定义可以通过递归地将方阵拆分为更小的子方阵来得到。
 
-对于2 x 2的方阵：
+对于 2 x 2 的方阵：
 $$A=
 \begin{bmatrix}
    a & b\\
@@ -124,8 +125,6 @@ $$
 ---
 ## 行列式、全排列、对换和逆序数
 
-关键字抽取：
-
 
 $$
 |\boldsymbol{A}|
@@ -145,12 +144,12 @@ $$
 >3. 一共有多少项？
 
 
-$p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 是数字$1 \dots n$ 的一个全排列。
+$p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 是数字 $1 \dots n$ 的一个全排列。
 
 >[!quote]
 >全排列，就是不遗漏，不重复的将所有数字排在一起。
 >
->从n个不同元素中任取$m \ (m≤n)$个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。当 $m=n$ 时所有的排列情况叫全排列。
+>从 $n$ 个不同元素中任取 $m \ (m≤n)$ 个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。当 $m=n$ 时所有的排列情况叫全排列。
 >
 >公式：全排列数 $f(n)=n!$ (定义 $0!=1$ )
 
@@ -165,7 +164,7 @@ $$2\quad1\quad4\quad5\quad3\Longrightarrow  \left ( -1 \right ) ^{t} a_{12}a_{21
 
 ==幂指数的值被称为逆序数。就是用相邻对换的方式，将全排列，变为顺序排列所用的次数。==
 
-下面，我们就来计算一下全排列$2 \: 1 \: 4 \: 5 \: 3$的逆序，首先将前两个位置上的数2 1进行比较，可以看到，前面的数比后面的数大，因此需要交换顺序，此时交换次数为1，寻找一对逆序数，完成交换，交换数+1，直到变成顺序排列。发送的总交换次数为逆序数。（冒泡排序？）
+下面，我们就来计算一下全排列 $2 \: 1 \: 4 \: 5 \: 3$ 的逆序，首先将前两个位置上的数 2 1 进行比较，可以看到，前面的数比后面的数大，因此需要交换顺序，此时交换次数为 1，寻找一对逆序数，完成交换，交换数 +1，直到变成顺序排列。发送的总交换次数为逆序数。（冒泡排序？）
 
 
 一个全排列 $2\quad1\quad4\quad5\quad3\Longrightarrow a_{12}a_{21}a_{34}a_{45}a_{53}$ ； 除此以外，也对应了一个逆序数。
diff --git a/线性代数/行列式/行列式性质.md b/线性代数/行列式/行列式性质.md
@@ -1,5 +1,7 @@
 ---
 tags:
   - 数学
-dlink: []
+dlink:
+  - "[[--行列式--]]"
+name: 行列式性质
 ---

-Original file line number
+Diff line change
@@ @@ -0,0 +1,10 @@ @@
 +---
 +tags:
 +  - 数学
 +dlink:
 +  - "[[--矩阵--]]"
 +author:
 +  - Hu
 +name: QR分解
 +---
++