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content/杂七杂八/数学/抽象代数 大逃杀笔记2号笔记.md

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+created: "2025-12-19"
+updated: "2025-12-19"
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+## 同态
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+同态 $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b))$.
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+同态保运算（保持运算）. 满足什么律映射之后就满足什么律.
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+同态 + 满射 = 满同态.
+
+满同态 + 单射 = 同态 + 双射 = 同构.
+
+## 等价关系
+
+关系.
+
+等价关系性质：
+- 反射
+- 对称
+- 传递
+
+## 群
+
+半群：
+- 封闭
+- 结合
+
+群第一定义：
+- 封闭
+- 结合
+- $ax=b, ya=b$ 有解.
+
+群第二定义：
+- 封闭
+- 结合
+- 单位元
+- 逆元
+
+## 群的阶，元素的阶
+
+$|G|$ 为群元素的个数，优先的叫有限群，无限的叫无限群.
+
+$a^m=e$ 中 m 为最小正整数，即元素的阶数.
+
+m 不存在可以称为阶无限.
+
+## 变换群，置换群
+
+n 阶对成群 Sn 有 $n!$ 个元素.
+
+## 子群
+
+经典 $ab^{-1} \in H$.
+
+## 生成元
+
+$G$ 中每一个元素都是固定元 $a$ 的乘方，则 $G$ 称为循环群，并且 $a$ 称为生成元.