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Author: actions-user

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@@ -155,7 +155,7 @@ Hamilton 四元数群：*就四元数那个，还有四元数运算组成的群*
 
 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
 
-## 2.2 子群和傍集
+### 2.2 子群和傍集
 
 子群：G 是一个群，H 是 G 的子集，如果 H 在 G 的运算下也成为一个群，则 H 是 G 的子群。（子集+同运算下成为群）
 
@@ -169,7 +169,7 @@ G 的平凡子群：一个平凡子群是 G 自身看成自身的子群， 另
 
 ![[Pasted image 20251214155453.png]]
 
-简单说就是 封闭性 + 逆元存在，或者 $ab^{-1}$ 也在子群内。
+简单说就是 封闭性 + 逆元存在，或者 $ab^{-1}$ 也在子群内（不管正向运算还是反向运算都能保持封闭性）。
 
 群的中心：群中与所有元素课交换的元素的集合.
 
@@ -202,7 +202,7 @@ Lagrange 定理推论：
 - 若 G 是有限群，则对任意 $a \in G, a^{|G|}=e$.
 - 若 $|G|=p$ ，$p$ 是一个素数，则 G 是循环群。
 
-## 2.3 正规子群与商群
+### 2.3 正规子群与商群
 
 正规子群：H 是 G 的子群，若对任意 G  中元素 a 总成立 $Ha=aH$，则称 H 是 G 的正规子群（不变子群）。记为 $H \triangleleft G$. *理解就是上面说的，偏移后逆向偏移还能不变.*
 
@@ -224,3 +224,19 @@ C 是 G 的中心，C 必是 G 的正规子群
 
 正规化子：$N(H) =\{g\in G|gH=Hg\}$，这里的$N(H)$ 称为 H 在 G 的正规化子。
 
+正规子群的充要条件是 $(Ha) \cdot (Hb)=H(ab)$
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+**正规子群等价于对子群做任意等量正向和反向运算后依然保持不变性，所以又叫不变子群。而(Ha)(Hb)=H(ab)可以理解成不论是先对子群进行运算后合并还是先运算后在应用到子群上都是等价的.**
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+正规子集的商群 $\overline G$ 是一个群，在运算 $H(a) \cdot H(b) = H(ab)$ 上.
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+$\overline G$ 中的等价类记为 $\overline a 或者 \overline b$.
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+$G$ 是交换群则 $\overline G$ 也是交换群，$G$ 是有限群则 $\overline G$ 也是有限群并且 $|G/H|=[G:H]$
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+$[G,G]$ 是最小让 $G/[G,G]$ 交换的正规子群
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+### 2.4 同态和同构
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+![[Pasted image 20251216163440.png]]
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