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content/杂七杂八/数学/数学分析3 大逃杀笔记2.md

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 created: "2025-12-26"
 updated: "2025-12-26"
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+才发现上学期没学正向级数而是直接去学多元微积分了，所以这学期得先回来学正向级数。
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+## 级数
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+### 级数定义
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+级数:
+$有S_{n}=\sum^n_{k=1}a_{k}, 则 \lim_{ n \to \infty }S_{n} 为级数$.
+
+如果极限存在的，则说级数是收敛的。如果不存在，则说级数是发散的。
+
+**级数收敛的必要条件：**
+$\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} 收敛 \implies a_{n} \to 0$.
+
+注意是必要条件，不是充要条件。*这个可以用来帮助判断级数是否是发散的：如果级数不趋于0,则必然发散。*
+
+### 级数的特性
+
+**线性**
+
+$$\sum^{\infty}_{n=1}(k_{1}a_{n}+k_{2}b_{n})=k_{1}\sum^\infty_{n=1}a_{n}+k_{2}\sum^\infty_{n=1}b_{n}$$
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+**如果级数收敛，则满足结合律**
+
+$$\sum^\infty_{n=1}=a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots=a_{1}+(a_{2}+a_{3})+\dots$$
+
+可以把结合律改变运算后的看成新的数列 $b_{1}=a_{1},b_{2}=a_{2}+a_{3}$. 同时 $b_{n}$ 的级数也是收敛的并且和 $a_{n}$ 的级数相等.
+