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content/杂七杂八/数学/数学分析3 大逃杀笔记2.md

@@ -4,6 +4,13 @@ updated: 2025-12-27
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 才发现上学期没学正向级数而是直接去学多元微积分了，所以这学期得先回来学正向级数。
 
+## 杂项结论
+
+$$\begin{align}
+& 当 0 < x,\quad 有 \sin x < x \\
+&Jordan不等式:\quad 当 0 < x < \frac{\pi}{2},\quad 有 \frac{2}{\pi}x<\sin x< x
+\end{align}$$
+
 ## 级数
 
 ### 级数定义
@@ -115,7 +122,63 @@ $$
 
 $$当0<l<+\infty时，\sum^\infty_{n=1}y_{n}和\sum^\infty_{n=1}x_{n}同敛散性.$$
 
-### 根值判别法
+### 根值判别法 (柯西判别法)
+
+对正项级数$\sum ^\infty_{n=1}a_{n},\quad a_{n}>0$.
+
+$$\begin{align}
+& 若 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n}} = r 存在,\quad 则 \\
+& \quad r: \begin{cases}
+0 \leq r < 1,\quad 收敛 \\
+r > 1,\quad 发散 \\
+r = 1,\quad 失效
+\end{cases}
+\end{align}$$
+
+*一般对次方和根号效果显著。*
+
+### 比值判别法 (达朗贝尔判别法)
+
+对正项级数$\sum ^\infty_{n=1}a_{n},\quad a_{n}>0$.
+
+$$\begin{align}
+& 若 \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = r 存在,\quad 则 \\
+& \quad r: \begin{cases}
+0 \leq r < 1,\quad 收敛 \\
+r > 1,\quad 发散 \\
+r = 1,\quad 失效
+\end{cases}
+\end{align}$$
+*一般对阶乘效果显著。*
+
+### Rabbe 拉贝判别法
+
+对正项级数$\sum ^\infty_{n=1}a_{n},\quad a_{n}>0$.
+
+$$\sum^\infty_{n=1}n\left( \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1 \right)=r:\begin{cases}
+r>1,\quad 收敛 \\
+r<1,\quad 发散 \\
+r=1,\quad 失效
+\end{cases}$$
+
+#### 附加结论
+
+$$\begin{align}
+ & 对于级数 \\
+ & \sum ^{\infty}_{n=2} \frac{1}{n^{q}\ln ^{q}n}:\begin{cases}
+p>1 \implies 收敛, \\
+p<1 \implies 发散, \\
+p=1, 并 \begin{cases}
+q > 1, \implies 收敛 \\
+q \leq 1, \implies 发散
+\end{cases}
+\end{cases}
+\end{align}$$
+
+### 积分判别法
+
+$$令f(x)为非负、单调递减, \exists a>0,\forall A>a,有[a,A]可积的函数；则\int ^{+\infty}_{a}f(x)与\sum ^{\infty}_{n=1}f(n)同敛散.$$
+
+## 一般项级数
 
-#todo