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content/杂七杂八/数学/常微分方程 大逃杀笔记.md

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+created: "2025-11-13"
+updated: "2025-11-13"
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+没时间写前言了，现在赶到现场的是屁都不会的我和拼劲全力不能战胜的 PDE。
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+从这里到这里，196 页，这真的可能吗？
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+## 第一章 绪论
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+以函数作为未知量的方程称为 **函数方程** / **泛函方程**。
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+联系自变量、未知函数、未知函数导数的函数方程是 **常微分方程**。
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+常微分方程的多元函数的版本是 **偏微分方程**。
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+n 阶常微分方程的 n 说的是最高导数阶数。
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+### 求解思想
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+#### 计算和近似计算
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+**通解**说的是有独立常数的解，特别的，这个独立常数满足对 y 和 y导数的雅可比行列式不为0
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+$$\frac{\partial(y,y')}{\partial(C_{1},C_{2})}\neq 0$$
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+*我看不懂，但是我看那个行列式懂了，也就是偏微分c1 c2在对函数组「贡献」组成的向量上是线性无关，也就是说c1和c2对函数组贡献无关，对函数组有相互独立的贡献。*
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+常数被确定的时候就出了 **特解**。
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+***初值条件** 就是为了让通解变成特解的条件种类一种，**边界条件** 也是作用让通解变特解。不同的是初值条件基本上围绕一个点，边界条件围绕一系列点。*
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+附加初值条件的方程称为 **初值问题**，也叫 **Cauchy 问题**。
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+对于难解的初值问题，也可以考虑用迭代构造函数序列的办法来逼近初值问题特解。
+
+$$\begin{cases}
+\Phi'(t)=f(t,\Phi(t)) \\ \\
+\Phi(t_{0}=x_{0}
+\end{cases}
+$$
+用等价积分形式
+$$
+\Phi(t)=x_{0}+\int ^t_{t_{0}}f(\tau,\Phi(\tau))d\tau
+$$
+
+*这里用的是牛顿-莱布尼茨公式，也就是微积分基本定理：定积分出来的是函数插值。*
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+保证收敛性下，用递推公式就能得出近似解。
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+#### 几何分析
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+微分方程的方向场就是点上指明该点的斜率。
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+积分曲线就是方程解的曲线$L=x,y(x)$。用条件定义特解就能尝试画特解的积分曲线。
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+这么做的好处是，***积分曲线的每个点都是与方向场一致的光滑曲线。***
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+反过来说，看方向场就能看到积分曲线，从而看到解的几何特征。
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+等倾线用于看积分曲线的分布状况。等倾线就是每个点斜率都一样的曲线。