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content/杂七杂八/数学/抽象代数 大逃杀笔记.md

@@ -191,13 +191,36 @@ a 的周期等于 $<a>$ 的阶。即 $o(a)=|<a>|$.
 
 傍集的性质：
 - $Ha=Hb$ 的充要条件是 $ab^{-1}\in H$. *理解成进行偏移后再进行逆向偏移，结果发现没进行偏移，所以是相等的*
-- $|Ha=Hb|$ （对左傍集同样可以成立）
+- $|Ha|=|Hb|$ （对左傍集同样可以成立）
 
 指数：简单说就是群的傍集的等价关系下商集的阶
 
-Lagrange 定理：若 H 是有限群 G 的子群，则 $|G|=|H| \cdot [G:H]$ *挺好理解，因为傍集有阶相等的性质.*
+Lagrange 定理：若 H 是有限群 G 的子群，则 $|G|=|H| \cdot [G:H]$ *挺好理解，因为傍集有阶相等的性质. 不同傍集的数量(指数)乘上傍集元素数就能得到群的元素数.*
 
 Lagrange 定理推论：
 - 若 G 是有限群，则 G 中任一元素的周期必然是 |G| 的因子
 - 若 G 是有限群，则对任意 $a \in G, a^{|G|}=e$.
 - 若 $|G|=p$ ，$p$ 是一个素数，则 G 是循环群。
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+## 2.3 正规子群与商群
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+正规子群：H 是 G 的子群，若对任意 G  中元素 a 总成立 $Ha=aH$，则称 H 是 G 的正规子群（不变子群）。记为 $H \triangleleft G$. *理解就是上面说的，偏移后逆向偏移还能不变.*
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+判定：H 是 G 的子群，若对任意 $g \in G$，以及任意 $h \in H$，有$ghg^{-1} \in H$ 或 $g^{-1}hg \in H$ 则 H 是 G 的正规子群。
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+平凡正规子群：$\{e\}$以及 G 自身.
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+单群：正规子群都是平凡正规子群的群
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+换位子元：$[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$，这里$[a,b]$ 是 a 与 b 的换位子元. *小知识：*$[a,b]=[b,a]^{-1}$
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+换位子子群 / 导群：G 中所有换位子子元生成的群。记为 $[G,G] 或 G'$。
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+$[G,G]$ 是正规子群
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+C 是 G 的中心，C 必是 G 的正规子群
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+任意个正规子群的交仍然是正规子群
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+正规化子：$N(H) =\{g\in G|gH=Hg\}$，这里的$N(H)$ 称为 H 在 G 的正规化子。
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