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content/杂七杂八/数学/抽象代数 大逃杀笔记.md

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+created: "2025-12-09"
+updated: "2025-12-09"
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+艹。
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+## 第一章 预备知识
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+### 1.1 集合
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+交换律：**交换参与运算的数的位置（即操作数的顺序），结果不变。**
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+结合率：**改变运算的结合分组方式（即先算哪一部分），结果不变。**
+
+分配率：**一个运算对另一个运算进行分配，分别计算后结果相同。**
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+### 1.2 Cartesian 笛卡尔积
+
+笛卡尔积是作在集合上的积，定义如下
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+$$
+A \times B = \{(a,b) | a \in A, b \in B\}
+$$
+
+注意 $(a,b)$ 是有序偶，并且来自两个不同的集合。
+
+$R \times R$ 就是经典的 Descartes 笛卡尔平面.
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+### 1.3 等价关系与商集
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+$A到B的一个关系R$，说的就是$A \times B的一个子集R$.
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+或者换句话说，就是左边是A，右边是B，R是一个关于A中元素和B中元素的操作。
+
+关系可以理解成对集合笛卡尔积的部分映射。
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+A 上的等价关系说的是具有 **自反性**、**对称性**、**传递性** 的特殊关系。
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+$[a]$ 记为等价类，意为 $a$ 等价的元素全体组成 $A$ 的一个子集。
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+两个等价类不重合就一定不相交。
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+分划：集合可以被换分成互不相交的等价类之并，成为集合的一个分划。
+
+集合上的一个等价关系决定了该集合的一个分划。
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