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@@ -8,7 +8,14 @@ updated: 2025-12-28
 
 $$\begin{align}
 & 当 0 < x,\quad 有 \sin x < x \\
-&Jordan不等式:\quad 当 0 < x < \frac{\pi}{2},\quad 有 \frac{2}{\pi}x<\sin x< x
+&Jordan不等式:\quad 当 0 < x < \frac{\pi}{2},\quad 有 \frac{2}{\pi}x<\sin x< x \\
+&e:\quad \lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e \\
+&2\leq \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}<e \\
+&Stirling公式:\quad n! \sim \sqrt{ 2\pi n }\left( \frac{n}{e} \right)^{n} \\ \\
+&据说很漂亮的级数:\quad 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots=\ln 2 \\
+&另一个很漂亮的级数:\quad 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\dots=\frac{\pi}{4} \\ \\
+&holy的我都觉得漂亮的级数:\quad 1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-\dots=\frac{1}{1+x}
+
 \end{align}$$
 
 ## 级数
@@ -181,3 +188,103 @@ $$令f(x)为非负、单调递减, \exists a>0,\forall A>a,有[a,A]可积的函
 
 ## 一般项级数
 
+交错级数、莱布尼兹判别法
+
+#todo Abel 判别法、Dirichlet 判别法
+
+## 幂级数
+
+### 幂级数基本概念
+
+$$\sum^\infty_{n=0}a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\dots$$
+
+$x_0$ 称为 **中心位置.**
+
+可以用换元，写成： $\sum ^{\infty}_{n=0}a_{n}u^{n},\quad 其中u=x-x_{0}$
+
+收敛区间： $(x_{0}-r,x_{0}+r)开区间$. 收敛区间内收敛，收敛区间外发散，收敛区间端点可能发散也可能收敛。此外有:
+
+$$r:\begin{cases}
+r=0,\quad 仅在x=x_{0}处收敛. \\
+0<r<+\infty,\quad 在 (x_{0}-r,x_{0}+r) 收敛. \\
+r=+\infty,\quad 在 R 处处收敛.
+\end{cases}$$
+
+$$收敛域=收敛区间\cup\{收敛的端点\}$$
+
+### 收敛半径的求法
+
+有级数 $\sum ^{\infty}_{n=0}a_{n}x^n$
+
+**根值求法：**
+
+$$\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ |a_{n}| }=\rho=\frac{1}{r}$$
+
+也就是说 $r=\frac{1}{\rho}$
+
+**比值求法：**
+
+$$\lim_{ n \to \infty } \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho=\frac{1}{r}$$
+
+和上面的一样，$r=\frac{1}{\rho}$
+
+### 性质
+
+#### Abel 第一定理
+
+幂级数一定存在收敛半径balabala……*就是上面这个方法用的前提。*
+
+#### Abel 第二定理
+
+对$\sum^\infty_{n=0}a_{n}(x-x_{0})^{n},\quad r为收敛半径，有：$
+1. $在(x_{0}-r,x_{0}+r)内绝对收敛，内闭一致收敛.$
+2. $若在x=x_{0}+r收敛，则[a,x_{0}+r]一致收敛,\quad 其中a\in(x_{0}-r,x_{0}+r)$
+3. $上面这条对x_{0}-r也成立。$
+
+...**省流：在收敛域内闭一致收敛（收敛域内的任意闭区间都一致收敛）**
+
+#### 连续性定理
+
+幂级数在收敛域内的和函数是连续的。
+
+和函数$S(x)$就是这货：$S(x)=\sum ^{\infty}_{n=0}a_{n}(x-x_{0})^{n}$
+
+$S(x)在收敛区间连续.$
+
+同样的，对于端点而言，有：
+
+$$\begin{align}
+\begin{cases}
+级数在x_{0}-r收敛 \implies S(x)在x_{0}-r右连续 \\
+级数在x_{0}+r收敛 \implies S(x)在x_{0}+r左连续
+\end{cases}
+\end{align}$$
+
+#### 可导性定理
+
+$S(x)在收敛区间无穷次可导，并且可逐项求导.$
+
+#### 可积性定理
+
+在收敛域内闭区间可积，并且可以逐项积分.
+
+#### 其他
+
+逐项求导和逐项积分不改变收敛半径，可能改变收敛域。
+
+### 函数展开幂级数
+
+$f在I不是无穷次幂级数\implies f不能展开幂级数$
+
+$f在I无穷次可微\implies 有泰勒公式:f(x)=\sum^n_{k=0} \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x-x_{0})^k+R_{n}(x)$
+
+可见 $R_{n}\to 0$ 的时候就可以展开幂级数了，而且展开是 $f(x)=\sum^\infty_{n=0} \frac{f^{(k)}(x)}{n!}(x-x_{0})^n$
+
+![[4fbc71ab5d403aa85dcd81f1c7708600.png]]
+
+> [!tip]
+> 可以用逐项求导省略一下，例如 sinx 逐项求导求出 cosx。
+> 
+> arctanx和 ln(1+x) 可以用间接展开：先从他们的导数通过逐项积分来获得。
+
+