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Author: actions-user

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-created: "2025-12-31"
-updated: "2025-12-31"
+created: 2025-12-31
+updated: 2026-01-02
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 ## 基本
 
@@ -103,3 +103,169 @@ $F(x,-\infty)=0,\quad F(-\infty,y)=0,\quad F(+\infty, +\infty)=1$
 
 ## 随机变量的数字特征
 
+### 一维分布的数字特征
+
+#### 期望
+
+$离散：E(X)=\sum x_{i}p_{i}\quad 连续:E(X)=\int xf(x)dx$
+
+性质：$E(c)=c \quad E(aX+b)=aE(x)+b$
+
+$E(X^{k})$也称为 $k$ 阶矩
+
+#### 方差
+
+$Var(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2$
+
+性质
+ - $Var(c)=0$
+ - $Var(aX+b)=a^2Var(X)$
+
+注：方差的算术平方根称为 **标准差** $\sigma(X)$，标准差与期望的比称为 **变异系数  C**
+
+#### 切比雪夫不等式
+
+$P(|X-E(X)|\geq \epsilon)\leq \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$
+
+#### 常用分布期望和方差
+
+![[Pasted image 20260102172710.png]]
+
+### 二维分布特征数
+
+#### 方差
+
+$$\begin{align}
+& 离散: E[g(X,Y)]=\sum \sum g(x_{i},y_{i})p_{ij} \\
+& 连续: E[g(X,Y)]=\int dy\int g(x,y)f(x,y)dx
+\end{align}$$
+
+性质：
+- 无论 X, Y 是否独立，都有 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$
+- 如何 XY 相互独立则有 $E(XY)=E(X)E(Y),\quad Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)$
+- 如果独立变量$X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2}_{1}),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}),\quad 则X\pm Y\sim N(\mu_{1}\pm \mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$
+
+#### 协方差
+
+$Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)$
+
+相关系数
+
+$$\rho_{XY}= \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}$$
+
+- Cov > 0 则 X,Y 正相关
+- Cov = 0 则 X, Y 不相关 -> 不一定独立，但是独立一定不相关
+- Cov < 0 则 X, Y 负相关
+
+性质
+- $Cov(X,c)=Var(0)$
+- $Cov(X,X)=Var(X)$
+- $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
+- 线性性：$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\quad Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$
+- 不独立变量之和的方差、协方差，与整式乘法相似：
+    - $Var(X\pm Y)=Var(X)\pm 2Cov(X,Y)+Var(Y)$
+    - $Cov(aX+bY,cX+dY)=acVar(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdVar(Y)$
+
+## 大数定律
+
+在一定条件下，随机变量的均值$\overline{X}$趋近于期望的均值$\overline{E(X)}$
+
+$$\forall \epsilon>0,\quad\lim_{ n \to \infty }P\left( \left| \frac{1}{n}\sum X_{i}-\frac{1}{n}\sum E(X_{i}) \right| < \epsilon \right) = 1$$
+
+- 伯努利大数定律：服从二项分布
+- 切比雪夫大数定律：方差存在上界
+- 辛钦大数定律：独立同分布
+
+## 中心极限定理
+
+独立同分布变量的和，近似服从于正态分布，期望和方差不变
+
+$n较大时，近似有\sum X\sim N(n\mu,n\sigma^{2})或\overline{X}\sim N\left( \mu, \frac{\sigma^{2}}{n} \right)$
+
+$由上面的可知，n较大时二项分布X\sim B(n,p)可以近似为X\sim N(np,npq)$
+
+## 统计量及其分布
+
+统计量：不含位置参数的函数称为统计量
+
+样本均值：$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
+样本方差：$s ^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x-\overline{x})^{2}$
+
+性质
+$$E(\overline{x})=\mu,\quad Var(\overline{x})=\frac{\sigma^{2}}{n},\quad E(s^{2})=\sigma^{2}$$
+
+### 卡方分布
+
+若$X_{i}\sim N(0,1)$相互独立，则$Y=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots+X_{n}^{2}$服从自由度为$n$的卡方分布$\chi^{2}(n)$
+
+性质：
+- 可加性 $Y_{1}\sim \chi^{2}(m),\quad Y_{2}\sim \chi^{2}(n),\quad则Y_{1}+Y_{2}\sim \chi^{2}(m+n)$
+- 若 $Y\sim \chi^{2}(n),\quad则E(Y)=n,Var(Y)=2n$
+- 特别地，若$X\sim N(0,1)，则X^{2}\sim \chi^{2}(1)$
+
+### t 分布
+
+$$\begin{align}
+& 若X\sim N(0,1), Y\sim \chi^{2}(n)且相互独立, \\
+& \quad则Z=\frac{X}{\sqrt{ \frac{Y}{n}}} 服从自由度为n的t分布t(n) \\
+\end{align}$$
+
+当 $n>30$ 时，t分布可以近似认为是标准正态分布
+
+### F 分布
+
+$$\begin{align}
+& 若 X \sim \chi^{2}(m),\quad Y\sim \chi^{2}(n)且相互独立 \\
+& Z= \frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}}服从自由度为m,n的F分布F(m,n)
+\end{align}$$
+
+### 正态总体的抽样分布
+
+$$\begin{align}
+ & 若 X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})且相互独立, 则样本均值\overline{x},s^{2} 相互独立，且 \\
+ & \frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{ n }}}\sim N(0,1)\qquad \frac{\overline{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{ n }}}\sim t(n-1)\qquad \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)
+\end{align}$$
+
+*我的天啊，太长了。*
+
+*第一个是标准化，分子标准化期望，分母标准化方差.*
+
+*用s替换sigma就服从t(n-1)分布*
+
+**唉。**
+
+## 参数估计
+
+### 点估计
+
+矩估计。用样本矩代替总体矩，尽量选择阶数低的。
+
+- 如果只有一个未知量，令$E(X)=\overline{x}$
+- 如果有两个未知量，就再令$Var(X)=s^{2}$
+
+### 最大似然估计
+
+求使得联合密度函数 $L=\prod f(x_{i}; \theta)$ 最大的参数
+1. 写出联合密度函数
+2. 求对数 $\ln L=\sum \ln f(x_{i}\cdot \theta)$
+3. 令偏导为0并求解$\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$
+
+### 估计优良性标准
+
+- 无偏性：估计量的期望等于实际值
+- 有效性：估计量的方差尽可能小
+- 相合性：样本趋于无穷时，估计量趋于实际值
+
+可以证明，样本均值、方差是无偏估计量。
+
+矩估计和最大估计给出的方差不是无偏估计量。
+
+### 区间估计
+
+区间估计问题：$给定置信度1-\alpha，找一个区间[L,R]，使P(L\leq \theta \leq R)\geq 1-\alpha$
+
+步骤
+- 选择统计量 $G$
+- 找到区间使得 $P(a\leq G \leq b)\geq 1-\alpha$
+- 化简得出答案
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