Update Lab7.md

Author: Krasnovvvvv

reports/Lab7.md

@@ -8,7 +8,7 @@
     - [Решение волнового уравнения при помощи явной разностной схемы крест](#решение-волнового-уравнения-при-помощи-явной-разностной-схемы-крест)
     - [Решение волнового уравнения при помощи схемы с весами](#решение-волнового-уравнения-при-помощи-схемы-с-весами)
     - [Построение спектров отклонения струны, скорости и энергии](#построение-спектров-отклонения-струны-скорости-и-энергии)
-5. [Заключение и выводы 📝](#4-заключение-и-выводы-)
+4. [Заключение и выводы 📝](#4-заключение-и-выводы-)
 
 ## 1. Введение и цели работы 🎓
 
@@ -264,10 +264,48 @@ Cпектральный признак дает следующие резуль
 
 ![Зависимость ошибки для схемы с весом 0.35](../images/Lab7/DependenceOfMaxErrorOnTimeStableWithSigma0.35UnstableWithSigma0.20.png)
 
-**Рисунок 7 - Зависимость ошибки численного решения неявной схемой с весом $\sigma = 0.35$ от времени**
+**Рисунок 9 - Зависимость ошибки численного решения неявной схемой с весом $\sigma = 0.35$ от времени**
 
 Данная схема является безусловно устойчивой, что и подтверждает полученный график ошибки.
 
 ---
 
+### Построение спектров отклонения струны, скорости и энергии
 
+Используя быстрое преобразование Фурье, построим спектры отклонения струны, скорости и энергии, а также исследуем, как изменится их внешний вид при изменении $\delta$:
+
+При $\delta = 0.05$:
+
+![Спектры при дельта 0.05](../images/Lab7/SpectrumOfDeflectionVelocityEnergyWithSigma0.25Delta0.05.png)
+
+**Рисунок 10 - Спектры отклонения при $\delta = 0.05$**
+
+При $\delta = 0.10$:
+
+![Спектры при дельта 0.05](../images/Lab7/SpectrumOfDeflectionVelocityEnergyWithSigma0.25Delta0.10.png)
+
+**Рисунок 10 - Спектры отклонения при $\delta = 0.10$**
+
+Во всех случаях спектр отклонения u остаётся существенно ниже спектров скорости и энергии, что связано с тем, что в рассматриваемые моменты большая часть энергии всё ещё сосредоточена в кинетической форме, а амплитуда смещений мала по сравнению со скоростями.
+
+Уменьшение $\delta$ (узкий импульс) приводит к заметному расширению спектров по модам k: максимумы спектра скорости и энергии становятся выше, а вклад высокочастотных мод (большие k) выражен сильнее. Узкий прямоугольный импульс по x ближе к дельта‑функции и содержит много высокочастотных гармоник, поэтому энергия распределяется по широкому диапазону мод.
+
+При увеличении $\delta$ до `0.10` начальный профиль скорости становится шире и сглаженнее. В этом случае спектры скорости и энергии концентрируются преимущественно в низких модах: амплитуда у малых k растёт, а на высоких k заметно падает по сравнению со случаем $\delta = 0.05$.
+
+Таким образом, рост $\delta$ приводит к перераспределению энергии от высокочастотных мод к длинноволновым нормальным колебаниям струны, что хорошо согласуется с физической интерпретацией более мягкого и протяжённого по пространству удара.
+
+---
+
+## 4. Заключение и выводы 📝
+
+В работе была реализована и исследована полная цепочка постановки, численного решения и спектрального анализа одномерного волнового уравнения для натянутой струны с прямоугольным импульсом начальной скорости.
+
+Главным результатом стало практическое подтверждение корректности разложений по собственным модам: реализованное точное решение в виде тригонометрического ряда хорошо совпадает с результатами численных схем при разумных шагах сетки. Явная крестовая схема показала ожидаемое поведение: при выполнении условия Куранта решение устойчиво, фронты импульса воспроизводятся достаточно точно, а максимальная ошибка остаётся на уровне $10^{-5}- 10^{-4}$ и медленно нарастает во времени за счёт накопления погрешностей и отражений волны от границ.
+
+Схема с весами при $\sigma = 0.25$ подтвердила свою устойчивость без дополнительного ограничения на шаг по времени, но при тех же шагах дала несколько большую ошибку в максимальной норме и более сглаженные фронты, что связано с усиленным демпфированием высокочастотных мод.
+
+Отдельно был исследован спектральный состав колебаний струны. С помощью БПФ построены спектры отклонения, скорости и локальной энергии по модам. Показано, что при заданном импульсе начальная энергия в основном сосредоточена в скорости, поэтому спектр смещения оказывается существенно ниже спектров скорости и энергии. Численные эксперименты с изменением ширины импульса $\delta$  продемонстрировали, что её уменьшение приводит к более широкому и высокочастотному спектру (возбуждается больше высоких мод), тогда как увеличение ширины импульса концентрирует энергию в низких модах и подавляет высокочастотные компоненты.
+
+Наконец, варьирование параметра $\sigma$ в схеме с весами выявило ограниченность выбора: при больших $\sigma$ (например, 0.8) отрицательный вес среднего временного слоя приводит к сильным искажениям профиля и фактической потере физического смысла решения.
+
+В целом выполненная работа показала, что для задач волнового типа важно не только соблюдение формальных условий устойчивости, но и разумный выбор численных параметров (шага, веса, ширины импульса) с учётом спектральных свойств решения. Реализованная модульная архитектура на C++ с точным решением, двумя конечно‑разностными схемами, решателем трёхдиагональных систем и блоком спектрального анализа позволяет легко проводить такие исследования и может служить основой для дальнейших экспериментов с более сложными начальными условиями и многомерными обобщениями.