Update Lab3.md

Author: Krasnovvvvv

reports/Special/Lab3.md

@@ -14,7 +14,6 @@
         - [Противопотоковый метод второго порядка 🡐🡐](#противопотоковый-метод-второго-порядка-)
         - [BTCS 🧱](#BTCS-)
     - [Решение одномерного уравнения конвекции](#решение-одномерного-уравнения-конвекции)
-        - [Решение явным Эйлером](#решение-явным-эйлером)
 4. [Заключение и выводы 📝](#4-заключение-и-выводы-)
 
 ## 1. Введение и цели работы 🎓
@@ -175,3 +174,100 @@ BTCS обладает первым порядком точности по вре
 **Программная реализация:** `include/Labs/Special/Lab3/ConvectionSolvers/BTCSSolver.h` (с использованием `ThomasSolver` для решения трёхдиагональной системы).
 
 ---
+
+### Решение одномерного уравнения конвекции
+
+Решим уравнение конвекции(переноса):
+
+$$
+\frac{\partial U}{\partial t} + u\frac{\partial U}{\partial x} = 0
+$$
+
+с начальным условием на отрезке $0\le x\le 1$:
+
+$$
+U(x,0) = \varphi(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right).
+$$
+
+#### 1. Метод характеристик
+
+Уравнение переноса описывает перенос профиля без изменения формы. Это удобно вывести методом характеристик.
+
+Введём характеристики $x(t)$ такие, что вдоль них решение $U(x(t),t)$ постоянно. Рассмотрим производную по $t$:
+
+$$
+\frac{d}{dt} U(x(t),t) = U_t + x'(t)U_x.
+$$
+
+Чтобы эта производная обратилась в ноль, выбираем скорость характеристики $x'(t)=u$. Тогда
+
+$$
+\frac{d}{dt} U(x(t),t) = U_t + uU_x = 0,
+$$
+
+а значит
+
+$$
+U(x(t),t) = \text{const вдоль характеристики}
+$$
+
+Уравнение для характеристики:
+
+$$
+\frac{dx}{dt} = u
+\;\Rightarrow
+x(t) = ut + x_0,
+$$
+
+где $x_0$ — точка пересечения характеристики с осью времени $t=0$. Отсюда
+
+$$
+x_0 = x - ut.
+$$
+
+На линии $t=0$ значения решения заданы начальным условием: $U(x_0,0)=\varphi(x_0)$. Так как вдоль характеристики величина $U$ сохраняется, получаем
+
+$$
+U(x,t) = U(x_0,0) = \varphi(x_0) = \varphi(x - ut).
+$$
+
+Это общий вид точного решения для уравнения переноса с постоянной скоростью.
+
+#### 2. Подстановка конкретного потенциала
+
+В нашей задаче
+
+$$
+\varphi(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)
+$$
+
+Подставляя $x_0 = x - ut$ в эту функцию, получаем точное решение:
+
+$$
+U(x,t) = \cos\left(\frac{\pi}{2}(x - ut)\right)
+$$
+
+При фиксированном $t$ это тот же самый косинус, просто сдвинутый вдоль оси $x$ на величину $ut$. На отрезке $0\le x\le 1$ профиль $\cos(\pi x/2)$ «едет» вправо со скоростью $u$, не меняя амплитуды и формы.
+
+---
+
+#### Решение заданного уравнения конвекции различными методами и анализ полученных результатов
+
+---
+
+## 4. Заключение и выводы 📝
+
+В ходе работы получено точное аналитическое решение задачи переноса с начальным условием $U(x,0) = \varphi(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ и показано, что оно представляет собой сдвиг начального профиля со скоростью u, что дало возможность использовать его в качестве эталона для оценки численных схем. Была разработана программная реализация набора явных и неявных конечно-разностных методов (FTCS, Лакса, Лакса–Вендрофа, Рихтмайера, МакКормака, противопотоковые схемы 1‑го и 2‑го порядков, BTCS) и проведены серии вычислительных экспериментов при различных значениях конвекционного числа c.
+
+Анализ графиков решения и зависимости максимальной ошибки от времени позволил выделить характерные особенности каждого метода: проявления численной диффузии, дисперсии и практической неустойчивости, а также подтвердить основные теоретические результаты лекций (безусловная неустойчивость FTCS, условная устойчивость противопотоковых схем, высокое качество Лакса–Вендрофа и МакКормака, безусловная устойчивость, но сильная диффузия BTCS).
+
+Схема FTCS для уравнения чистой конвекции подтвердило свою безусловную неустойчивость: при $c = 0.1$ и $c = 0.5$ наблюдался экспоненциальный рост ошибки и «взрыв» решения при увеличении времени расчёта.
+
+Схемы Лакса, классического upwind первого порядка и BTCS демонстрируют устойчивость на рассматриваемых шагах, но сопровождаются заметной численной диффузией: максимум волны уменьшается, фронты сглаживаются, ошибка растёт примерно линейно со временем.
+
+Методы второго порядка Лакса–Вендрофа и МакКормака показали наилучшее качество решения: при $|c| < 1$ профиль волны хорошо сохраняется, численная диффузия мала, а максимальная ошибка на интервале до $t = 10 c$ остаётся на уровне машинной точности или значительно ниже, чем у остальных схем.
+
+Схема Рихтмайера и противопотоковый метод второго порядка, несмотря на формальную устойчивость при $|c| \le 1$ и $|c| < 2$ соответственно, оказались чувствительными к накоплению дисперсионных ошибок: при длительном интегрировании и $с = 0.5$ фиксировались большие значения глобальной погрешности и выраженные осцилляции.
+
+С практической точки зрения для моделирования переходных процессов переноса с гладкими начальными условиями на конечных интервалах времени предпочтительно использовать схемы Лакса–Вендрофа или МакКормака; противопотоковый метод первого порядка и BTCS целесообразны там, где приоритет отдается устойчивости и монотонности решения, а не высокой точности профиля.
+