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| 2 | +title: 2749.得到整数零需要执行的最少操作数：很独特的一道数学题（多公式硬讲——一步步还真能看懂） |
| 3 | +date: 2025-09-05 21:34:33 |
| 4 | +tags: [题解, LeetCode, 中等, 位运算, 枚举, 数学] |
| 5 | +categories: [题解, LeetCode] |
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| 8 | +# 【LetMeFly】2749.得到整数零需要执行的最少操作数：很独特的一道数学题（多公式硬讲——一步步还真能看懂） |
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| 10 | +力扣题目链接：[https://leetcode.cn/problems/minimum-operations-to-make-the-integer-zero/](https://leetcode.cn/problems/minimum-operations-to-make-the-integer-zero/) |
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| 12 | +<p>给你两个整数：<code>num1</code> 和 <code>num2</code> 。</p> |
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| 14 | +<p>在一步操作中，你需要从范围 <code>[0, 60]</code> 中选出一个整数 <code>i</code> ，并从 <code>num1</code> 减去 <code>2<sup>i</sup> + num2</code> 。</p> |
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| 16 | +<p>请你计算，要想使 <code>num1</code> 等于 <code>0</code> 需要执行的最少操作数，并以整数形式返回。</p> |
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| 18 | +<p>如果无法使 <code>num1</code> 等于 <code>0</code> ，返回 <code>-1</code> 。</p> |
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| 20 | +<p> </p> |
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| 22 | +<p><strong>示例 1：</strong></p> |
| 23 | + |
| 24 | +<pre> |
| 25 | +<strong>输入：</strong>num1 = 3, num2 = -2 |
| 26 | +<strong>输出：</strong>3 |
| 27 | +<strong>解释：</strong>可以执行下述步骤使 3 等于 0 ： |
| 28 | +- 选择 i = 2 ，并从 3 减去 2<sup>2</sup> + (-2) ，num1 = 3 - (4 + (-2)) = 1 。 |
| 29 | +- 选择 i = 2 ，并从 1 减去 2<sup>2</sup> + (-2) ，num1 = 1 - (4 + (-2)) = -1 。 |
| 30 | +- 选择 i = 0 ，并从 -1 减去 2<sup>0</sup> + (-2) ，num1 = (-1) - (1 + (-2)) = 0 。 |
| 31 | +可以证明 3 是需要执行的最少操作数。 |
| 32 | +</pre> |
| 33 | + |
| 34 | +<p><strong>示例 2：</strong></p> |
| 35 | + |
| 36 | +<pre> |
| 37 | +<strong>输入：</strong>num1 = 5, num2 = 7 |
| 38 | +<strong>输出：</strong>-1 |
| 39 | +<strong>解释：</strong>可以证明，执行操作无法使 5 等于 0 。 |
| 40 | +</pre> |
| 41 | + |
| 42 | +<p> </p> |
| 43 | + |
| 44 | +<p><strong>提示：</strong></p> |
| 45 | + |
| 46 | +<ul> |
| 47 | + <li><code>1 <= num1 <= 10<sup>9</sup></code></li> |
| 48 | + <li><code>-10<sup>9</sup> <= num2 <= 10<sup>9</sup></code></li> |
| 49 | +</ul> |
| 50 | + |
| 51 | + |
| 52 | + |
| 53 | +## 解题方法：数学 |
| 54 | + |
| 55 | +这个题解我自己也看了很多遍，如果你想搞懂这道题，请静下心来仔细读读，相信你一定可以搞懂这道题的！哪里不懂欢迎[留言](https://github.com/LetMeFly666/LeetCode/issues/1115)。 |
| 56 | + |
| 57 | +**k范围浅分析** |
| 58 | + |
| 59 | +假设$num1$减去$k$次$2^i+num2$后变成了$0$，那么有： |
| 60 | + |
| 61 | +$$num_1 - k * num_2 = 2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_k}$$ |
| 62 | + |
| 63 | +见到$2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_k}$应该很敏感才对啊，这不是$2$的幂之和么，只不过加数可以重复。 |
| 64 | + |
| 65 | +令等式左边的$num_1 - k * num_2 = x$，那么想让右边的$2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_k}=x$，$k$的合法范围是多少？ |
| 66 | + |
| 67 | +> 已知$2^{i+1}=2^i+2^i$，所以想让可以使等式成立的$k$比较大的话，可以把一个$2^{i+1}$可以拆成两个$2^i$，最小拆成$2=1+1$为止。也就是说，$x$最多可以由$1+1+1+\dots+1$（共$x$个）组成，也就是说$k$的最大值是$x$。 |
| 68 | +> |
| 69 | +> 那么最小值呢？例如$5=101_{(2)}=2^2+2^0$，$k$最小值为$2$。也就是说对于$x$，$k$的最小值为$x$二进制下$1$的个数。 |
| 70 | +
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| 71 | +综上，只要$popcount(x)\leq k\leq x$，就能找到一种方法使得$2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_k}=x$。（其中$popcount(x)$是$x$二进制下$1$的个数，$x\gt 0$。 |
| 72 | + |
| 73 | +请记住这两个条件： |
| 74 | + |
| 75 | +1. $k\leq x$ |
| 76 | +2. $k\geq popcount(x)$ |
| 77 | + |
| 78 | +**枚举k** |
| 79 | + |
| 80 | +但是别忘了，$x$中还含有变量$k$呢！其中$x=num_1 - k * num_2$。想要判断是返回$k$还是返回$-1$，还得看能不能找到一个$k$使得$popcount(x)\leq k\leq x$，其中$x=num_1 - k * num_2$。 |
| 81 | + |
| 82 | +最简单的办法就是**暴力枚举**。令$k$从$1$开始枚举，$1, 2, \cdots$，直到$k$超出“上界”，即$k\gt x$，也就是说$k\gt num_1 - k * num_2$停止。 |
| 83 | + |
| 84 | +这里你一定会思考，现在$k$超出上界了，那么我继续增大$k$的话，待会儿$k$会不会就不超出上界了呢？ |
| 85 | + |
| 86 | +> 为了探究这个问题，我们把$k$的合法范围处理一下：$k\leq num_1 - k * num_2\Leftrightarrow k*(1+num_2)\leq num_1$。 |
| 87 | +> |
| 88 | +> + 当$1+num_2\leq 0$时，由于数据范围限制$num_1\geq 1$，所以$k*(1+num_2)\leq num_1$恒成立； |
| 89 | +> + 当$1+num_2\gt 0$时，可得$k\leq \frac{num_1}{1+num_2}$时$k*(1+num_2)\leq num_1$成立，一旦$k$大于$\frac{num_1}{1+num_2}$该等式就再也不会成立； |
| 90 | +> |
| 91 | +> 综上，符合假设，不考虑实际算力限制下的超时问题的话，$k$从$1,2,\cdots$枚举到$k\gt x$为止，如果存在$k$满足第二个条件即$k\geq popcount(x)$，我们就能找到了符合条件的$k$；否则，这个枚举范围内没有满足第二个条件的$k$就返回$-1$。 |
| 92 | +
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| 93 | +那么$k$的范围究竟是多少呢？暴力枚举会不会超时呢？你别说，还真不会。 |
| 94 | + |
| 95 | +因为要想找到一个满足两个条件的$k$，除了一个限制枚举范围的$k\leq x$外，还有一个条件，就是$k\geq popcount(x)$。 |
| 96 | + |
| 97 | +我们一直担心的就是会不会$k\leq x$这个条件范围太大，导致$k$一直从$1$枚举到一个非常大的数字（甚至是无穷?），从而超时。 |
| 98 | + |
| 99 | +但是别忘了第二个条件$k\geq popcount(x)$是非常容易满足的，要知道$popcount(x)$可是$x$在二进制下$1$的个数，所以先告诉你结论再去证明：$k$最大枚举到几十就会满足第二个条件了。 |
| 100 | + |
| 101 | +> $k$的量级是几十（按$10^3$），$num$的量级是$10^9$，所以$x=num_1 - k * num_2$的量级最多为$10^{12}$，$2^40$已经大于$10^{12}$了（不信可以执行下`python -c "print(len(str(2**40)))"`试试），$x$二进制下位数不超过$40$位，就找到满足第二个条件的$k$了。 |
| 102 | +
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| 103 | +也就是说实际$k$从$1$开始枚举，最多枚举到$40$，就知道答案了，时间复杂度甚至可以认为是$O(1)$。 |
| 104 | + |
| 105 | ++ 时间复杂度$O(1)$ |
| 106 | ++ 空间复杂度$O(1)$ |
| 107 | + |
| 108 | +然后结合实现代码说一下： |
| 109 | + |
| 110 | +```cpp |
| 111 | +int makeTheIntegerZero(int num1, int num2) { |
| 112 | + for (int k = 1; k <= num1 - (long long)num2 * k; k++) { |
| 113 | + if (k >= __builtin_popcountll(num1 - (long long)num2 * k)) { |
| 114 | + return k; |
| 115 | + } |
| 116 | + } |
| 117 | + return -1; |
| 118 | +} |
| 119 | +``` |
| 120 | +
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| 121 | +关于这个循环的范围： |
| 122 | +
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| 123 | ++ 如果$1+num_2\gt 1$，那么要么`for`循环先终止返回`-1`（如`num1=16, num2=10`会在`k=2`时结束for循环），要么`if`条件先命中`return k`。 |
| 124 | ++ 如果$1+num_2\leq 0$，`for`循环相当于`while true`，但是里面的`if`条件一定会很快满足，并`return k`。 |
| 125 | +
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| 126 | +总之$k$枚举不会超过$40$次。解喽。这还真不好想。 |
| 127 | +
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| 128 | +### AC代码 |
| 129 | +
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| 130 | +#### C++ |
| 131 | +
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| 132 | +```cpp |
| 133 | +/* |
| 134 | + * @Author: LetMeFly |
| 135 | + * @Date: 2025-09-05 18:29:32 |
| 136 | + * @LastEditors: LetMeFly.xyz |
| 137 | + * @LastEditTime: 2025-09-05 21:33:38 |
| 138 | + */ |
| 139 | +#if defined(_WIN32) || defined(__APPLE__) |
| 140 | +#include "_[1,2]toVector.h" |
| 141 | +#endif |
| 142 | +
|
| 143 | +/* |
| 144 | +nums1 - k * nums2 = 2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_k} |
| 145 | +*/ |
| 146 | +class Solution { |
| 147 | +public: |
| 148 | + int makeTheIntegerZero(int num1, int num2) { |
| 149 | + for (int k = 1; k <= num1 - (long long)num2 * k; k++) { |
| 150 | + if (k >= __builtin_popcountll(num1 - (long long)num2 * k)) { |
| 151 | + return k; |
| 152 | + } |
| 153 | + } |
| 154 | + return -1; |
| 155 | + } |
| 156 | +}; |
| 157 | +``` |
| 158 | + |
| 159 | +> 同步发文于[CSDN](https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/151233574)和我的[个人博客](https://blog.letmefly.xyz/)，原创不易，转载经作者同意后请附上[原文链接](https://blog.letmefly.xyz/2025/09/05/LeetCode%202749.%E5%BE%97%E5%88%B0%E6%95%B4%E6%95%B0%E9%9B%B6%E9%9C%80%E8%A6%81%E6%89%A7%E8%A1%8C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0/)哦~ |
| 160 | +> |
| 161 | +> 千篇源码题解[已开源](https://github.com/LetMeFly666/LeetCode) |
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