随机向量开头

Author: Linho1219

.vitepress/geogebra/geogebra.vue

@@ -57,7 +57,7 @@ onMounted(() => {
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杂项/概率论与数理统计速通/3-连续型随机变量.md

@@ -30,6 +30,14 @@ $$
 - 单调不减
 - 右连续：$F(x)=\lim\limits_{\delta\to0^+}F(x+\delta)$
 
+> [!tip]
+>
+> 一般地对于这里的小量 $\delta$，也可以用 $x+0$ 表示 $x$ 加一个小量，用 $x-0$ 表示 $x$ 减一个小量。
+>
+> 那么右连续可表示为 $F(x)=F(x+0)$
+>
+> 且有 $P(X=k)=F(k)-F(k-0)$
+
 ### 密度函数的性质
 
 - 定义域为 $\mathbb R$

杂项/概率论与数理统计速通/4-随机向量.md

@@ -0,0 +1,137 @@
+# 4 随机向量
+
+二维随机变量也称二维随机向量。
+
+## 联合分布函数与联合密度函数
+
+### 联合分布函数
+
+定义二维随机变量的联合分布函数 $F(x,y)$：
+
+$$
+F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)
+$$
+
+其有如下性质：
+
+- $0\le F(x,y)\le 1$
+- $F(x,y)$ 对于其中任一自变量单调不减
+- $F(x,y)$ 对于其中任一自变量右连续
+- $\lim\limits_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}}F(x,y)=1$，$\lim\limits_{x\to-\infty}F(x,y)=1$，$\lim\limits_{y\to-\infty}F(x,y)=1$，
+
+> [!important]
+>
+> 注意 $F(x,y)=1$ 的要求是 $x,y$ 均很大，$F(x,y)=0$ 的条件是 $x,y$ 任意一个很小。
+>
+> 这是因为分布函数的定义是两个随机变量**都小于**给定值的概率。因此只需任意一个给定值小，就很难达成（$P\to0$）；反过来如果要必然达成（$P\to1$），两个给定制都得很大才能做到。
+
+若要求 $X,Y$ 各自落在某区间内的概率，有
+
+$$
+P(a\le X\le b,c\le Y\le d)=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)
+$$
+
+画个图会很明白，$(a,c)$ 被减了两遍所以要补回来。
+
+```graph
+{
+  data: [
+    {
+      fnType: "points",
+      graphType: "polyline",
+      points: [
+        [1, 1],
+        [3, 1],
+        [3, 2],
+        [1, 2],
+        [1, 1],
+      ],
+    },
+    {
+      graphType: "text",
+      text: "+(b, d)",
+      location: [3, 2],
+      color: "black",
+    },
+    {
+      graphType: "text",
+      text: "-(b, c)",
+      location: [3, 1],
+      color: "red",
+    },
+    {
+      graphType: "text",
+      text: "-(a, d)",
+      location: [1, 2],
+      color: "red",
+    },
+    {
+      graphType: "text",
+      text: "+(a, c)",
+      location: [1, 1],
+      color: "black",
+    },
+  ],
+  annotations: [
+    { y: 2 },
+    { y: 1 },
+    { x: 1 },
+    { x: 3 },
+  ],
+  yAxis: { domain: [0, 3] },
+  xAxis: { domain: [0, 4] },
+}
+```
+
+### 联合密度函数
+
+定义联合密度函数 $f(x,y)$ 满足
+
+$$
+\begin{gathered}
+F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)\mathrm du\mathrm dv
+\end{gathered}
+$$
+
+对于 $F(x,y)$ 连续处有
+
+$$
+f(x,y)=\frac{\partial ^2F(x,y)}{\partial x\partial y}
+$$
+
+联合密度函数有以下两个性质：
+
+$$
+\begin{gathered}
+f(x,y)\ge 0 \\
+\iint_{\mathbb R^2}f(x,y)=1
+\end{gathered}
+$$
+
+对于任意平面区域 $D$ 有
+
+$$
+P((X,Y)\in D)=\iint_Df(x,y)\mathrm dx\mathrm dy
+$$
+
+## 边缘分布
+
+## 二维正态
+
+对于 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，有
+
+$$
+f(x,y)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}
+\exp\left\{
+    -\frac1{2(1-\rho^2)}
+    \left[
+		\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}
+		-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}
+		+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}
+    \right]
+\right\}
+$$
+
+其中 $\rho$ 表示两个随机变量 $X,Y$ 的相关系数。下方的可交互图像中可以直观感受这一点（建议全屏）。
+
+<<< ./images/2d-normal.ggb#3d