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Author: Linho1219

杂项/概率论与数理统计速通/6-统计量及其分布.md

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 # 6 统计量及其分布
 
+## 概念与符号约定
+
+研究一个**总体**，该总体是一个随机变量 $X$，$X$ 的分布称为**总体分布**。
+
+从总体中抽取 $n$ 个个体，称为**样本**，记作 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$。$n$ 称为**样本容量**或**样本大小**。
+
+抽样得到的 $n$ 个数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 称为**样本观测值**。
+
 ## 统计量
 
-对于样本的函数 $h(X_1,X_2,\cdots,X_n)$，只要不包含位置参数，均称为**统计量**。
+对于样本的函数 $h(X_1,X_2,\cdots,X_n)$，只要不包含未知参数（即可以根据样本观测值直接求出），均称为**统计量**。
 
 - 样本均值 $\bar X=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i$
 - 样本 $k$ 阶原点矩 $A_k=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i^k$，$k=1,2,\cdots$
 - 样本 $k$ 阶中心矩 $B_k=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^k$
-- ==样本 $2$ 阶中心矩== $S_n^2=\dfrac1{\color{orange}n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^k$
+- ==样本 $2$ 阶中心矩== $S_n^2=\dfrac1{\color{orange}n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$
 - ==样本方差== $S^2=\dfrac1{\color{orange}{n-1}}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$
+- 最小次序统计量 $X_{(1)}=\min\limits_{1\le i\le n}X_i$
+- 最大次序统计量 $X_{(n)}=\max\limits_{1\le i\le n}X_i$
 
 **定理** 对于任意常数 $c$ 有
 
@@ -53,7 +63,7 @@ $\chi^2$ 分布的密度函数和分布函数均不能用初等函数表示。
 
 <<< ./images/chi-squared.ggb#suite
 
-### t 分布（学生分布）
+### t 分布
 
 **定义** 设随机变量 $X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$ 且 $X,Y$ 相互独立，称随机变量 $T=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 所服从的分布为自由度 $n$ 的 t 分布，记为 $T\sim t(n)$。
 
@@ -63,8 +73,54 @@ $\chi^2$ 分布的密度函数和分布函数均不能用初等函数表示。
 
 <<< ./images/student.ggb#suite
 
+> t 分布也称学生分布。
+
 ### F 分布
 
 **定义** 设随机变量 $U\sim\chi^2(m),V\sim\chi^2(n)$ 且 $U,V$ 相互独立，则称随机变量 $F=\dfrac{U/m}{V/n}$ 服从自由度为 $(m,n)$ 的 F 分布，记为 $F\sim F(m,n)$。
 
 <<< ./images/F.ggb#suite
+
+## 正态分布抽样定理
+
+设 $(X_1,\cdots,X_n)$ 是取自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的一个样本，有
+
+1. $\bar X\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}n\right)$，即 $\sqrt n\dfrac{\bar X-\mu}\sigma\sim N(0,1)$；
+2. $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$；
+3. $\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立。
+
+> [!note]
+> **对 2 的理解**
+>
+> $$
+> \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}
+> =\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\bar X}\sigma \right)^2
+> =\sum_{i=1}^n(X_i^*)^2
+> \sim\chi^2(n-1)
+> $$
+>
+> $(X^*_1,\cdots,X_n^*)$ 相比原本的 $(X_1,\cdots,X_n)$ 少了一个自由度，是因为标准化之后 $\bar X$ 这一信息抹掉了，多了限制条件 $\sum X_i^*=0$。
+
+## 次序统计量的分布
+
+一般地，$X_{(1)},X_{(n)}$ ==不==相互独立。
+
+### 最大次序统计量
+
+$$
+\begin{align}
+X_{(n)}&=\max_{1\le i\le n}X_i \\
+\Rightarrow F_{X_{(n)}}(x)&=[F(x)]^n \\
+\Rightarrow f_{X_{(n)}}(x)&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F_{X_{(n)}}(x)=n[F(x)]^{n-1}f(x)\\
+\end{align}
+$$
+
+### 最小次序统计量
+
+$$
+\begin{align}
+X_{(1)}&=\min_{1\le i\le n}X_i \\
+\Rightarrow F_{X_{(1)}}(x)&=1-[1-F(x)]^n \\
+\Rightarrow f_{X_{(1)}}(x)&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F_{X_{(1)}}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)\\
+\end{align}
+$$