协方差

Author: Linho1219

杂项/概率论与数理统计速通/4-随机向量.md

@@ -116,6 +116,45 @@ $$
 
 ## 边缘分布
 
+## 协方差与相关系数
+
+### 协方差
+
+定义协方差：
+
+$$
+\operatorname {Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}
+$$
+
+相关的常用公式：
+
+$$
+\begin{gathered}
+\operatorname {Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \\
+\operatorname {Cov}(X,X)=\operatorname {Var}(X)\\
+\operatorname {Cov}(kX,lY)=kl\operatorname {Cov}(X,Y)\\
+\operatorname {Var}(X\pm Y)=\operatorname {Var}(X)+\operatorname {Var}(Y)\pm 2\operatorname {Cov}(X,Y) \\
+\operatorname {Cov}\left(\sum_{i=1}^m X_i,\sum_{j=1}^n Y_j \right)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n\operatorname {Cov}(X_i,Y_j)\\
+\operatorname {Cov}(X,Y)=\operatorname {Cov}(Y,X)
+\end{gathered}
+$$
+
+当 $X,Y$ 相互独立，有 $\operatorname {Cov}(X,Y)=0$
+
+### 相关系数
+
+定义相关系数
+
+$$
+\operatorname {Corr}(X,Y)={\operatorname {Cov}(X,Y) \over\sqrt{\operatorname {Var}(X)}\sqrt{\operatorname {Var}(Y)}}
+$$
+
+相关系数表征两个随机变量的线性相关性，有 $-1\le\operatorname {Corr}(X,Y)\le 1$。
+
+若 $Y=aX+b$，则 $a>0$ 时 $\operatorname {Corr}(X,Y)=1$，$a<0$ 时 $\operatorname {Corr}(X,Y)=-1$。
+
+当 $\operatorname {Corr}(X,Y)=0$ 时称 $X,Y$ 不相关。
+
 ## 二维正态
 
 对于 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，有