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Author: Minsecrus

docs/教程/正文/数据结构与算法/算法/3_算法的时间和空间复杂度.md

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 ## 2. 渐进记号
 
+渐进记号描述函数的增长趋势。五个渐进记号如下：
+
 ### 2.1. 定义
 
 1. $\Theta(g(n))=\{f(n)\space |\space\exists\space c_1,\space c_2,\space n_0>0,\forall\space n \ge n_0,\space 0\le c_1g(n)\le f(n)\le c_2g(n)\}$
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 4. $o(g(n))=\{f(n)\space |\space\forall\space c\gt 0,\space\exists\space n_0\gt 0,\space\forall n\ge n_0,\space 0\le f(n)\lt cg(n)\}$
 5. $\omega(g(n))=\{f(n)\space |\space\forall\space c\gt 0,\space\exists\space n_0\gt 0,\space\forall n\ge n_0,\space 0\le cg(n)\lt f(n)\}$
 
-> 注：规范的写法应当是 $f(n)\in O(g(n))$，但为了方便，可以用 $f(n)=O(g(n))$ 代替
+::: tip 等号代替属于
+
+为了方便，当 $f(n)\in O(g(n))$ 时，记作 $f(n)=O(g(n))$。
+
+:::
+
+其中，第 2.4.5. 可以更快速地用极限定义：
+
+1. $$f(n) \in O(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infin} \frac{f(n)}{g(n)}=C$$
+2. $$f(n) \in o(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infin} \frac{f(n)}{g(n)}=0$$
+3. $$f(n) \in \omega(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infin} \frac{f(n)}{g(n)}=\infin$$
 
 ### 2.2. 性质
 
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 ## 2.3 时间复杂度的表示
 
-1. 时间复杂度可以用渐进记号表示，最常用的是大 O 记号
-2. 大多数情况下，我们只关注算法的**最坏情况运行时间**
-   1. 对大部分算法来说，最坏情况经常出现
-   2. **平均情况运行时间**很可能等于最坏情况运行时间
-   3. 有例外，比如**快速排序**
+1. 时间复杂度可以用渐进记号表示，最常用的是大 O 记号。
+2. 大多数情况下，我们只关注算法的**最坏情况运行时间**：
+   1. 对大部分算法来说，最坏情况经常出现；
+   2. **平均情况运行时间**很可能等于最坏情况运行时间；
+   3. 有例外，比如**快速排序**。
 
 ## 2.4 例子
 
-1. 常数函数的时间复杂度是 $\Theta(1)$，也可写成 $\Theta(n^0)$（_为什么？_）
+1. 常数函数的时间复杂度是 $\Theta(1)$，也可写成 $\Theta(n^0)$（为什么？）
 2. 函数的增长不一定能比较：
    $f(n)=n$，$g(n)=n^{1+\sin n}$
-   此时 $f(n)=O(g(n))$ 和 $f(n)=\Omega(g(n))$ 均不成立（_为什么？_）
+   此时 $f(n)=O(g(n))$ 和 $f(n)=\Omega(g(n))$ 均不成立（为什么？）
 3. $\lg(n!)=\Theta(n\lg n)$
-   - 由 [**斯特林公式**](https://zhuanlan.zhihu.com/p/145007068)，$\lg(n!) \approx \lg(\sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n)=\lg(\sqrt{2\pi n}) + n\lg(n) – n\lg(e)$  
-     $\lg(\sqrt{2\pi n})$ 和 $- n\lg(e)$ 均可视为较 $n\lg(n)$ 小的项  
-     $\implies\lg(n!) = O(n\lg{n})$。
-   - 又因为 $n! \geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}$（_为什么？_）  
-     $\lg(n!) \geq \frac{n}{2} \lg(\frac{n}{2})$  
+   - 由 [**斯特林公式**](https://zhuanlan.zhihu.com/p/145007068)，$\lg(n!) \approx \lg(\sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n)=\lg(\sqrt{2\pi n}) + n\lg(n) – n\lg(e)$。又因为 $\lg(\sqrt{2\pi n})$ 和 $- n\lg(e)$ 均可视为较 $n\lg(n)$ 小的项，所以 $\lg(n!) = O(n\lg{n})$。
+   - 又因为 $n! \geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}$（为什么？）  
+     两边取对数，得 $\lg(n!) \geq \frac{n}{2} \lg(\frac{n}{2})$  
      $\implies\lg(n!) \geq c \cdot n\lg{n}$ （其中$c$是某个常数）  
      $\implies\lg{n}! = \Omega(n\lg{n})$
    - 由以上两式子可得，$\lg{n}! = \Theta(n\lg{n})$