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Author: Minsecrus

docs/教程/正文/数据结构与算法/算法/3_算法的时间和空间复杂度.md

@@ -24,11 +24,15 @@
 
 :::
 
-其中，第 2.4.5. 可以更快速地用极限定义：
+可以更快速地用极限定义：
 
-1. $$f(n) \in O(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=C$$
-2. $$f(n) \in o(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0$$
-3. $$f(n) \in \omega(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=\infty$$
+1. $$f(n) \in \Theta(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=C$$
+2. $$f(n) \in O(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0\space或\space C$$
+3. $$f(n) \in \Omega(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=\infty\space或\space C$$
+4. $$f(n) \in o(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0$$
+5. $$f(n) \in \omega(g(n)) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=\infty$$
+
+其中 $C$ 是一个正常数。
 
 ### 2.2. 性质
 

docs/教程/正文/语法和标准库/5_语句/5_2_选择语句/5_2_1_if_else.md

@@ -54,7 +54,7 @@ if (condition) {
 
 ```c
 if (hp == 0)
-    state = dead;
+    state = PLAYER_DEAD;
 if ( /* 其他条件 */ )
     // 其他代码
 ```
@@ -63,19 +63,19 @@ if ( /* 其他条件 */ )
 
 ```c
 if (hp == 0)
-    state = dead;
+    state = PLAYER_DEAD;
     printf("角色死亡\n");
 if ( /* 其他条件 */ )
     // 其他代码
 ```
 
-但是，当运行的时候，我会发现，无论角色生命值是否等于 0，都会打印消息。这是因为，`if` 语句只会包含其后的第一条语句，即 `state = dead;`，因此即使角色生命值不等于 0，`printf("角色死亡\n");` 也会被执行。
+但是，当运行的时候，我会发现，无论角色生命值是否等于 0，都会打印消息。这是因为，`if` 语句只会包含其后的第一条语句，即 `state = PLAYER_DEAD;`，因此即使角色生命值不等于 0，`printf("角色死亡\n");` 也会被执行。
 
 为了避免这种情况，建议永远使用大括号包裹 `if` 之后的语句，使之成为复合语句，如下所示：
 
 ```c
 if (hp == 0) {
-    state = dead;
+    state = PLAYER_DEAD;
 }
 if ( /* 其他条件 */ ) {
     // 其他代码
@@ -86,7 +86,7 @@ if ( /* 其他条件 */ ) {
 
 ```c
 if (hp == 0) {
-    state = dead;
+    state = PLAYER_DEAD;
     printf("角色死亡\n");
 }
 if ( /* 其他条件 */ )

docs/教程/题解/语法和标准库/20241215_1_4.md

@@ -0,0 +1,59 @@
+# 20241215_1_4
+
+## 1. 大数阶乘
+
+### 题目
+
+计算并打印出 50! 的值。
+
+### 解析
+
+由于 50! 远超过基本整数类型的范围，需要用数组存储每一位。计算过程中：
+
+1. 用数组 `digits[]` 存储结果的每一位
+2. 从 1 乘到 50，每次乘法都需要处理进位
+3. 最后倒序输出数组即为结果
+
+### 答案
+
+```c
+#include <stdio.h>
+#include <string.h>
+
+#define MAX_DIGITS 65  // 50! 的位数为 65
+
+void multiply(int digits[], int n, int* len) {
+    int carry = 0;
+    
+    for(int i = 0; i < *len; i++) {
+        int prod = digits[i] * n + carry;
+        digits[i] = prod % 10;
+        carry = prod / 10;
+    }
+    
+    while(carry) {
+        digits[*len] = carry % 10;
+        carry /= 10;
+        (*len)++;
+    }
+}
+
+int main(void) {
+    int digits[MAX_DIGITS] = {1};  // 初始值为 1
+    int len = 1;
+    
+    // 计算阶乘
+    for(int i = 2; i <= 50; i++) {
+        multiply(digits, i, &len);
+    }
+    
+    // 倒序输出结果
+    printf("50! = ");
+    for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {
+        printf("%d", digits[i]);
+    }
+    printf("\n");
+    
+    return 0;
+}
+```

docs/教程/题解/语法和标准库/unk_pi01.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+# 投飞镖估算π
+
+## 题目
+
+“投飞镖”可以近似 $\pi$ 的值。取 $[-1,1]\times[-1,1]$ 的区域，向其中随机投掷 M 个飞镖，会产生 M 个落点。若其中有 m 个落点落在单位圆内，则 $\pi$ 的近似值为 $\frac{4m}{M}$。设计程序，输入投掷次数，估算 $\pi$ 的值。
+
+## 解析
+
+这是蒙特卡洛方法的典型应用。原理：
+
+1. 在正方形区域内随机投掷点，正方形边长为 2，中心在原点。
+2. 统计落在单位圆内的点数。
+3. $\pi$ 值近似等于：$\pi\approx\frac{4N_{\text{圆内}}}{N_{\text{总}}}$
+
+这是因为单位圆与其外接正方形的面积比为 $\frac{\pi r^2}{(2r)^2}=\frac{\pi}{4}$。当采样点数量足够大时，点的分布比例会近似于面积比。
+
+## 答案
+
+```c
+#include <stdio.h>
+#include <stdlib.h>
+#include <time.h>
+
+int main(void) {
+    int M;
+    printf("输入投掷次数：");
+    scanf("%d", &M);
+    
+    srand(time(NULL));
+    int in_circle = 0;
+    
+    for(int i = 0; i < M; i++) {
+        // 使用 -1 到 1 的范围以充分利用圆形区域
+        double x = 2.0 * rand() / RAND_MAX - 1.0;
+        double y = 2.0 * rand() / RAND_MAX - 1.0;
+        if(x*x + y*y <= 1) {
+            in_circle++;
+        }
+    }
+    
+    double pi = 4.0 * in_circle / M;
+    printf("π ≈ %.6f\n", pi);
+    return 0;
+}
+```

docs/教程/题解/语法和标准库/unk_pi02.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+# 投针估算π
+
+## 题目
+
+“投针”可以近似 $\pi$ 的值。在无限大的桌面上设置间距为 d 的一组平行线。将 M 个长度为 d 的针随机投掷到桌面上，若其中有 m 个针压到了某条线，则 $\pi$ 的近似值为 $\frac{2M}{m}$。
+
+## 解析
+
+布丰投针问题的数学原理：
+
+1. 设针长为 $\ell$，平行线间距为 $d$
+2. 针与任意一条线相交的概率为 $P(\text{相交})=\frac{2\ell}{\pi d}$
+3. 当 $\ell = d$ 时，$\pi = \frac{2N_{\text{总}}}{N_{\text{相交}}}$，其中：
+   - $N_{\text{总}}$ 是投掷总次数
+   - $N_{\text{相交}}$ 是相交次数
+
+判断相交的条件：针中点到最近平行线的距离 $y \leq \frac{\ell}{2}|\sin(\theta)|$，其中 $\theta$ 是针与线的夹角。
+
+### 证明
+
+设针中点到最近平行线的距离为 $y$，针与线的夹角为 $\theta$，则：
+
+1. $y$ 在 $[0,\frac{d}{2}]$ 上均匀分布
+2. $\theta$ 在 $[0,\pi]$ 上均匀分布
+3. 相交概率为：
+
+$$P(\text{相交})=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{\ell\sin\theta}{d}d\theta=\frac{2\ell}{\pi d}$$
+
+## 答案
+
+```c
+#include <stdio.h>
+#include <stdlib.h>
+#include <time.h>
+#include <math.h>
+
+int main(void) {
+    int M;
+    printf("输入投掷次数：");
+    scanf("%d", &M);
+    
+    srand(time(NULL));
+    int cross = 0;
+    const double d = 1.0;  // 线间距
+    const double l = 1.0;  // 针长
+    
+    for(int i = 0; i < M; i++) {
+        // y是针中点到最近线的距离
+        double y = (double)rand() / RAND_MAX * (d/2);
+        // theta是针与线的夹角
+        double theta = (double)rand() / RAND_MAX * M_PI;
+        
+        // 判断是否相交
+        if(y <= (l/2) * sin(theta)) {
+            cross++;
+        }
+    }
+    
+    double pi = 2.0 * M / cross;
+    printf("π ≈ %.6f\n", pi);
+    return 0;
+}
+```

docs/教程/题解/语法和标准库/unk_vec.md

@@ -0,0 +1,121 @@
+# unk_vec
+
+## 题目
+
+输入维数 n，再输入两个 n 维向量在某直角坐标系内的坐标，输出它们的夹角。
+
+## 解析
+
+$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$$
+
+## 答案
+
+```c
+#include <stdio.h>
+#include <math.h>
+#include <stdlib.h>
+
+// 判断是否为零向量
+int is_zero_vector(const double* v, int n) {
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        if (fabs(v[i]) > 1e-10) return 0;  // 使用小阈值判断是否为 0
+    }
+    return 1;
+}
+
+double dot_product(const double* a, const double* b, int n) {
+    double sum = 0;
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        sum += a[i] * b[i];
+    }
+    return sum;
+}
+
+double vector_length(const double* v, int n) {
+    return sqrt(dot_product(v, v, n));
+}
+
+int main(void) {
+    int n;
+    printf("请输入向量维数：");
+    scanf("%d", &n);
+    
+    if (n <= 0) {
+        printf("错误：维数必须为正整数\n");
+        return 1;
+    }
+    
+    double* v1 = malloc(n * sizeof(double));
+    double* v2 = malloc(n * sizeof(double));
+    
+    if (!v1 || !v2) {
+        printf("错误：内存分配失败\n");
+        free(v1);
+        free(v2);
+        return 1;
+    }
+    
+    printf("请输入第一个向量的坐标：\n");
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        scanf("%lf", &v1[i]);
+    }
+    
+    printf("请输入第二个向量的坐标：\n");
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        scanf("%lf", &v2[i]);
+    }
+    
+    // 检查零向量
+    if (is_zero_vector(v1, n) || is_zero_vector(v2, n)) {
+        printf("错误：零向量没有方向，无法计算夹角\n");
+        free(v1);
+        free(v2);
+        return 1;
+    }
+    
+    double cos_theta = dot_product(v1, v2, n) / 
+                      (vector_length(v1, n) * vector_length(v2, n));
+                      
+    // 处理数值误差导致的 cos_theta > 1 或 cos_theta < -1 的情况
+    if (cos_theta > 1) cos_theta = 1;
+    if (cos_theta < -1) cos_theta = -1;
+    
+    double angle = acos(cos_theta) * 180.0 / M_PI;
+    
+    printf("两向量的夹角为：%.2f度\n", angle);
+    
+    free(v1);
+    free(v2);
+    return 0;
+}
+```
+
+## 题外话
+
+在高维空间中，随机选择两个向量时，这两个向量垂直或接近垂直的概率会随着维数的增加而增大。
+
+### 数学证明
+
+考虑在 n 维空间中随机选择两个单位向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$。它们的夹角 θ 满足：
+
+$$\cos\theta=\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^n a_i b_i$$
+
+根据大数定律，当 n 趋于无穷时，这个点积会趋近于 0（因为每一项 $a_i b_i$ 的期望为 0）。具体地：
+
+1. 设 $X_i = a_i b_i$，则 $\mathbb{E}(X_i) = 0$（因为 $a_i$ 和 $b_i$ 独立且对称分布）
+
+2. $\mathrm{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2}$（因为是单位向量）
+
+3. 根据中心极限定理，当 $n \to \infty$ 时：
+
+   $$\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{\mathrm{Var}(\sum_{i=1}^n X_i)}} \sim \mathcal{N}(0,1)$$
+
+4. 因此：
+
+   $$\mathrm{P}(|\cos\theta| < \epsilon) \to 1 \text{ 当 } n \to \infty$$
+
+这说明在高维空间中，随机选择的两个向量很可能接近垂直（夹角接近 90°）。
+
+### 直观理解
+
+可以这样理解：在高维空间中，向量的分量越多，它们的点积中的正项和负项相互抵消的机会就越大，使得最终的点积趋近于零，即夹角趋近于 90°。