i want to merge all branches

Author: NF-coder

linal/sem2/ТМ3/тм-линал-3.xopp

@@ -0,0 +1,13 @@
+#set page(width: 20cm, height: 9.4cm, fill: color.hsl(230.36deg, 100%, 89.02%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +П1.  Гармонический ряд и его поведение в смысле сходимости
+
+Пусть $a in RR$. Исследуем на сходимость ряд  
+$ sum_(k=1)^infinity a^k $
+называемый в дальнейшем геометрическим рядом.
+
+$quad$ Ясно, что согласно (или по аналогии) примерам, приведенным выше, при $a = +-1$ он расходится. Если же $a != +-1$, то  
+$ S_n = a + a^2 + dots + a^n = (a(1 - a^n))/(1 - a) $.
+Эта последовательность имеет конечный предел лишь когда $|a| < 1$. В этом случае  
+$ lim_(n -> infinity) S_n = (a)/(1 - a) $.
+Иначе ряд расходится.

linal/sem2/ТМ3/тм-линал-3_полуликвидирован.pdf

@@ -0,0 +1,28 @@
+#set page(width: 20cm, height: 20.4cm, fill: color.hsl(230.36deg, 100%, 89.02%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +П2. Обобщённый гармонический ряд (ряд Дирихле) и его поведение в смысле сходимости
+
+Исследовать на сходимость ряд (обобщенный гармонический ряд, ряд Дирихле):  
+
+$ sum_(k=1)^infinity 1/k^alpha $
+Как мы уже знаем, при $alpha = 1$ рассматриваемый ряд является гармоническим (пример 92), а значит он расходится. Так как при $alpha < 1$ выполняется неравенство  
+
+$ 1/k^alpha >= 1/k $
+то, согласно теореме 130 о признаках сравнения, при $alpha < 1$ рассматриваемый ряд расходится.
+
+Пусть $alpha > 1$, на отрезке $[n,n+1]$, $n in NN$, рассмотрим функцию $x^(1-alpha)$. По теореме Лагранжа (56),  
+
+$ 1/(n+1)^(alpha-1) - 1/n^(alpha-1) = -(alpha-1)/xi^alpha, quad xi in (n,n+1) $
+Но тогда  
+$ 1/n^(alpha-1) - 1/(n+1)^(alpha-1) = (alpha-1)/xi^alpha >= (alpha-1)/(n+1)^alpha $
+Суммируя неравенства по $n in {1,...,k}$, получим  
+$ 1/(alpha-1) (1 - 1/(k+1)^(alpha-1)) >= sum_(n=1)^k 1/(n+1)^alpha $
+Так как  
+$ lim_(k -> infinity) 1/(alpha-1) (1 - 1/(k+1)^(alpha-1)) = 1/(alpha-1) $
+то, согласно теореме 130 о признаках сравнения заключаем, что ряд  
+$ sum_(n=1)^infinity 1/(n+1)^alpha $
+сходится, а значит сходится и исследуемый нами ряд. Итого,  
+$ sum_(n=1)^infinity 1/n^alpha <--> cases(
+  "сходится" quad alpha > 1 \
+  "расходится" quad alpha <= 1
+) $

matan/sem2/KLK1/test.pdf

@@ -0,0 +1,13 @@
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(288.46deg, 100%, 89.8%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +Л1\*. О сходимости числового ряда в терминах остатков
+
+Для сходимости ряда с общим членом $a_k$ необходимо и достаточно, чтобы сходился любой его остаток $R_m$. В этом случае  
+
+$ sum_(k=1)^infinity a_k = sum_(k=1)^m a_k + R_m = S_m + R_m $
+
+*Доказательство.* Ясно, что при $n > m$ справедливо равенство  
+
+$ sum_(k=1)^n a_k = sum_(k=1)^m a_k + sum_(k=m+1)^n a_k $
+
+Так как первое слагаемое после знака равенства — число, не зависящее от $n$, то сходимость исходного ряда равносильна сходимости $R_m$. Заявленное равенство получается предельным переходом.

matan/sem2/KLK2/E/E1.typ

@@ -0,0 +1,20 @@
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(288.46deg, 100%, 89.8%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л10\*. Лемма к достаточному условию сходимости ряда Фурье
+Пусть функция $ f$ является $2pi $-периодической на $RR $. Тогда  
+
+$ T_n(x) = 1/(2pi) integral_0^pi (f(x-t) + f(x+t)) D_n(t) d t $
+
+*Доказательство.* Вспомним, что  
+
+$ T_n(x) = 1/(2pi) integral_(-pi)^pi f(t) D_n (x-t) d t $
+
+Сделаем замену переменной $ p = x - t$ и учтем, что, согласно условию и свойствам ядра Дирихле (90), подынтегральная функция является $2pi $-периодической. Тогда  
+
+$ T_n(x) = 1/(2pi) integral_(-pi)^(+pi) f(x-p) D_n (p) d p = 1/(2pi) integral_(-pi)^pi f(x-p) D_n (p) d p $
+
+Так как ядро Дирихле является четным (лемма 90), то
+
+$ T_n(x) = 1/(2pi) integral_0^pi (f(x-p) + f(x+p)) D_n (p) d p $
+
+что и доказывает лемму.

matan/sem2/KLK2/E/E2.typ

@@ -0,0 +1,16 @@
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(288.46deg, 100%, 89.8%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +Л2\*. О стремлении остатка числового ряда к нулю
+
+Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы  
+
+$ lim_(m -> infinity) R_m = 0 $
+
+*Доказательство.*  
+1. Докажем необходимость. Пусть ряд сходится. Тогда, по предыдущей лемме,  
+
+$ S = sum_(k=1)^infinity a_k = S_m + R_m $
+
+$"Так как" lim_(m -> infinity) S_m = S ", то " lim_(m -> infinity) R_m = 0 $
+
+2. Докажем достаточность. Пусть $lim_(m -> infinity) R_m = 0$. Тогда для всех номеров $m$ определен и конечен $R_m$, а значит, например, сходится $R_1$. Но тогда, по замечанию выше, сходится и ряд.

matan/sem2/KLK2/L/L1.typ

@@ -0,0 +1,16 @@
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(288.46deg, 100%, 89.8%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +Л3\*. Линейность суммирования для числового ряда
+Пусть сходятся ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$. Тогда при любых $alpha, beta in RR$ сходится ряд с общим членом $alpha a_k + beta b_k$, причем  
+
+$ sum_(k=1)^infinity (alpha a_k + beta b_k) = alpha sum_(k=1)^infinity a_k + beta sum_(k=1)^infinity b_k $
+
+*Доказательство.* Обозначим  
+
+$ S^A = sum_(k=1)^infinity a_k quad S_n^A = sum_(k=1)^n a_k quad S^B = sum_(k=1)^infinity b_k quad S_n^B = sum_(k=1)^n b_k $
+
+Тогда  
+
+$ S_n = sum_(k=1)^n (alpha a_k + beta b_k) = alpha S_n^A + beta S_n^B -->_(n -> infinity) alpha S^A + beta S^B $
+
+что и доказывает утверждение.

matan/sem2/KLK2/L/L10.typ

@@ -0,0 +1,15 @@
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(288.46deg, 100%, 89.8%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +Л4\*. Монотонность суммирования для числового ряда
+
+Пусть $a_k <= b_k$ и ряды с общими членами $a_k$ и $b_k$ имеют суммы в $RR$. Тогда  
+
+$ sum_(k=1)^infinity a_k <= sum_(k=1)^infinity b_k $
+
+*Доказательство.* Обозначим  
+
+$ S^A = sum_(k=1)^infinity a_k quad S_n^A = sum_(k=1)^n a_k quad S^B = sum_(k=1)^infinity b_k quad S_n^B = sum_(k=1)^n b_k $
+
+Тогда, согласно условию,  
+
+$ S_n^A <= S_n^B => lim_(n -> infinity) S_n^A <= lim_(n -> infinity) S_n^B => S^A <= S^B $