DGMA added

Author: NF-coder

DGMA/sem3/HW2/main.pdf

@@ -0,0 +1,34 @@
+#set page(
+  margin: 1.5cm,
+  numbering: "1"
+)
+#set par(justify: true)
+#set text(
+  lang: "ru",
+  size: 12pt,
+  font: "New Computer Modern",
+)
+
+#show math.cases: math.display
+
+#show link: it => underline(text(fill: dark_blue)[#it])
+
+#include "titlePage.typ"
+
+#pagebreak()
+
+// БЛОК С ЗАДАНИЯМИ
+
+#include "tasks/task1.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "tasks/task2.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "tasks/task3.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "tasks/task4.typ"

DGMA/sem3/HW2/main.typ

@@ -0,0 +1,52 @@
+* Задание №1 * \
+Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми:
+$
+  (x^2/4 + y^2/9)^2 = x^2/4 - y^2/9
+$
+$
+  D: (x^2/4 + y^2/9)^2 = x^2/4 - y^2/9
+  quad quad
+  S = integral.double_D d x d y
+$
+Проведём замену:
+$
+  cases(
+    u=x/2,
+    v=y/3
+  ) space => space cases(
+    x=2u,
+    y=3v
+  )\
+  J = mat(
+    delim: "|",
+    x'_u, x'_v;
+    y'_u, y'_v;
+  ) = mat(
+    delim: "|",
+    2, 0;
+    0, 3;
+  ) = 6 \
+  D_2: (u^2 + v^2)^2 = u^2 - v^2
+  quad quad
+  S = 6 dot integral.double_D_2 d u d v
+$
+Перейдём в полярные кординаты:
+$
+  cases(
+    u = r cos(phi),
+    v = r sin(phi)
+  )\
+  ((r cos(phi))^2 + (r sin(phi))^2)^2 = (r cos(phi))^2 - (r sin(phi))^2\
+  r^4(cos(phi)^2 + sin(phi)^2)^2 = r^2(cos(phi)^2 - sin(phi)^2)\
+
+  r^2 = cos(2 phi) => r = plus.minus sqrt(cos(2 phi)) 
+  space #text[_но т.к _] r > 0, #text[_то_] space r = sqrt(cos(2 phi))\
+  #text[_при этом _] space 2 phi in [-pi/2, pi/2] + 2pi k => phi in [-pi/4, pi/4] + pi k\
+  #text[_т.е. кривую можно разбить на 2 идентичные области_]\
+$
+#v(3pt)
+$
+  S = 6 dot 2 dot integral_(-pi/4)^(pi/4) integral_0^(sqrt(cos(2 phi))) r space d r d phi = 12 dot integral_(-pi/4)^(pi/4) 1/2 cos(2 phi) d phi = mat(delim: "[", t=2phi; d t = 2 d phi) =\ 
+  = 6 dot integral_(-pi/2)^(pi/2) 1/2 cos(t) d t  = 3 dot (-sin(-pi/2) + sin(pi/2)) = 6
+$
+Ответ: 6

DGMA/sem3/HW2/task.pdf

@@ -0,0 +1,21 @@
+* Задание №2 * \
+Вычислить объёмы тел, ограниченных данными поверхностями:
+$z = 0$, $z = 3 - x^2 - y^2$
+
+Найдём точки пересечения:
+$
+  3 - x^2 - y^2 = 0\
+  x^2 + y^2 = 3 => #text[_окружность радиуса $sqrt(3)$ с центром (0;0)_]\
+$
+
+$
+  V = integral_(-sqrt(3))^(sqrt(3)) integral_(-sqrt(3-x^2))^sqrt(3-x^2) integral_0^(3 - x^2 - y^2) d z d y d x = integral_(-sqrt(3))^(sqrt(3)) integral_(-sqrt(3-x^2))^sqrt(3-x^2) (3 - x^2 - y^2) d y d x = \
+  = integral_(-sqrt(3))^(sqrt(3)) ((3 - x^2)sqrt(3-x^2) - (3-x^2)^1.5/3) + ((3 - x^2)sqrt(3-x^2) - (3-x^2)^1.5/3) d x =\
+  = 2 integral_(-sqrt(3))^(sqrt(3)) 2(3-x^2)^1.5/3 d x = 4/3 integral_(-sqrt(3))^(sqrt(3)) (3-x^2)^1.5 d x = mat(delim: "[", x=sqrt(3)sin(t); d x = sqrt(3) cos(t) d t) =\
+  = 4/3 integral_(-pi/2)^(pi/2) (3-3sin(t)^2)^1.5 sqrt(3) cos(t) d t = 4/3 integral_(-pi/2)^(pi/2) 9 cos(t)^(2 dot 1.5 + 1) d t = 12 integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(t)^4 d t = \
+  = 12 integral_(-pi/2)^(pi/2) ((cos(2 t) + 1)/2)^2 d t = 3 integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(2 t)^2 + 2cos(2 t) + 1 space d t = \
+  = 3 (integral_(-pi/2)^(pi/2) (cos(4 t) + 1)/2 d t + 2 integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(2 t) d t + integral_(-pi/2)^(pi/2) d t) =\
+  = 3 (1/2integral_(-pi/2)^(pi/2) cos(4 t) d t + 1/2integral_(-pi/2)^(pi/2) d t +  (sin(pi) - sin(-pi)) + (pi/2 + pi/2)) =\
+  = 3 (1/8(sin(2pi) - sin(-2pi)) + 1/2 (pi/2 + pi/2) + 0 + pi) = 3 dot 3/2 pi  = 9/2 pi
+$
+Ответ: $9/2 pi$

DGMA/sem3/HW2/tasks/task1.typ

@@ -0,0 +1,49 @@
+* Задание №3 * \
+Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного:
+параболоидом $4x = y^2 + z^2$ и плоскостью $x = 2$
+
+Найдём точки пересечения:
+$
+  8 = y^2 + z^2\
+  y^2 + z^2 = 8 => #text[_окружность радиуса $sqrt(8)$ с центром (0;0)_]\
+$
+Т.к. тело однородное, то примем его плотность за 1
+$
+  V = integral_(-sqrt(8))^sqrt(8) integral_(-sqrt(8-z^2))^(sqrt(8-z^2)) integral^((y^2 + z^2)/4)_2 d x d y d z
+$
+Перейдём в ЦСК
+$
+  cases(
+    x = h,
+    y = r cos(theta),
+    z = r sin(theta),
+  ) \ J = mat(delim:"|", 1,0,0; 0,cos(theta),-r sin(theta); 0,sin(theta),r cos(theta) ) = 1 dot cos(theta) dot r cos(theta)  - (- r sin(theta)) dot sin(theta) dot 1 = r (cos(theta)^2 + sin(theta)^2) = r\
+
+  (y^2 + z^2)/4 = (r^2 cos(theta)^2 + r^2 sin(theta)^2)/4 = r^2/4\
+
+  V = integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4) r space d h d phi d r = integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) r(r^2/4 - 2) d phi d r =  integral_0^(sqrt(8)) 2pi r(r^2/4 - 2) d r =\ 1/2 pi integral_0^(sqrt(8)) r^3 d r - 4pi integral_0^(sqrt(8))r d r =  1/2 pi (sqrt(8))^4 /4 - 4 pi (sqrt(8))^2/2 = \
+  = pi 64/8 - pi 18 = -8 pi
+$
+Теперь найдём координаты центра масс:
+$
+  x = (integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4) r h space d h d phi d r) / V \
+  integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4) r h space d h d phi d r = integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) r  ((r^2/4)^2/2 - (2)^2/2) space d phi d r = integral_0^(sqrt(8)) pi r (r^4/16 - 4) space d r =\
+  = integral_0^(sqrt(8)) pi r (r^4/16 - 4) space d r = pi/16 integral_0^(sqrt(8)) r^5 space d r - 4 pi integral_0^(sqrt(8)) r space d r = pi/16 (sqrt(8))^6/6 - 4pi 8/2 = (pi dot 8^2) / (2 dot 6) - 16 pi = \
+  = (pi dot 16)/3 - 16 pi = -32/3 pi\
+  x = -32/3 pi dot (-1/(8pi)) = 32/(3 dot 8) = 4/3\
+$
+#v(24pt)
+$
+  y = (integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4) r^2 cos(phi) space d h d phi d r) / V \
+  integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4) r^2 cos(phi) space d h d phi d r = integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) 2pi r^2 cos(phi) - 2 r^2 cos(phi) space d phi d r =\
+  = 2 integral_0^(sqrt(8)) r^2 integral_0^(2pi) pi cos(phi) - cos(phi) space d phi d r = 2 integral_0^(sqrt(8)) 0 d r = 0 \
+  y = 0
+$
+#v(24pt)
+$
+  z = (integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4)  r^2 sin(phi) space d h d phi d r) / V \
+  integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) integral_2^(r^2/4) r^2 sin(phi) space d h d phi d r = integral_0^(sqrt(8)) integral_0^(2pi) 2pi r^2 sin(phi) - 2 r^2 sin(phi) space d phi d r =\
+  = 2 integral_0^(sqrt(8)) r^2 integral_0^(2pi) pi sin(phi) - sin(phi) space d phi d r = 2 integral_0^(sqrt(8)) 0 d r = 0 \
+  z = 0
+$
+Ответ: $(4/3; 0; 0)$

DGMA/sem3/HW2/tasks/task2.typ

@@ -0,0 +1,17 @@
+* Задание №4 * \
+Вычислить (тройным интегралом) объёмы тел, ограниченных поверхностями:
+$
+  z = x + y quad
+  z = x y quad
+  x + y = 1 quad
+  x = 0 quad
+  y = 0
+$
+$
+  V = integral_0^1 integral_0^(1-x) integral_(x y)^(x+y) d z d y d x = integral_0^1 integral_0^(1-x) (x+y) - x y space d y d x =\
+  = integral_0^1 x(1-x) d x + integral_0^1 (1-x)^2/2 d x - integral_0^1 x (1-x)^2/2 d x =\
+  = integral_0^1 x-x^2  space d x + 1/2 integral_0^1 1 - 2x + x^2 space d x - 1/2 integral_0^1 x - 2x^2 + x^3 space d x =\
+  = 1/2 ( 2 integral_0^1x d x - 2integral_0^1 x^2 d x + integral_0^1 d x - 2 integral_0^1 x d x + integral_0^1 x^2 d x - integral_0^1 x d x + 2integral_0^1 x^2 d x - integral_0^1 x^3 d x) = \
+  = 1/2 ( integral_0^1 d x - integral_0^1 x d x + integral_0^1 x^2 d x - integral_0^1 x^3 d x) = 1/2(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4) = 1/2 dot (12 - 6 + 4 - 3)/12 =  7/24
+$
+Ответ: $7/24$

DGMA/sem3/HW2/tasks/task3.typ

@@ -0,0 +1,31 @@
+// DOCUMENT TITLE PAGE
+#align(center)[
+  #text(size:12pt)[
+    Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего
+    образования «Национальный исследовательский университет ИТМО»\
+    Дисциплина «Дополнительный главы математического анализа»\
+  ]
+]
+
+#align(center + horizon)[
+  #box(
+      width: 100%,
+      height: 8cm
+  )[
+    #text(size: 14pt)[
+      *Домашняя работа №2*\
+      Вариант №1
+    ]
+  ]
+]
+#align(right)[  
+  Выполнил:\  
+  Решетников С.Е.\
+  
+  Проверил:\  
+  Богачев В.А. 
+]
+
+#align(center + bottom)[
+  Санкт-Петербург, 2025
+]

DGMA/sem3/HW2/tasks/task4.typ

@@ -0,0 +1,57 @@
+#set page(
+  margin: 1.5cm,
+  numbering: "1"
+)
+#set par(justify: true)
+#set text(
+  lang: "ru",
+  size: 12pt,
+  font: "New Computer Modern",
+)
+
+#show math.cases: math.display
+
+#show link: it => underline(text(fill: dark_blue)[#it])
+
+#include "titlePage.typ"
+
+
+#pagebreak()
+
+
+// БЛОК С ЗАДАНИЯМИ
+
+#include "task1/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "task2/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "task3/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "task4/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "task5/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "task6/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+#include "task7/main.typ"
+
+#line(length: 100%)
+
+// КОНЕЦ БЛОКА С ЗАДАНИЯМИ
+
+
+#pagebreak()
+
+#include "marksPage.typ"