update matan/sem2/klk2

Author: NF-coder

matan/sem2/KLK2/E/E1.1.typ

@@ -0,0 +1,17 @@
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(230.36deg, 100%, 89.02%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= +П1.2.  Гармонический ряд и его поведение в смысле сходимости
+
+Исследовать на сходимость (гармонический) ряд:
+
+$ sum_(k=1)^infinity 1/k $
+
+Положим в критерии Коши $p = n$ и рассмотрим следующую цепочку преобразований:
+
+$ sum_(k=n+1)^(2n) 1/k = 1/(n+1) + 1/(n+2) + dots + 1/(2n) >= 1/(2n) dot n = 1/2 $
+
+Итак, взяв $epsilon = 0.5$, для любого наперед заданного $n_0$ достаточно взять $n > n_0$ и $p = n$, чтобы сумма
+
+$ sum_(k=n+1)^(2n) 1/k $
+
+была больше, чем 0.5. Тем самым, мы попадаем в рамки отрицания критерия Коши, и рассматриваемый ряд расходится.

matan/sem2/KLK2/E/E1.typ

@@ -1,13 +1,15 @@
-#set page(width: 20cm, height: 9.4cm, fill: color.hsl(230.36deg, 100%, 89.02%), margin: 15pt)
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(230.36deg, 100%, 89.02%), margin: 15pt)
 #set align(left + top)
-= +П1.  Гармонический ряд и его поведение в смысле сходимости
+= +П1.1.  Гармонический ряд и его поведение в смысле сходимости
+
+*Внимание! В списках билетов указано "Гармонический ряд и его поведение в смысле сходимости", но в списках указано замечание №90, которое соответствует Геометрическому ряду. В этом билете указан геометрический ряд (№90), ниже  приведён гармонический*
 
 Пусть $a in RR$. Исследуем на сходимость ряд  
 $ sum_(k=1)^infinity a^k $
 называемый в дальнейшем геометрическим рядом.
 
 $quad$ Ясно, что согласно (или по аналогии) примерам, приведенным выше, при $a = +-1$ он расходится. Если же $a != +-1$, то  
-$ S_n = a + a^2 + dots + a^n = (a(1 - a^n))/(1 - a) $.
+$ S_n = a + a^2 + dots + a^n = (a(1 - a^n))/(1 - a) $
 Эта последовательность имеет конечный предел лишь когда $|a| < 1$. В этом случае  
-$ lim_(n -> infinity) S_n = (a)/(1 - a) $.
+$ lim_(n -> infinity) S_n = (a)/(1 - a) $
 Иначе ряд расходится.

matan/sem2/KLK2/T/T11.typ

@@ -4,7 +4,7 @@
 
 Для того чтобы функциональная последовательность $f_k: X -> RR$ сходилась равномерно на $D subset X$ необходимо и достаточно, чтобы
 
-$ forall epsilon > 0 exists k_0 in NN : forall k > k_0 forall p in NN forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k(x)| < epsilon $
+$ forall epsilon > 0 exists k_0 in NN : forall k > k_0 forall p in NN forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k (x)| < epsilon $
 
 *Доказательство.* Докажем необходимость. Пусть $epsilon > 0$. В силу равномерной сходимости $f_k$ к некоторой функции $f$,
 
@@ -16,18 +16,18 @@ $ |f_(k+p) - f_k| <= |f_(k+p) - f| + |f - f_k| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon
 
 Докажем достаточность. Условие
 
-$ forall epsilon > 0 exists k_0 in NN : forall k > k_0 forall p in NN forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k(x)| < epsilon $
+$ forall epsilon > 0 exists k_0 in NN : forall k > k_0 forall p in NN forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k (x)| < epsilon $
 
 гарантирует, что при каждом $x in D$ числовая последовательность фундаментальна, значит (теорема 16) сходится. Положим
 
-$ f(x) = lim_(k -> infinity) f_k(x), quad x in D $
+$ f(x) = lim_(k -> infinity) f_k (x), quad x in D $
 
 Пусть $epsilon > 0$. По условию найдем $k_0$, что при $k > k_0$ и $p in NN$
 
-$ forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k(x)| < epsilon $
+$ forall x in D |f_(k+p) (x) - f_k (x)| < epsilon $
 
 Переходя к пределу при $p -> infinity$, получим
 
-$ forall x in D |f(x) - f_k(x)| <= epsilon $
+$ forall x in D |f(x) - f_k (x)| <= epsilon $
 
 откуда и следует требуемое.

matan/sem2/KLK2/T/T12.typ

@@ -3,6 +3,6 @@
 = +T12\*. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
 Ряд с общим членом $f_k: X -> RR$ сходится равномерно на $D subset X$ тогда и только тогда, когда  
 
-$ forall ε > 0 exists n_0 in NN : forall n > n_0 forall p in NN forall x in D |sum_(k=n+1)^(n+p) f_k(x)| < ε $
+$ forall epsilon > 0 exists n_0 in NN : forall n > n_0 quad forall p in NN quad forall x in D quad abs(sum_(k=n+1)^(n+p) f_k (x)) < epsilon $
 
 *Доказательство.* Доказательство следует из предыдущей теоремы, так как равномерная сходимость ряда — суть равномерная сходимость последовательности его частичных сумм.

matan/sem2/KLK2/T/T14.typ

@@ -4,7 +4,7 @@
 
 Пусть $f_k: X -> RR$, $D subset X$. Если существует последовательность $a_k$, что  
 
-$ |f_k(x)| <= a_k, quad x in D $
+$ |f_k (x)| <= a_k, quad x in D $
 
 и ряд с общим членом $a_k$ сходится, то функциональный ряд с общим членом $f_k$ сходится равномерно (и абсолютно) на $D$.
 
@@ -14,6 +14,6 @@ $ exists n_0 in NN : forall n > n_0, forall p in NN sum_(k=n+1)^(n+p) a_k < epsi
 
 В то же время,
 
-$ abs(sum_(k=n+1)^(n+p) f_k(x)) <= sum_(k=n+1)^(n+p) |f_k(x)| <= sum_(k=n+1)^(n+p) a_k < epsilon $
+$ abs(sum_(k=n+1)^(n+p) f_k (x)) <= sum_(k=n+1)^(n+p) |f_k (x)| <= sum_(k=n+1)^(n+p) a_k < epsilon $
 
 что верно сразу для всех $x in D$. Значит, используя критерий Коши равномерной сходимости ряда (теорема 140), а также определение абсолютной сходимости, получаем требуемое.

matan/sem2/KLK2/T/T15.typ

@@ -9,7 +9,7 @@
 
 2. Для каждого $k in NN$ существует предел  
 
-$ lim_(x -> x_0) f_k(x) = a_k in RR $
+$ lim_(x -> x_0) f_k (x) = a_k in RR $
 
 где $x_0$ — предельная для $D$.  
 
@@ -19,11 +19,11 @@ $ lim_(k -> infinity) a_k quad text(и) quad lim_(x -> x_0) f(x) $
 
 существуют (в $RR$) и совпадают, то есть  
 
-$ lim_(x -> x_0) lim_(k -> infinity) f_k(x) = lim_(k -> infinity) lim_(x -> x_0) f_k(x) $
+$ lim_(x -> x_0) lim_(k -> infinity) f_k (x) = lim_(k -> infinity) lim_(x -> x_0) f_k (x) $
 
 *Доказательство.* Пусть $epsilon > 0$. Согласно критерию Коши 139,  
 
-$ exists k_0 : forall k > k_0 forall p in NN forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k(x)| < epsilon $
+$ exists k_0 : forall k > k_0 quad forall p in NN quad forall x in D |f_(k+p)(x) - f_k (x)| < epsilon $
 
 Перейдя к пределу при $x -> x_0$, получим  
 
@@ -36,22 +36,22 @@ $ lim_(x -> x_0) f(x) = A $
 
 Пусть $epsilon > 0$, тогда, в силу равномерной сходимости на $D$,  
 
-$ exists k_0 : forall k > k_0 forall x in D |f_k(x) - f(x)| < epsilon/3 $
+$ exists k_0 : forall k > k_0 forall x in D |f_k (x) - f(x)| < epsilon/3 $
 
 В силу сходимости последовательности $a_k$ к числу $A$,
 
 $ exists k_1 : forall k > k_1 |a_k - A| < epsilon/3 $
 
 Пусть $m = 1 + max(k_0, k_1)$, тогда одновременно, причем $forall x in D$
 
-$ |a_m - A| < epsilon quad text(и) quad |f_m(x) - f(x)| < epsilon/3 $
+$ |a_m - A| < epsilon quad text(и) quad |f_m (x) - f(x)| < epsilon/3 $
 
 Согласно определению предела функции,
 
-$ exists U_δ(x_0) : forall x in U_δ(x_0) ∩ D |f_m(x) - a_m| < epsilon/3 $
+$ exists U_delta (x_0) : forall x in U_delta (x_0) ∩ D |f_m(x) - a_m| < epsilon/3 $
 
 Значит, при $x in U_δ(x_0) ∩ D$, имеем
 
-$ |f(x) - A| <= |f(x) - f_m(x)| + |f_m(x) - a_m| + |a_m - A| < epsilon $
+$ |f(x) - A| <= |f(x) - f_m (x)| + |f_m (x) - a_m| + |a_m - A| < epsilon $
 
 что и завершает доказательство. 

matan/sem2/KLK2/T/T19.typ

@@ -12,7 +12,7 @@ $ integral_(a)^x f_k d x ==>_([a,b]) integral_(a)^x f d x $
 
 *Доказательство.* То, что $f in C[a, b]$ следует из теоремы о непрерывности предельной функции (145). Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть $epsilon > 0$. Тогда, в силу равномерной сходимости,
 
-$ exists k_0 : forall k > k_0 forall x in [a, b] |f(x) - f_k(x)| < epsilon/(b-a) $
+$ exists k_0 : forall k > k_0 forall x in [a, b] |f(x) - f_k (x)| < epsilon/(b-a) $
 
 Пусть $k > k_0$, тогда
 

matan/sem2/KLK2/main.pdf

@@ -30,10 +30,11 @@
 #include "O/O2.typ"
 #include "O/O3.typ"
 #include "O/O4.typ"
-#include "O/O5.typ"
+
 #include "O/O6.typ"
 
 #include "E/E1.typ"
+#include "E/E1.1.typ"
 #include "E/E2.typ"
 
 #include "O/O7.typ"