one more small change

Author: NF-coder

matan/sem2/KLK2/O/O20.typ

@@ -2,10 +2,10 @@
 #set align(left + top)
 = +О20. Тригонометрический ряд Фурье
 
-Если для функции $f$ существуют числа $a_m(f)$ и $b_m(f)$, введенные выше, то ряд  
+Если для функции $f$ существуют числа $a_m (f)$ и $b_m (f)$, введенные выше, то ряд  
 
-$ a_0(f)/2 + sum_(k=1)^infinity (a_k(f) cos k x + b_k(f) sin k x) $
+$ a_0(f)/2 + sum_(k=1)^infinity (a_k (f) cos k x + b_k (f) sin k x) $
 
-называется тригонометрическим рядом Фурье функции $f$, а числа $a_m(f)$ и $b_m(f)$ – коэффициентами Фурье функции $f$ относительно системы функций  
+называется тригонометрическим рядом Фурье функции $f$, а числа $a_m (f)$ и $b_m (f)$ – коэффициентами Фурье функции $f$ относительно системы функций  
 
 $ {1, cos k x, sin k x, k in NN} $

matan/sem2/KLK2/O/O22.typ

@@ -1,5 +1,32 @@
-#set page(width: 20cm, height: 2cm, fill: color.hsl(197.14deg, 71.43%, 90.39%), margin: 15pt)
+#set page(width: 20cm, height: auto, fill: color.hsl(197.14deg, 71.43%, 90.39%), margin: 15pt)
 #set align(left + top)
 = О22. Ядро Дирихле
 
+Преобразуем частичную сумму ряда Фурье в комплексной форме к более удобному виду:
+
+$ T_n (x) = sum_(k=-n)^n c_k (f) e^(i k x) 
+= sum_(k=-n)^n (1/(2 pi) integral_(-pi)^pi f(t) e^(-i k t) d t) e^(i k x) 
+= 1/(2 pi) integral_(-pi)^pi f(t) sum_(k=-n)^n e^(i k (x-t)) d t $
+
+Отдельно рассмотрим сумму (при $e^(i p) != 1$ $<=>$ $p != 2 pi k$, $k in ZZ$):
+
+$ D_n (p) = sum_(k=-n)^n e^(i k p) 
+= sum_(k=-n)^n (e^(i p))^k 
+= (e^(-i p n) (1 - e^(i p (2n+1))))/(1 - e^(i p)) 
+= (e^(-i p n) - e^(i p (n+1)))/(1 - e^(i p)) $
+
+Разделим числитель и знаменатель на $e^(i p/2)$, получим:
+
+$ D_n (p) = (e^(-i p (n+1/2)) - e^(i p (n+1/2)))/(e^(-i p/2) - e^(i p/2)) 
+= (sin((n + 1/2) p))/(sin(p/2)) $
+
+При $e^(i p) = 1$, очевидно, $D_n (p) = 2n + 1$. Итого,
+
+$ D_n (p) = cases(
+  (sin((n + 1/2) p))/(sin(p/2)) quad quad p != 2 pi k k in ZZ,
+  2n + 1  quad quad "иначе"
+) $
+
+Введем следующее определение.
+
 Функция $D_n (p)$ называется ядром Дирихле.