matan/sem2/klk1 preview

Author: NF-coder

matan/sem2/KLK1/L/L10.typ

@@ -0,0 +1,14 @@
+#set page(width: 20cm, height: 7.5cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л10. Лемма о совпадении несобственного интеграла и интеграла Римана
+\
+*О совпадении несобственного интеграла и интеграла Римана*
+
+Пусть $f in R[a, b]$. Тогда
+
+$ lim_(omega -> b-0) integral_a^omega f space d (x) = integral_a^b f space d (x), $
+
+где справа стоит интеграл Римана от функции $f$ по отрезку $[a, b]$.
+
+*Док-во:*
+Доказательство немедленно следует из свойства непрерывности интеграла с переменным верхним пределом (теорема 98).

matan/sem2/KLK1/L/L11.typ

@@ -0,0 +1,29 @@
+#set page(width: 20cm, height: 16.3cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л11\*. Критерий сходимости несобственного интеграла в терминах остатка
+
+Пусть $f in R_"loc" [a, b]$, $c in (a, b)$. Тогда сходимость несобственного интеграла от $f$ по $[a, b)$ равносильна тому, что
+
+$ lim_(c -> b-0) integral_c^b f d(x) = 0. $
+
+*Док-во:*
+
+Докажем _необходимость_. Пусть несобственный интеграл от $f$ по $[a, b)$ сходится. Тогда, по теореме об аддитивности по промежутку (теорема 94),
+
+$ integral_a^b f d(x) = integral_a^c f d(x) + integral_c^b f d(x). $
+
+Пусть теперь $c -> b-0$, тогда
+
+$ lim_(c -> b-0) integral_a^c f d(x) = integral_a^b f d(x), $
+
+откуда и следует требуемое.
+
+Докажем _достаточность_. Пусть остаток интеграла стремится к нулю. Значит, при некотором $c in (a, b)$
+
+$ integral_c^b f d(x) in RR. $
+
+Но тогда, при $omega > c$ выполнено
+
+$ integral_a^omega f d(x) = integral_a^c f d(x) + integral_c^omega f d(x) $
+
+и при $omega -> b-0$ приходим к требуемому.

matan/sem2/KLK1/L/L2.typ

@@ -0,0 +1,18 @@
+#set page(width: 20cm, height: 8.6cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л2\*\*. Лемма о дробях первого типа
+\
+*О дробях первого типа*
+Пусть
+$
+  (P_n (x))/(Q_m (x))
+$
+– правильная рациональная дробь и
+$
+  Q_m (x) = (x - a)^k dot overline(Q) (x)", где "overline(Q)(a) eq.not 0, overline(Q)" - многочлен."
+$
+Существуют число $A in RR$ и многочлен $overline(P) (x)$, такие что 
+$
+  (P_n (x))/(Q_m (x)) = A/((x-a)^k) + (overline(P) (x))/((x-a)^(k-1) dot overline(Q) (x))
+$
+причем написанное представление единственно

matan/sem2/KLK1/L/L3.typ

@@ -0,0 +1,18 @@
+#set page(width: 20cm, height: 9.2cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л3\*\*. Лемма о дробях второго типа
+\
+*О дробях второго типа*
+Пусть
+$
+  (P_n (x))/(Q_m (x))
+$
+– правильная рациональная дробь и
+$
+  Q_m (x) = (x^2 + p x + q)^k dot overline(Q) (x)", где "overline(Q)(alpha plus.minus i beta) eq.not 0, overline(Q)" – многочлен"
+$
+$p^2 - 4q < 0", а "alpha plus.minus i beta$ — комплексно-сопряженные корни квадратного трехчлена $x^2 + p x + q$. Существуют числа $A, B in RR$ и многочлен $overline(P) (x)$ такие, что:
+$
+  (P_n (x))/(Q_m (x)) = (A x+B)/(x^2 + p x + q)^k + (overline(P) (x))/((x^2 + p x + q)^(k-1) dot overline(Q) (x))
+$
+причем это представление единственно.

matan/sem2/KLK1/L/L4.typ

@@ -0,0 +1,29 @@
+#set page(width: 20cm, height: 12.8cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л4\*. Связь конечности сумм Дарбу и ограниченности функции
+\
+*О связи конечности сумм Дарбу и ограниченности функции*
+Ограниченность $f$ сверху (снизу) равносильна конечности произвольной верхней (нижней) суммы Дарбу.\
+*Док-во*\
+Докажем _необходимость_. Пусть $f$ ограничена сверху, то есть
+$
+ exists M : f(x) <= M, x in [a, b].
+$
+Пусть $tau$ — произвольное разбиение [a, b]. Тогда, так как $M_i <= M$, $i in {1, 2, dots, n}$,
+$ 
+  S_tau (f) = sum_(i=1)^n M_i Delta x_i <= sum_(i=1)^n M Delta x_i = M(b - a) < +infinity.
+$
+Случай, когда $f$ ограничена снизу доказывается аналогичным образом.
+
+Докажем _достаточность_. Пусть $tau$ — разбиение $[a, b]$ и $S_tau (f)$ конечна. Тогда
+
+$
+  M_i < +infinity, space i in {1, 2, dots, n}
+$
+и
+$
+  f(x) lt.eq M = max_(i in {1, 2, dots, n}) M_i = sup_(x in [a, b]) f(x), forall x in [a, b]
+$
+
+откуда и следует требуемое.
+Аналогичным образом доказывается утверждение в случае конечности $s_tau (f)$

matan/sem2/KLK1/L/L5.typ

@@ -0,0 +1,31 @@
+#set page(width: 20cm, height: 18cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л5\*. Связь сумм Дарбу и интегральных сумм
+\
+*О связи сумм Дарбу и интегральных сумм*
+Справедливы равенства
+$
+  S_tau (f) = sup_xi sigma_tau (f, xi), space space s_tau (f) = inf_xi sigma_tau (f, xi)
+$
+*Док-во*\
+Докажем первое равенство. Рассмотрим сначала случай, когда
+функция f ограничена сверху на [a, b]. Пусть $epsilon$ > 0, тогда, по определению супремума,
+$
+  exists xi_i in Delta_i: M_i - epsilon/(b-a) < f(xi_i), space space i in {1,2, dots, n}
+$
+Домножим каждое неравенство на $Delta x_i$ и сложим по $i$, получим
+$
+  sum_(i=1)^n ( M_i - epsilon/(b-a) ) Delta x_i < sum_(i=1)^n f(xi_i) Delta x_i
+$
+или
+$
+ sum_(i=1)^n M_i Delta x_i - epsilon < sigma_tau (f, xi) <=> S_tau (f) - epsilon < sigma_tau (f, xi)
+$
+Так как, как уже отмечалось, $S_tau (f) gt.eq sigma_tau (f, xi)$, то в итоге проверено, что
+$
+  S_tau (f) = sup_xi sigma_tau (f, xi)
+$
+Пусть теперь $f$ не ограничена сверху на [a, b], тогда $S_tau (f) = +infinity$. Ясно, что при фиксированном разбиении $tau$ функция $f$ не ограничена сверху хотя бы на одном отрезке разбиения $Delta_i$. Не нарушая общности можно считать, что она не ограничена на $Delta_1$. Тогда существует последовательность $xi^k_1$, что $f(xi^k_1) -->_(k->infinity) +infinity$. Пусть $xi_i in Delta_i$, $i in {2, dots, n}$, -- какие-то фиксированные точки, $xi^k = {xi^k_1, xi^k_2, dots, xi^k_n}$. Тогда, в силу определения супремума,
+$
+ sup_xi sigma_tau (f, xi) gt.eq lim_(k->infinity) ( f(xi^k_1) Delta x_1 + sum_(i=2)^n f(xi_i) Delta x_i ) = +infinity = S_tau (f)
+$

matan/sem2/KLK1/L/L6.typ

@@ -0,0 +1,32 @@
+#set page(width: 20cm, height: 14.5cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л6\*. Монотонность сумм Дарбу
+\
+*О монотонности сумм Дарбу*
+Пусть $tau_2 subset tau_1$, тогда
+$
+  S_tau_2 (f ) ≥ S_tau_1 (f), space space s_tau_1 (f) gt.eq s_tau_2 (f)
+$
+*Док-во*
+Докажем первое неравенство. Достаточно рассмотреть случай, когда измельчение $tau_1$ получается из $tau_2$ добавлением одной точки  $hat(x) in Delta_k = (x_(k−1), x_k).$
+
+$
+ S_(tau_2)(f) = sum_(i=1)^n M_i Delta x_i = sum_(i=1, i != k)^n M_i Delta x_i + M_k Delta x_k
+$
+
+Пусть
+
+$ M'_k = sup_(x in [x_(k-1), hat(x)]) f(x), quad M''_k = sup_(x in [hat(x), x_k]) f(x), $
+
+тогда
+
+$ M_k >= M'_k, quad M_k >= M''_k $
+
+и
+
+$ M_k Delta x_k = M_k (hat(x) - x_(k-1)) + M_k (x_k - hat(x)) >= M'_k (hat(x) - x_(k-1)) + M''_k (x_k - hat(x)), $
+
+откуда
+
+$ S_(r_2)(f) >= sum_(i=1, i != k)^n M_i Delta x_i + M'_k (hat(x) - x_(k-1)) + M''_k (x_k - hat(x)) = S_(r_1)(f). $
+Второе неравенство доказывается аналогично.

matan/sem2/KLK1/L/L7.typ

@@ -0,0 +1,13 @@
+#set page(width: 20cm, height: 6.6cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л7\*. Соотношение верхних и нижних сумм Дарбу (об ограниченности сумм Дарбу)
+\
+*Об ограниченности сумм Дарбу*
+Пусть $tau_1$ и $tau_2$ -- разбиения отрезка [a, b], тогда
+$s_tau_1 (f) lt.eq S_tau_2 (f)$.\
+*Док-во*\
+Разбиение $tau = tau_1 union tau_2$ является разбиением отрезка [a, b], причем $tau_1 subset tau, tau_2 subset tau$. Пользуясь монотонностью сумм Дарбу, получим
+$
+  s_tau_1 (f) lt.eq s_tau (f) lt.eq S_tau (f) lt.eq S_tau_2 (f)
+$
+что и доказывает утверждение

matan/sem2/KLK1/L/L8.typ

@@ -0,0 +1,14 @@
+#set page(width: 20cm, height: 7cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л8\*\*. Длины эквивалентных путей
+\
+*О длинах эквивалентных путей*
+Длины эквивалентных путей равны\
+*Док-во*\
+Пусть путь $gamma: [a, b] -> RR^n$ эквивалентен пути $tilde(gamma): [alpha, beta] -> RR^n$,  
+$u: [a, b] -> [alpha, beta]$ — возрастающая биекция. Пусть $tau = {t_i}_(i=0)^k$ — дробление $[a, b]$, тогда  
+$tilde(t_k) = u(t_k)$ — дробление $[alpha, beta]$. Значит,
+
+$ s_(tilde(gamma)) = sum_(k=1)^n abs(tilde(gamma)(tilde(t_k)) - tilde(gamma)(tilde(t_(k-1)))) = sum_(k=1)^n abs(gamma(t_k) - gamma(t_(k-1))) = s_gamma <= l_gamma, $
+
+и, тем самым, $l_tilde(gamma) <= l_gamma $. Меняя $gamma$ и $l_tilde(gamma)$ местами, проводя аналогичные приведенным выше выкладки, придем к неравенству $l_gamma <= l_tilde(gamma) $, откуда $l_gamma = l_tilde(gamma) $

matan/sem2/KLK1/L/L9.typ

@@ -0,0 +1,33 @@
+#set page(width: 20cm, height: 21.8cm, fill: color.hsv(300deg, 13.73%, 100%), margin: 15pt)
+#set align(left + top)
+= Л9\*\*. Аддитивность длины
+\
+*Об аддитивности длины*
+
+Пусть $gamma: [a, b] -> RR^n$ — путь, $c in (a, b)$, $gamma^1$, $gamma^2$ — сужения пути $gamma$ на отрезки $[a, c]$ и $[c, b]$, соответственно. Путь $gamma$ спрямляем тогда и только тогда, когда спрямляемы пути $gamma^1$ и $gamma^2$, причем
+$ l_gamma = l_(gamma^1) + l_(gamma^2). $
+
+*Док-во:*
+
+Докажем _необходимость_. Пусть путь $gamma$ спрямляем и пусть $tau$ — разбиение $[a, b]$, содержащее точку $c$. Ясно, что $tau = tau_1 union tau_2$, где $tau_1$ — разбиение $[a, c]$ и $tau_2$ — разбиение $[c, b]$. Тогда ломаная $s_tau$ — объединение ломаных $s_(tau_1)$ и $s_(tau_2)$, причем
+$ abs(s_(tau_1)) + abs(s_(tau_2)) = abs(s_tau) <= l_gamma < +infinity. $
+
+Отсюда сразу следует, что каждый из путей $gamma^1$ и $gamma^2$ спрямляем. Переходя в предыдущем неравенстве сначала к супремуму по $tau_1$, а потом по $tau_2$, получим
+$ l_(gamma^1) + l_(gamma^2) <= l_gamma. $
+
+Докажем _достаточность_ и, заодно, противоположное неравенство. Пусть $tau$ — разбиение отрезка $[a, b]$. Если оно не содержит точку $c$, то добавим ее, получив разбиение $tau' = tau_1 union tau_2$, где $tau_1$ — разбиение $[a, c]$ и $tau_2$ — разбиение $[c, b]$. Пусть точка $c$ попала в $i$-ый отрезок разбиения, то есть $c in (t_(i-1), t_i)$. Длина ломаной, отвечающей разбиению $tau'$, могла только увеличиться по сравнению с длиной ломаной, отвечающей разбиению $tau$, так как, согласно неравенству треугольника,
+
+$ sqrt((x(t_i) - x(t_(i-1)))^2 + (y(t_i) - y(t_(i-1)))^2) <= $
+
+$ sqrt((x(c) - x(t_(i-1)))^2 + (y(c) - y(t_(i-1)))^2) + sqrt((x(t_i) - x(c))^2 + (y(t_i) - y(c))^2). $
+
+Значит,
+$ abs(s_tau) <= abs(s_(tau')) = abs(s_(tau_1)) + abs(s_(tau_2)) <= l_(gamma^1) + l_(gamma^2) < +infinity $
+
+и, тем самым, кривая $gamma$ спрямляема. Переходя к супремуму по $tau$ в левой части неравенства, получим
+$ l_gamma <= l_(gamma^1) + l_(gamma^2). $
+
+Объединяя это неравенство и последнее неравенство, полученное в пункте необходимости, заключаем, что
+$ l_gamma = l_(gamma^1) + l_(gamma^2), $
+
+и теорема полностью доказана.