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Cyletix · Cyletix · commit 42a701dfd82c · 2025-01-01T20:12:39.000+09:00
Affected files:
Other/复分析/极点的计算方法.md
Other/说明/Markdown数学公式.md
Other/说明/二重曲面积分符号的latex表示方法.md
Other/说明/数学常用日语.md
Other/说明/高等数学符号书写规范指南.md
微积分/多元函数微分/梯度.md
微积分/曲线曲面积分/标量场的曲面积分.md
微积分/曲线曲面积分/高斯公式.md
线性代数/相似变换/二次型.md
线性代数/相似变换/半正定矩阵.md
线性代数/相似变换/正定二次型.md
线性代数/相似变换/正定矩阵.md
线性代数/线性空间/正交性.md
线性代数/线性空间/零空间的计算过程.md
diff --git a/Other/复分析/极点的计算方法.md b/Other/复分析/极点的计算方法.md
@@ -0,0 +1,52 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+---
+### 问题
+求解方程的极点
+$$
+\frac{1}{z^4 + 1}
+$$
+### 1. 题目分析
+目标是求解方程：
+$$
+z^4 + 1 = 0
+$$
+### 2. 转化为指数形式
+方程可以写成：
+$$
+z^4 = -1
+$$
+解题关键是意识到欧拉公式的结论：
+$$
+1 = e^{2i\pi k}
+$$
+$$
+-1 = e^{i(\pi + 2k\pi)}
+$$
+其中 $k \in \mathbb{Z}$ 表示任意整数。
+### 3. 求解 $z$
+对等式两边开四次方：
+$$
+z = \left(e^{i(\pi + 2k\pi)}\right)^{1/4} = e^{i\frac{(\pi + 2k\pi)}{4}}
+$$
+由于 $e^{2i\pi} = 1$，函数具有周期性，只需要考虑主值范围内的角度$e^{0i}\leq e^{\frac{(1+2k)\pi}{4}i}<e^{2\pi i}$
+得到符合条件的 $k = 0, 1, 2, 3$。
+### 4. 取不同的 $k$ 值
+选择 $k = 0, 1, 2, 3$，分别得到四个不同的解：
+$$
+z_0 = e^{i \frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}
+$$
+$$
+z_1 = e^{i \frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}
+$$
+$$
+z_2 = e^{i \frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}
+$$
+$$
+z_3 = e^{i \frac{7\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}
+$$
+### 5. 结论
+方程 $z^4 + 1 = 0$ 的四个复数根分布在复平面上，等间隔地围绕原点，间隔角度为 $90^\circ$ 或 $\frac{\pi}{2}$。利用 $e^{2i\pi} = 1$ 这一事实是解决此类问题的关键步骤。这类问题可以归纳为利用指数形式解决复数方程的通用方法。
diff --git a/Other/说明/Markdown数学公式.md b/Other/说明/Markdown数学公式.md
diff --git a/Other/说明/二重曲面积分符号的latex表示方法.md b/Other/说明/二重曲面积分符号的latex表示方法.md
diff --git a/Other/说明/数学常用日语.md b/Other/说明/数学常用日语.md
@@ -1,7 +1,7 @@
 ---
 tags:
   - 数学
-dlink: []
+  - 日语
 ---
 
 1. 仮定する (かていする) - 假设
diff --git a/Other/说明/高等数学符号书写规范指南.md b/Other/说明/高等数学符号书写规范指南.md
@@ -0,0 +1,51 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+---
+### 1. 标量表示
+- 标量通常使用斜体字母表示，如 $a, b, c, x, y, z$。
+- Markdown格式：斜体字母使用`*x*`，如`*x*`或`$x$`。
+- 在LaTeX公式块中已经自动对字体做了**斜体**处理, 以表示公式
+- 其余符号仍需要手动修改格式以符合规定
+### 2. 向量表示
+- 加粗字体（如 $\mathbf{v}$）或箭头符号（如 $\vec{v}$）均可表示向量。
+- Markdown格式：加粗字体使用`**v**`或`$\mathbf{v}$`。
+- 工程类、应用数学常使用加粗字体 $\mathbf{v}$。
+- 物理学、理论数学常使用箭头符号 $\vec{v}$。
+- 二者任选其一，保持文档内部统一。
+### 3. 矩阵与张量表示
+- 矩阵使用大写加粗字母，如 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$。
+- 张量通常使用加粗斜体字母或黑板加粗体，如 $\boldsymbol{T}$ 或 $\mathbb{T}$。
+- Markdown格式：`$\mathbf{A}$`。
+### 4. 集合表示
+- 集合使用黑板加粗体，如 $\mathbb{R}, \mathbb{Z}, \mathbb{N}$。
+- 集合元素使用小写斜体，如 $x \in \mathbb{R}$。
+- Markdown格式: `\mathbb{}`
+### 5. 函数表示
+- 函数名使用小写斜体，如 $f(x), g(t)$。
+- 特殊函数如三角函数、对数函数等使用普通罗马字体：
+  - $\sin(x), \cos(x), \log(x)$。
+
+### 6. 微分与积分符号
+- 微分符号 $\mathrm{d}$ 使用直立体：$\int f(x) \mathrm{d}x$。
+- 偏微分符号 $\partial$ 保持原样：$\frac{\partial f}{\partial x}$。
+- Markdown格式：`\mathrm{d}`。
+
+### 7. 常用数学符号
+- 复数单位 $i, j$ 使用斜体。
+- 自然对数底 $e$ 使用斜体。
+- 圆周率 $\pi$ 使用斜体。
+
+### 8. 特殊约定
+- 重要的定义、定理中的变量可加下划线或框住强调。
+- 连续多个变量的上下标，如 $x_{ij}$ 表示矩阵元素，$T_{\mu\nu}$ 表示张量分量。
+
+### 9. 逻辑符号
+- 逻辑运算符如 $\land, \lor, \neg$ 使用罗马体。
+- 集合运算符如 $\cup, \cap, \subset$ 使用罗马体。
+- Markdown格式：`\land`、`\lor`。
+
+### 10. 一致性与清晰性
+- 在同一篇文档或论文中，保持符号风格一致。
+- 不同领域或读者群体可能有不同偏好，根据领域选择合适风格。
+
diff --git a/微积分/多元函数微分/梯度.md b/微积分/多元函数微分/梯度.md
@@ -5,6 +5,8 @@ dlink:
   - "[[---多元函数微分---]]"
 aliases:
   - gradient
+  - こうばい
+  - 勾配
 author:
   - Cyletix
 finished: true
diff --git a/微积分/曲线曲面积分/标量场的曲面积分.md b/微积分/曲线曲面积分/标量场的曲面积分.md
@@ -7,7 +7,7 @@ aliases:
   - 第一类曲面积分
 ---
 计算[[标量场]]在曲面上的积分, 评估曲面上函数值乘以曲面元素面积的总和, 适用于求解物理量在曲面上的分布. 
-$$\int\kern{-17mu}{\unicode{x25CB}}\kern{-20mu}\int_{C} f(x, y, z) \, dS $$
+$$\iint_{S} f(x, y, z) \, dS $$
 解决不均匀曲面的质量问题
 
 # Wikipedia
diff --git a/微积分/曲线曲面积分/高斯公式.md b/微积分/曲线曲面积分/高斯公式.md
@@ -8,7 +8,30 @@ aliases:
   - 高斯定律
   - 散度定理
   - 高斯通量理论
+  - 発散定理
 ---
 描述三维向量场通过闭合曲面的通量等于场在封闭体积内散度的体积积分，在[[-电磁学-]]和流体动力学均有应用。
-$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_S \vec{F}\cdot dS$$
-- $(\nabla \cdot \mathbf{F})$ : 向量场F在微元dV处的[[散度]] 
+
+## 标准形式
+标准形式的散度定理通常写作：
+$$
+\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV = \iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}
+$$
+其中：
+- $\mathbf{A}$ 是向量场。
+- $d\mathbf{S} = n \, dS$ 表示表面上微小的面积元，方向由单位法向量 $n$ 指示。  
+- $dS$ 是微小的面积大小，$n$ 是表面外向法线方向的单位向量，因此 $d\mathbf{S} = n \, dS$ 表示带方向的面元素。
+
+## 工程形式
+在物理和工程中，有时更倾向于将散度定理写成：
+$$
+\iint_S \mathbf{A} \cdot n \, dS
+$$
+
+这种形式更直观地表达了物理意义：$n \, dS$ 仅表示表面面积元素的方向和大小，而 $\mathbf{A} \cdot n$ 表示矢量场 $\mathbf{A}$ 在法向方向上的通量（即流出表面的分量）。
+
+实际上，这里: 
+$$
+\mathbf{A} \cdot n \, dS = \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}
+$$
+因此，这里的 $\mathbf{A} \cdot n \, dS$ 只是散度定理中的 $\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ 的另一种写法。$n$ 是表面的外向单位法线，表示 $d\mathbf{S}$ 的方向。 
diff --git a/线性代数/相似变换/二次型.md b/线性代数/相似变换/二次型.md
@@ -7,7 +7,7 @@ author:
   - Cyletix
 finished: false
 ---
-# 背景
+## 背景
 在解析几何中,为了便于研究二次曲线
 $$
 ax^2+bxy+cy^2=1
@@ -25,7 +25,8 @@ mx'^2+ny'^2=1
 $$
 从现代数学的观点看, 化为标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式, 使得它只有平方项. 将这类问题一般化, 即为二次型. 
 
-# 定义
+## 定义
+
 >[!info] 定义
 > 二次型是指一个二次齐次函数, 形如
 > $$
diff --git a/线性代数/相似变换/半正定矩阵.md b/线性代数/相似变换/半正定矩阵.md
@@ -0,0 +1,30 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[---相似变换---]]"
+---
+## 定义
+半正定矩阵是[[正定矩阵]]的一个补充：
+1. 对称性：矩阵 $A$ 是对称的，即 $A = A^T$。
+2. **所有特征值均非负**：矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 均满足 $\lambda_i \geq 0$。
+
+与正定矩阵的主要区别在于，半正定矩阵的特征值可以等于零，而正定矩阵的特征值必须严格大于零。
+
+## 二次型
+一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 被称为半正定矩阵，如果对于所有向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有：
+$$
+x^T A x \geq 0
+$$
+若存在非零向量 $x \neq 0$ 满足 $x^T A x = 0$，则 $A$ 是半正定但不是正定矩阵。
+
+## 性质
+1. 所有特征值均非负。
+2. 半正定矩阵都是对称矩阵 $A = A^T$。
+3. 半正定二次型：对于任意向量 $x$，$x^T A x \geq 0$。
+4. 半正定矩阵不一定可逆，特征值中包含零时矩阵为奇异矩阵。
+
+## 示例
+矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 是半正定矩阵，因为其特征值为 $5$ 和 $0$，满足非负条件。
+
+该矩阵的性质与[[正定矩阵]]相似，但由于存在零特征值，$A$ 不可逆。
diff --git a/线性代数/相似变换/正定二次型.md b/线性代数/相似变换/正定二次型.md
@@ -6,35 +6,79 @@ dlink:
 author:
   - Cyletix
 ---
-正定二次型是指一个二次型$Q(x) = x^T A x$，其中矩阵$A$是[[正定矩阵]]。这意味着对于所有非零向量$x$，二次型$Q(x) > 0$。正定矩阵的特征值全为正数，且其行列式也大于零。
-
+正定二次型是指一个[[二次型]] $Q(x) = x^T A x$, 其中矩阵 $A$ 是[[正定矩阵]]. 这意味着对于所有非零向量 $x$, 二次型 $Q(x) > 0$. 正定矩阵的特征值全为正数, 且其行列式也大于零. 
 
 ### 二次型
-一个二次型可以表示为形式：
+一个二次型可以表示为形式: 
 $$
 f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}
 $$
-这里 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量，$A$ 是一个与之相对应的 $n \times n$ 实对称矩阵。
+这里 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量, $A$ 是一个与之相对应的 $n \times n$ 实对称矩阵. 
+
+在几何上, 二次型可以表示椭圆 (二维) 、椭球 (三维) 或更高维空间的超曲面. 如果矩阵 $A$ 是正定的, 则该二次型表示的几何形状是一个椭圆或椭球体. 
 
 ### 正定二次型
-二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 被称为正定的，如果对于所有非零向量 $\mathbf{x}$，都有：
+二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 被称为正定的, 如果对于所有非零向量 $\mathbf{x}$, 都有: 
 $$
 \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0
 $$
-此外，矩阵 $A$ 被称为正定矩阵。还有其他几种判断正定性的方法：
+此外, 矩阵 $A$ 被称为正定矩阵. 还有其他几种判断正定性的方法: 
 
-1. **特征值判定法**：矩阵 $A$ 是正定的当且仅当其**所有特征值都是正的**。
-2. **主子式判定法**：矩阵 $A$ 的所有顺序主子式（从左上角开始的子矩阵的行列式）必须都是正的。
-3. **Cholesky 分解**：如果实对称矩阵 $A$ 可以分解为 $A = L L^T$，其中 $L$ 是下三角矩阵，那么 $A$ 是正定的。
+1. **特征值判定法**: 矩阵 $A$ 是正定的当且仅当其**所有特征值都是正的**. 特征值描述了椭圆在主轴方向上的拉伸程度. 
+2. **主子式判定法**: 矩阵 $A$ 的所有顺序主子式 (从左上角开始的子矩阵的行列式) 必须都是正的. 
+3. **Cholesky 分解**: 如果实对称矩阵 $A$ 可以分解为 $A = L L^T$, 其中 $L$ 是下三角矩阵, 那么 $A$ 是正定的. 
 
-### 正定性的物理和几何含义
+### 几何解释: 椭圆与椭球体
+在二维情况下, 正定二次型对应于椭圆方程: 
+$$
+\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1
+$$
+通过特征分解 $A = Q \Lambda Q^T$, 将方程变换到主轴方向, 得到: 
+$$
+\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 = 1
+$$
+其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的特征值. 椭圆的主轴方向由特征向量给出, 而椭圆的半轴长度由 $a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}, b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}$ 决定. 
 
-在物理学中，正定二次型常用于描述系统的稳定性和势能。例如，一个物理系统的势能通常被建模为一个正定的二次型，表示系统处于稳定状态。
+### 面积扩展与椭圆变换
+如果椭圆面积被扩大, 例如: 
+$$
+\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 8
+$$
+右侧的 $8$ 表示椭圆的面积扩大了 $8$ 倍, 对应的半轴长度扩大 $\sqrt{8}$ 倍. 椭圆的面积与半轴长度的平方成正比, 因此当面积扩大 $8$ 倍时, 半轴长度扩大 $\sqrt{8}$ 倍. 
 
-在几何上，正定二次型定义了一个椭圆（二维）、椭球（三维）或更高维的类似结构，表明所有的变量都协同作用，没有负的贡献。
+具体计算: 
+假设 $a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}, b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}$, 那么面积扩展后的半轴长度为: 
+$$
+a' = a \sqrt{8} = \frac{1}{\sqrt{8 \lambda_1}}, \quad b' = b \sqrt{8} = \frac{1}{\sqrt{8 \lambda_2}}
+$$
 
-### 应用
+### 特征分解
+矩阵 $A$ 可以进行特征分解: 
+$$
+A = Q \Lambda Q^T
+$$
+其中 $Q$ 是由特征向量构成的正交矩阵, $\Lambda$ 是特征值构成的对角矩阵. 通过坐标变换 $x' = Q^T x$, 椭圆在新坐标系下主轴对齐, 二次型简化为: 
+$$
+(x')^T \Lambda x' = 1
+$$
+当椭圆面积扩展时, 方程变为: 
+$$
+(x')^T \Lambda x' = 8
+$$
+此时新的半轴长度为: 
+$$
+a' = a \sqrt{8}, \quad b' = b \sqrt{8}
+$$
+
+### 几何含义
+在物理学中, 正定二次型常用于描述系统的稳定性和势能. 例如, 一个物理系统的势能通常被建模为一个正定的二次型, 表示系统处于稳定状态. 
 
-在优化问题中，正定二次型的矩阵保证了目标函数是凸的，从而使问题可以找到全局最优解。在机器学习中，协方差矩阵通常假设为正定，这保证了数据的分布具有良好的数学性质。
+在优化和机器学习中, 正定二次型的矩阵保证了目标函数是凸的, 从而使问题可以找到全局最优解. 此外, 协方差矩阵通常假设为正定, 这保证了数据的分布具有良好的数学性质. 
+
+### 应用
+正定二次型在多个领域具有重要应用, 包括: 
+- **优化**: 目标函数是凸函数时, 二次型表示了系统的最优解. 
+- **统计学**: 协方差矩阵的正定性确保了模型的稳定性和合理性. 
+- **物理学**: 描述势能和稳定性, 确保系统不会出现不稳定的行为. 
 
-因此，正定二次型在理论和应用中都非常重要，涉及矩阵理论、优化、统计分析和物理学等多个领域。
+正定二次型的研究和应用涵盖了矩阵理论、优化、统计分析以及物理学等众多领域, 对理解和解决实际问题具有重要意义. 
diff --git a/线性代数/相似变换/正定矩阵.md b/线性代数/相似变换/正定矩阵.md
@@ -5,30 +5,30 @@ dlink:
   - "[[---相似变换---]]"
 aliases:
   - 正定
+  - 正定阵
 author:
   - Cyletix
 ---
-# 定义
-正定矩阵有时会简称为正定阵, 是[[对称矩阵]]或者更一般的[[厄米矩阵]]的一种特殊形式, 满足：
+## 定义
+正定矩阵是[[对称矩阵]](或者更一般的[[厄米矩阵]])的一种特殊形式, 满足：
 1. 对称性：矩阵 $A$ 是对称的，即 $A = A^T$。
 2. **所有特征值均为正**：矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 都大于零。
+正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应厄米正定双线性形式）
 
-
-# 二次型
+## 二次型
 所有特征值均为正这一性质使得正定矩阵在优化问题中特别重要，因为它对应于严格凸的二次型。一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 被称为正定矩阵，如果对于所有非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有：
 $$
 x^T A x > 0
 $$
-如果二次型同时包含了等于零的情况, 这时A称为[[半正定矩阵]]. 
+如果二次型同时包含了等于零的情况, 这时$A$称为[[半正定矩阵]]. 
 
 在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
 
-# 性质
-正定矩阵有以下性质：
+## 性质
 1. 所有特征值都为正。
-2. 所有正定矩阵都是对称矩阵 $A = A^T$。
+2. 正定矩阵都是对称矩阵 $A = A^T$。
 3. 正定二次型：对于任意非零向量$x$，$x^T A x > 0$。
-4. 行列式大于零，$\text{det}(A) > 0$
+4. 行列式 $\text{det}(A) > 0$
 5. 正定矩阵都可逆，并且其逆矩阵也是正定矩阵。
 6. Cholesky分解：
 	任意正定矩阵$A$可以进行Cholesky分解，即存在一个下三角矩阵$L$，使得$A = LL^T$，其中$L$是唯一的并且所有对角线元素均为正。
@@ -40,7 +40,7 @@ $$
 	正定矩阵的最小特征值提供了其矩阵范数的下界，即$\|A\| \geq \lambda_{\min}(A)$，其中$\lambda_{\min}(A)$是矩阵$A$的最小特征值。
 
 
-# 判断
+## 判断
 判断一个矩阵是否为正定矩阵，可以通过以下几种方法：
 
 1. **特征值法**：
diff --git a/线性代数/线性空间/正交性.md b/线性代数/线性空间/正交性.md
@@ -7,6 +7,8 @@ aliases:
   - 正交
   - orthogonal
   - Orthogonal
+  - ちょっこう
+  - 直交
 author:
   - Cyletix
 ---
diff --git a/线性代数/线性空间/零空间的计算过程.md b/线性代数/线性空间/零空间的计算过程.md

-Original file line number
+Diff line change
@@ @@ -1,7 +1,7 @@ @@
 ---
 tags:
   - 数学
 -dlink: []
 +  - 日语
 ---
 . 仮定する (かていする) - 假设