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Affected files:
Other/例题/二次型的正交变换.md
Other/复分析/--复分析--.md
Other/复分析/反圆锥曲线函数与对数函数的统一.md
Other/复分析/复对数函数.md
Other/复分析/复数域的完备性.md
微积分/微分方程/伯努利方程.md
微积分/积分/积分表.md
概率论/--概率论--.md
概率论/多维随机变量/二维随机变量.md
概率论/多维随机变量/边缘分布.md
线性代数/矩阵/矩阵分块法.md
线性代数/补充/---补充---.md
线性代数/补充/复特征根.md
线性代数/补充/矩阵指数.md

Author: Cyletix

Other/例题/二次型的正交变换.md

@@ -10,7 +10,7 @@ author:
 finished: false
 ---
 ## 问题
-如何将二次型 $3x^2 + 2xy + 3y^2$ 通过[[正交变换]]化为只含 $(x')^2$ 和 $(y')^2$ 的标准形式. 
+如何将[[二次型]] $3x^2 + 2xy + 3y^2$ 通过[[正交变换]]化为只含 $(x')^2$ 和 $(y')^2$ 的标准形式. 
 
 ## 推导
 一个二次型可以表示为：
@@ -50,3 +50,205 @@ $$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y} $$
 
 通过上述步骤，我们将一个二次型 $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 通过特征值分解和正交变换化为新坐标系$\mathbf{y}$下的标准形式 $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}$，其中 $D$ 是对角矩阵。
 
+
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+---
+以下是完善后的 Markdown 文档：
+
+## 问题
+如何将二次型 $3x^2 + 2xy + 3y^2$ 通过[[正交变换]]化为只含 $(x')^2$ 和 $(y')^2$ 的标准形式？
+
+---
+
+## 推导
+
+### 二次型的定义
+一个二次型可以表示为：
+$$ 
+Q(\mathbf{x}) = ax^2 + bxy + cy^2 = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} 
+$$
+其中，$\mathbf{x}$ 是一个二维列向量：
+$$
+\mathbf{x} = 
+\begin{bmatrix}
+x \\
+y
+\end{bmatrix},
+$$
+$A$ 是一个对称矩阵：
+$$
+A = 
+\begin{bmatrix}
+a & b/2 \\
+b/2 & c
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+例如，对于 $3x^2 + 2xy + 3y^2$，矩阵 $A$ 为：
+$$
+A = 
+\begin{bmatrix}
+3 & 1 \\
+1 & 3
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+---
+
+### 特征值分解
+对称矩阵 $A$ 可以进行特征值分解：
+$$ 
+A = P D P^{-1} 
+$$
+其中：
+- $P$ 是 $A$ 的特征向量矩阵；
+- $D$ 是对角矩阵，由 $A$ 的特征值构成。
+
+由于 $A$ 是对称矩阵，其特征向量是正交的。通过归一化处理，$P$ 可构成正交矩阵，满足：
+$$
+P^T = P^{-1}.
+$$
+
+---
+
+### 化简过程
+将特征值分解代入二次型：
+$$ 
+Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^T (P D P^T) \mathbf{x}.
+$$
+
+设 $\mathbf{y} = P^T \mathbf{x}$，则 $\mathbf{x} = P \mathbf{y}$。将其代入得：
+$$ 
+Q(\mathbf{x}) = (P \mathbf{y})^T A (P \mathbf{y}) = \mathbf{y}^T P^T A P \mathbf{y}.
+$$
+
+由于 $P^T A P = D$，得到：
+$$ 
+Q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}.
+$$
+
+其中，$D$ 是对角矩阵：
+$$
+D = 
+\begin{bmatrix}
+\lambda_1 & 0 \\
+0 & \lambda_2
+\end{bmatrix},
+$$
+$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $A$ 的特征值。
+
+---
+
+### 二次型的标准形式
+在新坐标系 $\mathbf{y}$ 下，二次型化为：
+$$ 
+Q(\mathbf{x}) = \lambda_1 (y_1)^2 + \lambda_2 (y_2)^2.
+$$
+
+此时，二次型的交叉项 $y_1 y_2$ 消失，二次型被化为只含 $(y_1)^2$ 和 $(y_2)^2$ 的标准形式。
+
+---
+
+### 示例
+对于矩阵 
+$$A = 
+\begin{bmatrix}
+3 & 1 \\
+1 & 3
+\end{bmatrix}
+$$
+解特征值方程：
+$$ 
+\det(A - \lambda I) = 0.
+$$
+即：
+$$ 
+\det
+\begin{bmatrix}
+3 - \lambda & 1 \\
+1 & 3 - \lambda
+\end{bmatrix}
+= (3 - \lambda)^2 - 1 = 0.
+$$
+展开得：
+$$ 
+\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0.
+$$
+求根：
+$$ 
+\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 2.
+$$
+
+#### 特征向量的求解
+对应 $\lambda_1 = 4$，解 $(A - 4I)\mathbf{v} = 0$：
+$$ 
+\begin{bmatrix}
+-1 & 1 \\
+1 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+v_1 \\
+v_2
+\end{bmatrix}
+= 
+\begin{bmatrix}
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}.
+$$
+得到特征向量：
+$$ 
+\mathbf{v}_1 = 
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+1
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+对应 $\lambda_2 = 2$，解 $(A - 2I)\mathbf{v} = 0$：
+$$ 
+\begin{bmatrix}
+1 & 1 \\
+1 & 1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+v_1 \\
+v_2
+\end{bmatrix}
+= 
+\begin{bmatrix}
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}.
+$$
+得到特征向量：
+$$ 
+\mathbf{v}_2 = 
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+-1
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+归一化后，特征向量矩阵 $P$ 为：
+$$ 
+P = 
+\begin{bmatrix}
+\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
+\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+---
+
+### 结果
+通过正交变换，二次型 $3x^2 + 2xy + 3y^2$ 在新坐标系下化为标准形式：
+$$ 
+Q(\mathbf{x}) = 4(y_1)^2 + 2(y_2)^2.
+$$

Other/复分析/--复分析--.md

@@ -8,14 +8,21 @@ author:
 aliases:
   - 复变函数
 ---
->[!info] [复分析 - 维基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%88%86%E6%9E%90)
-> **复分析**（英语：Complex analysis）是研究[复变](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E6%95%B8_(%E6%95%B8%E5%AD%B8) "复数 (数学)")的[函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8 "函数")，特别是[亚纯函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%9A%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0 "亚纯函数")和复变[解析函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%BD%E6%95%B8 "解析函数")的[数学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8%E5%AD%B8 "数学")理论。
+>[!info] [复分析 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%88%86%E6%9E%90)
+> **复分析**（英语：Complex analysis）是研究复变的函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。
 > 
-> 研究中常用的理论、公式以及方法包括[柯西积分定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AE%9A%E7%90%86 "柯西积分定理")、[柯西积分公式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F "柯西积分公式")、[留数定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86 "留数定理")、[洛朗级数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E6%9C%97%E7%BA%A7%E6%95%B0 "洛朗级数")展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和[物理学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6 "物理学")中也起着重要的作用。包括[数论](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AE%BA "数论")、[应用数学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%94%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6 "应用数学")、[流体力学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%81%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6 "流体力学")、[热力学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%83%AD%E5%8A%9B%E5%AD%A6 "热力学")和[电动力学](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%94%B5%E5%8A%A8%E5%8A%9B%E5%AD%A6)。
+> 研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。
 > 
 
 # 要点目录
 - [[柯西-黎曼方程]]
 - [[罗兰展开]]
 - [[柯西积分定理]]
-- [[柯西-黎曼方程]]
+- [[柯西-黎曼方程]]
+
+# dataview
+```dataview
+list
+from #数学 
+where contains(file.path, "复分析")
+```

Other/复分析/反圆锥曲线函数与对数函数的统一.md

@@ -0,0 +1,70 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[--复分析--]]"
+---
+反三角函数也可以通过对数函数在复数域的形式统一表达。这种统一依赖于反三角函数的对数化表达，以及它们与双曲函数之间的紧密联系。
+
+### 1. $\arcsin(x)$ 和 $\arccos(x)$
+利用复数对数的形式，可以将 $\arcsin(x)$ 和 $\arccos(x)$ 写为：
+$$
+\arcsin(x) = -i \ln\left(ix + \sqrt{1-x^2}\right).
+$$
+- $\sqrt{1-x^2}$ 表示实数部分。
+- $-i \ln(\cdot)$ 表示将对数转为角度（弧度）。
+
+$$
+\arccos(x) = -i \ln\left(x + i\sqrt{1-x^2}\right).
+$$
+- 注意 $\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)$，其对数形式也可以通过这一关系得到。
+
+---
+
+### 2. $\arctan(x)$ 和 $\text{arccot}(x)$
+这两个函数的复数对数形式非常经典，直接通过复数域的定义可以表示：
+
+$$
+\arctan(x) = \frac{i}{2} \ln\left(\frac{1-ix}{1+ix}\right).
+$$
+$$
+\text{arccot}(x) = \frac{i}{2} \ln\left(\frac{x-i}{x+i}\right).
+$$
+- 通过对称性和定义关系得到。
+
+---
+
+### 3. $\text{arcsec}(x)$ 和 $\text{arccsc}(x)$
+这两个函数的对数化形式稍复杂，但可以通过导数和复数域解析得到：
+$$
+\text{arcsec}(x) = i \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right).
+$$
+$$
+\text{arccsc}(x) = i \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right).
+$$
+
+通过复数表示，反三角函数的形式可以被完全统一为对数的表达，并且对这些函数的性质（如单调性、定义域）仍然成立。这种统一表述不仅方便计算，还揭示了反三角函数与复数域之间的深层次联系。
+
+反双曲函数也有一样的性质。
+
+
+## 总结
+
+| 积分表达式                                  | 函数形式                                    | 复对数形式                                                                      | 定义域                              | 值域                                              |
+| -------------------------------------- | --------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------- | ----------------------------------------------- |
+| $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$   | $\arcsin \frac{x}{a} + C$               | $-i \ln\left(ix + \sqrt{a^2 - x^2}\right) + C$                             | $x\leq a$                        | $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$               |
+| $\int -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$  | $\arccos \frac{x}{a} + C$               | $-i \ln\left(x + i\sqrt{a^2 - x^2}\right) + C$                             | $x\leq a$                        | $[0, \pi]$                                      |
+| $\int \frac{1}{1+x^2} dx$              | $\arctan x + C$                         | $\frac{i}{2} \ln\left(\frac{1-ix}{1+ix}\right) + C$                        | $x \in \mathbb{R}$               | $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$               |
+| $\int -\frac{1}{1+x^2} dx$             | $\operatorname{arccot} x + C$           | $\frac{i}{2} \ln\left(\frac{x-i}{x+i}\right) + C$                          | $x \in \mathbb{R}$               | $(0, \pi)$                                      |
+| $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} dx$  | $\operatorname{arcsec} \frac{x}{a} + C$ | $i \ln\left(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1}\right) + C$           | $x\geq a$                        | $[0, \pi] \setminus {\frac{\pi}{2}}$            |
+| $\int -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} dx$ | $\operatorname{arccsc} \frac{x}{a} + C$ | $i \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}\right) + C$ | $x\geq a$                        | $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \setminus {0}$ |
+| $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx$   | $\operatorname{arsinh} \frac{x}{a} + C$ | $\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C$                                 | $x \in \mathbb{R}$               | $x \in \mathbb{R}$                              |
+| $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx$   | $\operatorname{arcosh} \frac{x}{a} + C$ | $\ln\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) + C$                                 | $x \geq a$                       | $[0, \infty)$                                   |
+| $\int \frac{1}{1-x^2} dx$              | $\operatorname{arctanh} x + C$          | $\frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) + C$                          | $x< 1$                           | $(-\infty, \infty)$                             |
+| $\int -\frac{1}{1-x^2} dx$             | $\operatorname{arccoth} x + C$          | $\frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) + C$                          | $x> 1$                           | $(0, \infty)$                                   |
+| $\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} dx$      | $\operatorname{arcsech} x + C$          | $-\ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) + C$                                  | $0 < x \leq 1$                   | $(0, \frac{\pi}{2}]$                            |
+| $\int -\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} dx$     | $\operatorname{arccsch} x + C$          | $\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) + C$                                   | $x \in \mathbb{R} \setminus {0}$ | $(-\infty, \infty)$                             |
+### 说明：
+1. $a > 0$ , 这是积分定义域中对参数的常见要求。
+2. 常数 $C$ 表示积分常数，省略了上下文的定积分上下限。
+3. 所有结果均基于复对数主值。

Other/复分析/复对数函数.md

@@ -0,0 +1,42 @@
+---
+tags:
+  - 数学
+dlink:
+  - "[[-高等数学-]]"
+urlink: https://math.fandom.com/zh/wiki/%E5%A4%8D%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0?variant=zh
+---
+## 定义
+对于复数 $z$，满足 $e^w = z$ 的所有 $w$ 称为 $z$ 的对数，记作 $\operatorname{Ln} z = w$。
+可以验证，复对数函数的表达式为：
+$$
+\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \ln |z| + i (\arg z + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}
+$$
+其中，$\ln |z|$ 是 $z$ 的模的自然对数，$\operatorname{Arg} z$ 是 $z$ 的辐角，取值为 $\arg z + 2k\pi$，$k$ 为整数。
+因此，复对数函数是一个多值函数，不同的值之间相差 $2k\pi i$。当 $k$ 取特定值时，记相应的复对数值为 $(\ln z)_k$；特别地，当 $\arg z$ 取主值（$(-\pi, \pi]$）时，记作 $\ln z$，称为 $z$ 的复对数主值。
+这种定义方式与实数的自然对数性质 $\operatorname{Ln}(z_1 z_2) = \operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2$ 是兼容的，其导数为：
+$$
+\frac{d}{dz} (\ln z)_k = \frac{1}{z}
+$$
+在复对数的范畴中，实数的复对数不再唯一。例如：
+$$
+\operatorname{Ln} 1 = \ln |1| + i (\arg 1 + 2k\pi) = 2k\pi i
+$$
+负数也存在复对数（但不再是实数），例如：
+$$
+\operatorname{Ln} (-1) = \ln |-1| + i (\arg(-1) + 2k\pi) = (2k+1)\pi i
+$$
+## 几何形态
+通过研究复指数系函数，可以直观地理解复对数函数。以下是复对数主值的情形：
+- 保持虚部不变，改变实部，得到如下图形：
+![[copyImage.webp]]
+- 保持实部不变，改变虚部，得到如下图形：
+![[copyImage 1.webp]]
+实际上，复对数主值将原来的直角坐标平面（除去原点和无穷远点）变成了一个带形域 $(-\pi, \pi]$：
+![[copyImage 2.webp]]
+由于自变量的辐角决定了因变量的虚部，且同一自变量的不同复对数值之间只相差 $2k\pi i$，这在 $w$ 平面上表现为将主值向上下平移 $|2k\pi|$ 个单位。因此，主值表示的带形域可以向上下平移，密铺整个平面。注意，这时包含了 $\operatorname{Ln}(-x), x \in \mathbb{R}^+$ 的因变量曲线 $z = (2k+1)\pi i$ 的情形。
+将带形域延拓到整个平面后，绿色和蓝色这两族曲线是正交的。实际上，可以验证它们是等价的，其中一族经过适当平移可以得到另一族，且平移的竖直方向位移是 $\frac{(2k+1)\pi}{2}$。
+## 割破平面
+由于复对数函数是典型的由辐角函数造成的多值函数，因此可以仿照辐角函数的研究方法，将复平面按照复对数函数的某些点割开，得到若干个单值解析分支。了解复对数的几何形态后，这一过程会更容易理解。
+我们知道，复对数函数有且仅有支点 $z = 0, \infty$，连接这两点的任意一条闭曲线都可以作为支割线。简便起见，我们取负实轴为支割线，记割破后的平面为 $G$。这样，复对数函数就将原来的平面 $G$ 变为了若干个带形区域 $B_k = \{z : (2k-1) < \operatorname{Im} z < (2k+1)\pi, k \in \mathbb{Z}\}$，从而分出了许多单值解析分支，且主值支为 $k = 0$ 的带形区域。
+## 参考资料
+1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》，高等教育出版社，北京，2021-03，ISBN 978-7-0405-5587-5。