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Adds detailed explanation of autocorrelation, ACF and pACF to the French version of the presentation and the book by Pedro H. Braga

Author: Clara-Casabona

book-fr/08-GAMMs.Rmd

@@ -3,18 +3,52 @@
 Lorsque les observations ne sont pas indépendantes, les GAMs peuvent
 être utilisés soit pour incorporer:
 
--   une structure de corrélation pour modéliser les résidus autocorrélés
-    (autorégressif (AR), moyenne mobile (MA), ou une combinaison des
-    deux (ARMA))
--   des effets aléatoires qui modélisent l'indépendance entre les
-    observations d'un même site.
+- une structure de corrélation pour modéliser les résidus autocorrélés, comme:
+ - le modèle autorégressif (AR, en anglais _autoregressive_); 
+ - le modèle avec moyenne mobile (MA, en anglais _moving average_); ou,
+ - une combinaison des deux modèles (ARMA, en anglais, _autoregressive moving average_).
+- des effets aléatoires qui modélisent l'indépendance entre les observations d'un même site.
 
 En plus de changer la fonction de base, nous pouvons aussi complexifier
 le modèle en intégrant une structure d'auto-corrélation (ou même des
 effets mixtes) en utilisant les fonctions `gamm()` dans la librairie `mgcv`. Bien que nous ne l'utilisions pas ici, la librairie [`gamm4`](https://cran.r-project.org/web/packages/gamm4/gamm4.pdf) peut également être utilisé pour estimer des modèles GAMMs dans R.
 
 ## L'autocorrelation des résidus
 
+**L'autocorrélation des résidus** désigne le degré de corrélation entre les résidus (les différences entre les valeurs réelles et les valeurs prédites) d'un modèle de série temporelle.
+
+En d'autres termes, s'il y a autocorrélation des résidus dans un modèle de série temporelle, cela signifie qu'il existe un modèle ou une relation entre les résidus à un moment donné et les résidus à d'autres moments.
+
+L'autocorrélation des résidus est généralement mesurée à l'aide des graphiques **ACF (fonction d'autocorrélation)** et **pACF (fonction d'autocorrélation partielle)**, qui montrent la corrélation entre les résidus à différents retards. 
+
+#### La fonction d'autocorrélation 
+
+La fonction d'autocorrélation (ACF) d'une série temporelle stationnaire peut être définie à l'aide de l'équation suivante :
+
+$$ACF(k) = Corr(Y_t, Y_{t-k})$$
+où $Y_t$ est la valeur de la série temporelle au temps $t$, $Y_{t-k}$ est la valeur de la série temporelle au temps $t-k$, et $Corr()$ est le coefficient de corrélation entre deux variables aléatoires.
+
+En d'autres termes, l'ACF($k$) est la corrélation entre les valeurs de la série temporelle $Y_t$ et $Y_{t-k}$, où $k$ est le décalage entre les deux points dans le temps. L'ACF est une mesure de l'intensité de la corrélation entre chaque valeur de la série temporelle et ses valeurs décalées à différents moments.
+
+#### La fonction d'autocorrélation partielle
+
+La fonction d'autocorrélation partielle (pACF) d'une série temporelle stationnaire peut être définie à l'aide de la formule récursive suivante :
+
+$$pACF(1) = Corr(Y_1, Y_2)$$
+
+$$pACF(k) = [ Corr(Y_k, Y_{k+1} - \hat{\phi}{k,1}Y{k}) ] / [ Corr(Y_1, Y_2 - \hat{\phi}_{1,1}Y_1) ]$$
+
+pour $k > 1$
+
+où $Y_t$ est la valeur de la série temporelle au temps $t$, $\hat{\phi}{k,1}$, $\hat{\phi}{1,1}$, $...$ $\hat{\phi}{k-1,k-1}$ sont les coefficients du modèle autorégressif d'ordre $k-1$ ajusté à la série temporelle, et $Corr()$ est le coefficient de corrélation entre deux variables aléatoires.
+
+En d'autres termes, le pACF($k$) est la corrélation entre les valeurs des séries temporelles $Y_k$ et $Y_{k+j}$ après suppression de l'influence des décalages intermédiaires $Y_{k+1}, Y_{k+2}, ..., Y_{k+j-1}$ à l'aide d'un modèle autorégressif d'ordre $k-1$. 
+Le pACF mesure la corrélation entre $Y_k$ et $Y_{k+j}$ après avoir éliminé l'effet de tout délai intermédiaire plus court.
+
+Si les graphiques **ACF** ou **pACF** montrent des corrélations significatives à des retards non nuls, il y a des preuves d'autocorrélation des résidus et le modèle peut devoir être modifié ou amélioré pour mieux capturer les modèles sous-jacents dans les données.
+
+Voyons comment cela fonctionne avec notre modèle `year_gam`!
+
 Pour commencer, nous allons jeter un coup d'œil à un modèle avec de l'autocorrélation temporelle dans les résidus. Revenons au modèle
 de la température de Nottingham pour vérifier si les résidus sont corrélés en faisant appel à la fonction (partielle) d'autocorrélation.
 
@@ -24,6 +58,8 @@ acf(resid(year_gam), lag.max = 36, main = "ACF")
 pacf(resid(year_gam), lag.max = 36, main = "pACF")
 ```
 
+Dans le graphique ACF, la région ombrée en bleu représente l'intervalle de confiance et les lignes rouges en pointillé représentent les limites de la signification statistique.
+
 La __fonction d'autocorrelaton__ (ACF; première figure) évalue la corrélation croisée d'une série temporelle entre points à différents décalages (donc, la similarité entre observations progressivement décalés).
 
 En contraste, la __fonction partielle d'autocorrelation__ (PACF: deuxième figure) évalue la corrélation croisée d'une série temporelle entre points à différents décalages, après avoir contrôlé les valeurs de la série temporelle à tous les décalages plus courts.
@@ -56,7 +92,6 @@ AIC(year_gam$lme, year_gam_AR1$lme, year_gam_AR2$lme)
 
 Le modèle avec la structure AR(1) donne un meilleur ajustement comparé au premier modèle (`year_gam`), il y a très peu d'amélioration en passant au `AR(2)`. Il est donc préférable d'inclure uniquement la structure `AR(1)` dans notre modèle.
 
-
 ## Modélisation avec effets mixtes
 
 Comme nous l'avons vu dans la section précédente, `bs` spécifie la

pres-fr/workshop08-pres-fr.Rmd

@@ -1804,11 +1804,26 @@ class: inverse, center, middle
 Lorsque les observations ne sont pas indépendantes, les GAMs peuvent
 être utilisés soit pour incorporer:
 
--   une structure de corrélation pour modéliser les résidus autocorrélés, comme:
-- autorégressif (AR, en anglais _auto-regressive_); 
-- moyenne mobile (MA, en anglais _moving average_); ou,
-- une combinaison des deux (ARMA, en anglais, _auto regressive moving averages_).
--   des effets aléatoires qui modélisent l'indépendance entre les observations d'un même site.
+- une structure de corrélation pour modéliser les résidus autocorrélés, comme:
+ - le modèle autorégressif (AR, en anglais _autoregressive_); 
+ - le modèle avec moyenne mobile (MA, en anglais _moving average_); ou,
+ - une combinaison des deux modèles (ARMA, en anglais, _autoregressive moving average_).
+- des effets aléatoires qui modélisent l'indépendance entre les observations d'un même site.
+
+---
+# L'autocorrelation des résidus
+
+**L'autocorrélation des résidus** désigne le degré de corrélation entre les résidus (les différences entre les valeurs réelles et les valeurs prédites) d'un modèle de série temporelle.
+
+En d'autres termes, s'il y a autocorrélation des résidus dans un modèle de série temporelle, cela signifie qu'il existe un modèle ou une relation entre les résidus à un moment donné et les résidus à d'autres moments.
+
+--
+
+L'autocorrélation des résidus est généralement mesurée à l'aide des graphiques **ACF (fonction d'autocorrélation)** et **pACF (fonction d'autocorrélation partielle)**, qui montrent la corrélation entre les résidus à différents retards. 
+
+Si les graphiques **ACF** ou **pACF** montrent des corrélations significatives à des retards non nuls, il y a des preuves d'autocorrélation des résidus et le modèle peut devoir être modifié ou amélioré pour mieux capturer les modèles sous-jacents dans les données.
+
+Voyons comment cela fonctionne avec notre modèle `year_gam`!
 
 ---
 # L'autocorrelation des résidus
@@ -1819,11 +1834,13 @@ Revenons au modèle de la température de Nottingham pour vérifier si les rési
 
 ```{r, eval = F, fig.width=9, fig.height=4.5}
 par(mfrow = c(1,2))
+
 acf(resid(year_gam), lag.max = 36, main = "ACF")
+
 pacf(resid(year_gam), lag.max = 36, main = "pACF")
 ```
 
-`acf` signifie _auto correlation function_, et `pacf` signifie _partial auto correlation function_. 
+Souvenez vous que: `acf` signifie _autocorrelation function_, et `pacf` signifie _partial autocorrelation function_. 
 
 ---
 # L'autocorrelation des résidus
@@ -1848,6 +1865,8 @@ La __fonction d'autocorrelaton__ (ACF; première figure) évalue la corrélation
 
 En contraste, la __fonction partielle d'autocorrelation__ (PACF: deuxième figure) évalue la corrélation croisée d'une série temporelle entre points à différents décalages, après avoir contrôlé les valeurs de la série temporelle à tous les décalages plus courts.
 
+Dans le graphique ACF, la région ombrée en bleu représente l'intervalle de confiance et les lignes rouges en pointillé représentent les limites de la signification statistique.
+
 ---
 # L'autocorrelation des résidus