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Author: SW36

lectures/var_dmd.md

@@ -4,54 +4,54 @@ jupytext:
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-  display_name: Python 3
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   language: python
   name: python3
 ---
 
 # 向量自回归和动态模态分解
 
-本讲座应用我们在 {doc}`奇异值分解 <svd_intro>` 讲座中学到的计算方法来研究：
+本节讲座中，我们将应用在 {doc}`奇异值分解 <svd_intro>` 中学到的计算方法来研究：
 
 * 一阶向量自回归(VARs)
 * 动态模态分解(DMDs)
-* DMDs和一阶VARs之间的联系
+* 一阶向量自回归和动态模态分解之间的联系
 
 ## 一阶向量自回归
 
-我们要拟合一个**一阶向量自回归**
+我们想要拟合一个**一阶向量自回归**
 
 $$
 X_{t+1} = A X_t + C \epsilon_{t+1}, \quad \epsilon_{t+1} \perp X_t 
 $$ (eq:VARfirstorder)
 
-其中 $\epsilon_{t+1}$ 是一个独立同分布的 $m \times 1$ 随机向量序列的时间 $t+1$ 分量，该序列具有零均值向量和单位协方差矩阵，而 $ m \times 1 $ 向量 $ X_t $ 为：
+其中，$\epsilon_{t+1}$ 是一个独立同分布的随机向量序列 $m \times 1$ 在时间$t+1$ 的分量，且该序列有零均值向量和单位协方差矩阵；而 $ m \times 1 $ 的向量 $ X_t $ 是：
 
 $$
 X_t = \begin{bmatrix}  X_{1,t} & X_{2,t} & \cdots & X_{m,t}     \end{bmatrix}^\top 
 $$ (eq:Xvector)
 
-其中 $\cdot ^\top $ 再次表示复数转置，$ X_{i,t} $ 是时间 $ t $ 的变量 $ i $。
+其中 $\cdot ^\top $ 表示复数转置<!-- 原文是“complex transpose”，似乎不是惯常表达，这里是想要表达“共轭转置”嘛？需不需要进一步解释 -->，$ X_{i,t} $ 是时间 $ t $ 时的变量 $ i $。 
 
 我们想要拟合方程 {eq}`eq:VARfirstorder`。
 
-我们的数据组织在一个 $ m \times (n+1) $ 矩阵 $ \tilde X $ 中
+我们的数据则组织在一个 $ m \times (n+1) $ 的矩阵 $ \tilde X $ 中
 
 $$
 \tilde X =  \begin{bmatrix} X_1 \mid X_2 \mid \cdots \mid X_n \mid X_{n+1} \end{bmatrix}
 $$
 
-其中对于 $ t = 1, \ldots, n +1 $，$ m \times 1 $ 向量 $ X_t $ 由 {eq}`eq:Xvector` 给出。
+其中对于 $ t = 1, \ldots, n +1 $时，$ m \times 1 $ 的向量 $ X_t $ 由 {eq}`eq:Xvector` 给出。
 
 因此，我们想要估计一个系统 {eq}`eq:VARfirstorder`，它由 $ m $ 个最小二乘回归组成，将**所有变量**对**所有变量**的一阶滞后值进行回归。
 
 {eq}`eq:VARfirstorder` 的第 $i$ 个方程是将 $X_{i,t+1}$ 对向量 $X_t$ 进行回归。
 
 我们按如下步骤进行。
 
-从 $ \tilde X $ 中，我们形成两个 $m \times n$ 矩阵
+从 $ \tilde X $ 中，我们构造以下两个 $m \times n$ 矩阵
 
 $$
 X =  \begin{bmatrix} X_1 \mid X_2 \mid \cdots \mid X_{n}\end{bmatrix}
@@ -63,100 +63,100 @@ $$
 X' =  \begin{bmatrix} X_2 \mid X_3 \mid \cdots \mid X_{n+1}\end{bmatrix}
 $$
 
-这里的 $ ' $ 是矩阵 $ X' $ 名称的一部分，并不表示矩阵转置。
+这里的 $ ' $ 是矩阵 $ X' $ 的名称的一部分，并不表示矩阵转置。
 
 我们使用 $\cdot^\top $ 来表示矩阵转置或其在复矩阵中的扩展。
 
-在构造 $ X $ 和 $ X' $ 时，我们在每种情况下都从 $ \tilde X $ 中删除了一列，对于 $ X $ 是删除最后一列，对于 $ X' $ 是删除第一列。
+在构造 $ X $ 和 $ X' $ 的过程中，我们都从 $ \tilde X $ 中删除了某一列，$ X $ 是删除最后一列，$ X' $ 则是删除第一列。
 
-显然，$ X $ 和 $ X' $ 都是 $ m \times n $ 矩阵。
+显然，$ X $ 和 $ X' $ 都是 $ m \times n $ 的矩阵。
 
 我们用 $ p \leq \min(m, n) $ 表示 $ X $ 的秩。
 
 我们感兴趣的两种情况是：
 
-* $ n > > m $，即时间序列观测值数量 $n$ 远大于变量数量 $m$
-* $ m > > n $，即变量数量 $m$ 远大于时间序列观测值数量 $n$
+* $ n > > m $，即时间序列观测值的数量 $n$ 远大于变量的数量 $m$
+* $ m > > n $，即变量的数量 $m$ 远大于时间序列观测值的数量 $n$
 
-在包含这两种特殊情况的一般层面上，有一个共同的公式描述了 $A$ 的最小二乘估计量 $\hat A$。
+在考虑了这两种特殊情况的一般情况中，有一个通用的公式描述了 $A$ 的最小二乘估计量 $\hat A$。
 
 但重要的细节有所不同。
 
-这个共同的公式是：
+这个通用的公式是：
 
 $$ 
 \hat A = X' X^+ 
 $$ (eq:commonA)
 
-其中 $X^+$ 是 $X$ 的伪逆。
+其中 $X^+$ 是 $X$ 的广义逆矩阵，或伪逆。
 
-关于**Moore-Penrose伪逆**的详细信息，请参见[Moore-Penrose伪逆](https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_inverse)
+关于**穆尔-彭罗斯广义逆矩阵**的详细信息，请参见[穆尔-彭罗斯广义逆矩阵](https://baike.baidu.com/item/穆尔-彭罗斯广义逆矩阵/22770999?fr=aladdin)<!-- 中文语境下使用广义逆矩阵的语料远多于伪逆，所以后文统一使用广义逆矩阵 -->
 
-伪逆的适用公式在我们的两种情况下有所不同。
+在我们的两种情况下，广义逆矩阵适用的公式有所不同。
 
 **短胖情况：**
 
-当$n >> m$时，即时间序列观测值$n$远多于变量$m$，且当$X$具有线性独立的**行**时，$X X^\top$有逆矩阵，伪逆$X^+$为
+当$n >> m$时，即时间序列的观测值$n$远多于变量的数量$m$，且当$X$具有线性独立的**行**时，$X X^\top$的逆矩阵存在，且广义逆矩阵$X^+$为
 
 $$
 X^+ = X^\top  (X X^\top )^{-1} 
 $$
 
-这里$X^+$是一个**右逆**，满足$X X^+ = I_{m \times m}$。
+这里$X^+$是一个满足$X X^+ = I_{m \times m}$的**右逆**，。
 
-在这种情况下，我们用于估计总体回归系数矩阵$A$的最小二乘估计量的公式{eq}`eq:commonA`变为
+在这种情况下，我们用于估计总体回归系数矩阵$A$的最小二乘估计量的公式{eq}`eq:commonA`就变为
 
 $$ 
 \hat A = X' X^\top  (X X^\top )^{-1}
 $$ (eq:Ahatform101)
 
-这个最小二乘回归系数的公式在计量经济学中被广泛使用。
+这个计算最小二乘回归系数的公式在计量经济学中被广泛地使用。
 
-它被用于估计向量自回归。
+它也被用于估计向量自回归。
 
-公式{eq}`eq:Ahatform101`右边与$X_{t+1}$和$X_t$的经验交叉二阶矩矩阵成正比，并乘以$X_t$二阶矩矩阵的逆。
+公式{eq}`eq:Ahatform101`的右边，正比于$X_{t+1}$和$X_t$的经验交叉二阶矩矩，乘以$X_t$二阶矩阵的逆矩阵。
 
 **高瘦型情况：**
 
-当$m > > n$时，即属性数量$m$远大于时间序列观测值$n$，且当$X$的**列**线性独立时，$X^\top X$有逆矩阵，伪逆$X^+$为
+当$m > > n$时，即属性数量$m$远大于时间序列的观测值$n$，且当$X$的**列**线性独立时，$X^\top X$的逆矩阵存在，且广义逆矩阵$X^+$为
 
 $$
 X^+ = (X^\top X)^{-1} X^\top 
 $$
 
-这里$X^+$是一个**左逆**，满足$X^+ X = I_{n \times n}$。
+这里$X^+$是一个满足$X^+ X = I_{n \times n}$的**左逆**，。
 
 在这种情况下，我们用于估计$A$的最小二乘估计公式{eq}`eq:commonA`变为
 
 $$
 \hat A = X' (X^\top X)^{-1} X^\top 
 $$ (eq:hatAversion0)
 
-请比较公式{eq}`eq:Ahatform101`和{eq}`eq:hatAversion0`中的$\hat A$。
+请比较{eq}`eq:Ahatform101`和{eq}`eq:hatAversion0`中$\hat A$的表达式。
 
 这里我们特别关注公式{eq}`eq:hatAversion0`。
 
-$\hat A$的第$i$行是一个$m \times 1$向量，包含了$X_{i,t+1}$对$X_{j,t}, j = 1, \ldots, m$回归的系数。
+$\hat A$的第$i$行是一个$m \times 1$的向量，其中包含了$X_{i,t+1}$对$X_{j,t}, j = 1, \ldots, m$回归的系数。
 
 如果我们使用公式{eq}`eq:hatAversion0`来计算$\hat A X$，我们发现
 
 $$
 \hat A X = X'
 $$
 
-因此回归方程**完美拟合**。
+因此回归方程**完全拟合**。
 
-这是**欠定最小二乘**模型中的典型结果。
+这是**欠定最小二乘**模型中典型的结果。
 
-重申一下，在**高瘦**情况下(在{doc}`奇异值分解<svd_intro>`中描述)，即观测数量$n$相对于向量$X_t$中出现的属性数量$m$较小时，我们想要拟合方程{eq}`eq:VARfirstorder`。
+再次重申，**高瘦**情况(见{doc}`奇异值分解<svd_intro>`)指观测的数量$n$相对于向量$X_t$属性的数量$m$较小时，我们想要拟合方程{eq}`eq:VARfirstorder`。
 
 我们面临着最小二乘估计量是欠定的，且回归方程完美拟合的事实。
 
-要继续，我们需要高效地计算伪逆$X^+$。
+接下来，我们想要更加高效地计算广义逆矩阵$X^+$。
 
-伪逆$X^+$将是我们$A$估计量的一个组成部分。
+广义逆矩阵$X^+$将是我们$A$估计量的一个组成部分。
 
-作为我们对$A$的估计量$\hat A$，我们想要形成一个$m \times m$矩阵，它解决最小二乘最佳拟合问题
+作为对$A$的估计量$\hat A$，我们想要形成一个$m \times m$的矩阵，来解决最小二乘最佳拟合问题
 
 $$ 
 \hat A = \textrm{argmin}_{\check A} || X' - \check  A X ||_F
@@ -171,31 +171,31 @@ $$
  ||A||_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m |A_{ij}|^2 }
 $$
 
-方程{eq}`eq:ALSeqn`右侧的最小化解为
+方程{eq}`eq:ALSeqn`右侧的最小值解为
 
 $$
 \hat A =  X'  X^{+}  
 $$ (eq:hatAform)
 
-其中（可能巨大的）$ n \times m $ 矩阵 $ X^{+} = (X^\top  X)^{-1} X^\top $ 再次是 $ X $ 的伪逆。
+其中（可能是巨大的）$ n \times m $ 的矩阵 $ X^{+} = (X^\top  X)^{-1} X^\top $ 同样是 $ X $ 的广义逆矩阵。
 
-对于我们感兴趣的某些情况，$X^\top  X $ 可能接近奇异，这种情况会使某些数值算法变得不准确。
+对于我们感兴趣的一些情况，$X^\top  X $ 可能接近奇异，这种情况会使某些数值算法变得不准确。
 
 为了应对这种可能性，我们将使用高效的算法来构建公式{eq}`eq:hatAversion0`中 $\hat A$ 的**降秩近似**。
 
-这种对我们的向量自回归的近似将不再完全拟合。
+这种近似方式，让我们的向量自回归估计不再完全拟合。
 
 $ \hat A $ 的第 $ i $ 行是一个 $ m \times 1 $ 的回归系数向量，表示 $ X_{i,t+1} $ 对 $ X_{j,t}, j = 1, \ldots, m $ 的回归。
 
-计算伪逆$X^+$的一个有效方法是从奇异值分解开始
+一种高效计算广义逆矩阵$X^+$的方式是从奇异值分解开始
 
 $$
 X =  U \Sigma  V^\top  
 $$ (eq:SVDDMD)
 
-这里我们需要提醒自己，对于**简化的**SVD，$X$是一个$m \times n$的数据矩阵，$U$是一个$m \times p$的矩阵，$\Sigma$是一个$p \times p$的矩阵，而$V$是一个$n \times p$的矩阵。
+这里我们提醒自己，这个**简化**SVD中，$X$是一个$m \times n$的数据矩阵，$U$是一个$m \times p$的矩阵，$\Sigma$是一个$p \times p$的矩阵，而$V$是一个$n \times p$的矩阵。
 
-通过认识到以下一系列等式，我们可以有效地构造相关的伪逆$X^+$。
+通过以下一系列等式，我们可以有效地构造相关的广义逆矩阵$X^+$。
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -207,9 +207,9 @@ X^{+} & = (X^\top  X)^{-1} X^\top  \\
 \end{aligned}
 $$ (eq:efficientpseudoinverse)
 
-（由于我们处在$m > > n$的情况下，在简化SVD中$V^\top  V = I_{p \times p}$，因此我们可以将前面的等式序列同时用于简化SVD和完整SVD。）
+（由于$m > > n$，在简化SVD中$V^\top  V = I_{p \times p}$，因此我们可以将前面的一系列等式同时用于简化SVD和完整SVD。）
 
-因此，我们将使用方程{eq}`eq:SVDDMD`中$X$的奇异值分解来构造$X$的伪逆$X^+$，计算方法为：
+因此，我们将使用方程{eq}`eq:SVDDMD`中$X$的奇异值分解来构造$X$的广义逆矩阵$X^+$，计算方法为：
 
 $$
 X^{+} =  V \Sigma^{-1}  U^\top  
@@ -219,37 +219,37 @@ $$ (eq:Xplusformula)
 
 我们可以将公式{eq}`eq:Xplusformula`与公式{eq}`eq:hatAform`结合使用来计算回归系数矩阵$\hat A$。
 
-因此，我们对$m \times m$系数矩阵$A$的估计量$\hat A = X' X^+$为：
+因此，我们对$m \times m$的系数矩阵$A$的估计量$\hat A = X' X^+$为：
 
 $$
 \hat A = X' V \Sigma^{-1}  U^\top  
 $$ (eq:AhatSVDformula)
 
 ## 动态模态分解(DMD)
 
-我们转向与**动态模态分解**相关的$m >>n$**高瘦型**情况。
+我们继续关注与**动态模态分解**相关的$m >>n$**高瘦型**情况。
 
-这里，一个$m \times n+1$数据矩阵$\tilde X$包含了比时间周期$n+1$多得多的属性（或变量）$m$。
+假设有一个$m \times n+1$的数据矩阵$\tilde X$，它包含了比时间周期$n+1$多得多的属性（或变量）$m$。
 
-动态模态分解由{cite}`schmid2010`引入，
+动态模态分解由{cite}`schmid2010`首次提出，
 
-你可以阅读有关动态模态分解的内容 {cite}`DMD_book` 和 {cite}`Brunton_Kutz_2019`（第7.2节）。
+你可以在 {cite}`DMD_book` 和 {cite}`Brunton_Kutz_2019`（第7.2节）中阅读有关动态模态分解的内容。
 
-**动态模态分解**（DMD）计算公式{eq}`eq:AhatSVDformula`中描述的最小二乘回归系数$\hat A$的秩为$r < p$的近似。
+如公式{eq}`eq:AhatSVDformula`所描述的，**动态模态分解**（DMD）的最小二乘回归系数$\hat A$的秩为$r < p$的近似。<!-- 这句话没太想明白怎么翻译通顺 -->
 
-我们将逐步构建一个在应用中有用的表述。
+我们将逐步构建一种适合应用的表述。
 
-我们将通过描述一阶线性动态系统（即我们的向量自回归）的三种替代表示来实现这一点。
+我们将通过三种不同的表示方式来描述一阶线性动态系统（即我们的向量自回归），从而实现这一点。
 
-**三种表示的指南：**在实践中，我们主要关注表示3。
+**三种表示的指南：** 在实践中，我们主要关注表示3。
 
-我们使用前两种表示来呈现一些有用的中间步骤，这些步骤有助于我们理解表示3的内部原理。
+我们使用前两种表示来呈现一些有用的中间推导，这些步骤有助于我们理解表示3的内在原理。
 
 在应用中，我们将只使用**DMD模态**的一小部分子集来近似动态。
 
 我们使用这样一个小的DMD模态子集来构建对$A$的降秩近似。
 
-为此，我们需要使用与表示法3相关的**简化**SVD，而不是与表示法1和2相关的**完全**SVD。
+为此，我们需要使用与表示法3相关的**简化**SVD，而不是与表示法1和2相关的**完整**SVD。
 
 **给急躁读者的指南：** 在我们的应用中，我们将使用表示法3。
 
@@ -259,9 +259,9 @@ $$ (eq:AhatSVDformula)
 
 ## 表示法1
 
-在这个表示法中，我们将使用$X$的**完全**SVD。
+在这个表示法中，我们将使用$X$的**完整**SVD。
 
-我们使用$U$的$m$个**列**，因此也就是$U^\top$的$m$个**行**，来定义一个$m \times 1$向量$\tilde b_t$：
+我们使用$U$的$m$个**列**，即$U^\top$的$m$个**行**，来定义一个$m \times 1$的向量$\tilde b_t$：
 
 $$
 \tilde b_t = U^\top  X_t .
@@ -277,33 +277,33 @@ $$ (eq:Xdecoder)
 
 由于我们现在使用的是**完全**SVD，$U U^\top  = I_{m \times m}$。
 
-因此从方程{eq}`eq:tildeXdef2`可以得出，我们可以从$\tilde b_t$重构$X_t$。
+因此从方程{eq}`eq:tildeXdef2`可以得出，我们可以用$\tilde b_t$重新构造$X_t$。
 
 特别地，
 
-* 方程 {eq}`eq:tildeXdef2` 作为一个**编码器**，将 $m \times 1$ 向量 $X_t$ **旋转**成一个 $m \times 1$ 向量 $\tilde b_t$
+* 方程 {eq}`eq:tildeXdef2` 作为一个**编码器**，将 $m \times 1$ 向量 $X_t$ **旋转**成一个 $m \times 1$ 的向量 $\tilde b_t$
   
-* 方程 {eq}`eq:Xdecoder` 作为一个**解码器**，通过旋转 $m \times 1$ 向量 $\tilde b_t$ 来**重构** $m \times 1$ 向量 $X_t$
+* 方程 {eq}`eq:Xdecoder` 作为一个**解码器**，通过旋转 $m \times 1$ 向量 $\tilde b_t$ 来**重新构造** $m \times 1$ 的向量 $X_t$
 
-为 $m \times 1$ 基向量 $\tilde b_t$ 定义一个转移矩阵：
+为 $m \times 1$ 的基向量 $\tilde b_t$ 定义一个转移矩阵：
 
 $$ 
 \tilde A = U^\top  \hat A U 
 $$ (eq:Atilde0)
 
-我们可以通过以下方式恢复 $\hat A$：
+我们可以通过以下方式表示 $\hat A$：
 
 $$
 \hat A = U \tilde A U^\top  
 $$
 
-$m \times 1$ 基向量 $\tilde b_t$ 的动态由以下方程支配：
+$m \times 1$ 的基向量 $\tilde b_t$ 的动态由以下方程支配：
 
 $$
 \tilde b_{t+1} = \tilde A \tilde b_t 
 $$
 
-为了构建基于 $X_1$ 条件的 $X_t$ 未来值的预测 $\overline X_t$，我们可以对这个方程的两边应用解码器（即旋转器），从而推导出：
+为了构建基于 $X_1$ 的 $X_t$ 未来值的预测 $\overline X_t$，我们可以对这个方程的两边应用解码器（即旋转器），从而推导出：
 
 $$
 \overline X_{t+1} = U \tilde A^t U^\top  X_1
@@ -758,4 +758,3 @@ $$ (eq:checkXevoln2)
 你可以在这里找到DMD的Python实现：
 
 https://mathlab.sissa.it/pydmd
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