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Author: HumphreyYang

lectures/eig_circulant.md

@@ -15,15 +15,15 @@ kernelspec:
 
 ## 概述
 
-本讲座介绍循环矩阵及其一些性质。
+本讲座将介绍循环矩阵这一特殊的矩阵类型。
 
-循环矩阵具有特殊的结构，这种结构将它们与一些有用的概念联系起来，包括：
+循环矩阵有着独特的结构特征，这使得它们与许多重要的数学概念密切相关，比如：
 
-  * 卷积
+  * 卷积运算
   * 傅里叶变换
   * 置换矩阵
 
-由于这些联系，循环矩阵在机器学习中被广泛使用，例如在图像处理中。
+正是由于这些重要联系，循环矩阵在机器学习等领域得到了广泛应用。例如，它们在图像处理中扮演着重要角色。
 
 我们首先导入一些Python包：
 
@@ -89,7 +89,7 @@ construct_cirlulant(np.array([1., 2., 3.]))
 
 ### 循环矩阵的一些性质
 
-以下是一些有用的性质：
+以下是一些有用的性质。
 
 假设 $A$ 和 $B$ 都是循环矩阵。那么可以验证：
 
@@ -149,7 +149,7 @@ P=\left[\begin{array}{cccccc}
 \end{array}\right]
 $$ (eqn:exampleP)
 
-作为一个**循环移位**算子，当应用于 $N \times 1$ 向量 $h$ 时，将第 $2$ 行到第 $N$ 行的元素向上移动一行，并将第 $1$ 行的元素移动到第 $N$ 行。
+是一个**循环移位**算子，当应用于 $N \times 1$ 向量 $h$ 时，将第 $2$ 行到第 $N$ 行的元素向上移动一行，并将第 $1$ 行的元素移动到第 $N$ 行。
 
 方程 {eq}`eqn:exampleP` 中定义的循环移位置换矩阵 $P$ 的特征值可以通过构造
 
@@ -216,13 +216,13 @@ for i in range(4):
     print(f'𝜆{i} = {𝜆[i]:.1f} \nvec{i} = {Q[i, :]}\n')
 ```
 
-在下面的图中，我们将在复平面上展示移位置换矩阵的特征值。
+让我们在复平面上绘制移位置换矩阵的特征值。
 
-这些特征值均匀分布在单位圆上。
+从图中可以看出，这些特征值在单位圆上均匀分布。
 
-它们是**$n$ 次单位根**，意味着它们是满足 $z^n =1$ 的 $n$ 个复数 $z$，其中 $z$ 是一个复数。
+这些特征值实际上就是单位根 -- 即满足方程 $z^n = 1$ 的复数 $z$。
 
-特别地，$n$ 次单位根是
+具体来说，对于阶数为 $n$ 的置换矩阵，其特征值就是 $n$ 个单位根，它们的表达式为
 
 $$
 z = \exp\left(\frac{2 \pi j k }{N} \right) , \quad k = 0, \ldots, N-1
@@ -383,7 +383,7 @@ C
 C8
 ```
 
-现在让我们计算两种不同方式构造的循环矩阵之间的差异。
+现在让我们计算两种不同方式构造的循环矩阵之间的差值。
 
 ```{code-cell} ipython3
 np.abs(C - C8).max()