diff --git a/lectures/eig_circulant.md b/lectures/eig_circulant.md
index 2636ebc4..4fec3424 100644
--- a/lectures/eig_circulant.md
+++ b/lectures/eig_circulant.md
@@ -15,15 +15,15 @@ kernelspec:
 
 ## 概述
 
-本讲座介绍循环矩阵及其一些性质。
+本讲座将介绍循环矩阵这一特殊的矩阵类型。
 
-循环矩阵具有特殊的结构，这种结构将它们与一些有用的概念联系起来，包括：
+循环矩阵有着独特的结构特征，这使得它们与许多重要的数学概念密切相关，比如：
 
-  * 卷积
+  * 卷积运算
   * 傅里叶变换
   * 置换矩阵
 
-由于这些联系，循环矩阵在机器学习中被广泛使用，例如在图像处理中。
+正是由于这些重要联系，循环矩阵在机器学习等领域得到了广泛应用。例如，它们在图像处理中扮演着重要角色。
 
 我们首先导入一些Python包：
 
@@ -83,13 +83,13 @@ def construct_cirlulant(row):
 ```
 
 ```{code-cell} ipython3
-# 一个简单的例子，当 N = 3 时
+# 当 N = 3 时的一个简单例子
 construct_cirlulant(np.array([1., 2., 3.]))
 ```
 
 ### 循环矩阵的一些性质
 
-以下是一些有用的性质：
+以下是一些有用的性质。
 
 假设 $A$ 和 $B$ 都是循环矩阵。那么可以验证：
 
@@ -149,7 +149,7 @@ P=\left[\begin{array}{cccccc}
 \end{array}\right]
 $$ (eqn:exampleP)
 
-作为一个**循环移位**算子，当应用于 $N \times 1$ 向量 $h$ 时，将第 $2$ 行到第 $N$ 行的元素向上移动一行，并将第 $1$ 行的元素移动到第 $N$ 行。
+是一个**循环移位**算子，当应用于 $N \times 1$ 向量 $h$ 时，将第 $2$ 行到第 $N$ 行的元素向上移动一行，并将第 $1$ 行的元素移动到第 $N$ 行。
 
 方程 {eq}`eqn:exampleP` 中定义的循环移位置换矩阵 $P$ 的特征值可以通过构造
 
@@ -216,13 +216,13 @@ for i in range(4):
     print(f'𝜆{i} = {𝜆[i]:.1f} \nvec{i} = {Q[i, :]}\n')
 ```
 
-在下面的图中，我们将在复平面上展示移位置换矩阵的特征值。
+让我们在复平面上绘制移位置换矩阵的特征值。
 
-这些特征值均匀分布在单位圆上。
+从图中可以看出，这些特征值在单位圆上均匀分布。
 
-它们是**$n$ 次单位根**，意味着它们是满足 $z^n =1$ 的 $n$ 个复数 $z$，其中 $z$ 是一个复数。
+这些特征值实际上就是单位根 -- 即满足方程 $z^n = 1$ 的复数 $z$。
 
-特别地，$n$ 次单位根是
+具体来说，对于阶数为 $n$ 的置换矩阵，其特征值就是 $n$ 个单位根，它们的表达式为
 
 $$
 z = \exp\left(\frac{2 \pi j k }{N} \right) , \quad k = 0, \ldots, N-1
@@ -317,7 +317,7 @@ Q8 = F8 / np.sqrt(8)
 ```
 
 ```{code-cell} ipython3
-# 验证正交性（酉性）
+# 验证正交性
 Q8 @ np.conjugate(Q8)
 ```
 
@@ -338,9 +338,9 @@ for j in range(8):
 diff_arr
 ```
 
-## 关联置换矩阵
+## 循环矩阵与置换矩阵的关系
 
-接下来，我们执行计算来验证方程 {eq}`eqn:circulant` 中定义的循环矩阵 $C$ 可以写成
+接下来，我们将验证方程 {eq}`eqn:circulant` 中定义的循环矩阵 $C$ 可以表示为置换矩阵的线性组合：
 
 $$
 C = c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{n-1} P^{n-1}
@@ -348,10 +348,6 @@ $$
 
 并且 $P$ 的每个特征向量也是 $C$ 的特征向量。
 
-```{code-cell} ipython3
-
-```
-
 我们用 $N=8$ 的情况来说明这一点。
 
 ```{code-cell} ipython3
@@ -366,7 +362,7 @@ c
 C8 = construct_cirlulant(c)
 ```
 
-计算 $c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{n-1} P^{n-1}$。
+计算 $c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{n-1} P^{n-1}$
 
 ```{code-cell} ipython3
 N = 8
@@ -387,13 +383,13 @@ C
 C8
 ```
 
-现在让我们计算两种不同方式构造的循环矩阵之间的差异。
+现在让我们计算两种不同方式构造的循环矩阵之间的差值。
 
 ```{code-cell} ipython3
 np.abs(C - C8).max()
 ```
 
-与特征值 $w^{k-1}$ 相关的 $P_{8}$ 的第 $k$ 列是 $C_{8}$ 的特征向量，对应的特征值是 $\sum_{h=0}^{7} c_{j} w^{h k}$。
+$P_8$ 的第 $k$ 列是 $C_8$ 的特征向量，其特征值为 $\sum_{h=0}^{7} c_h w^{hk}$，其中 $w^{k-1}$ 是 $P_8$ 对应的特征值。
 
 ```{code-cell} ipython3
 𝜆_C8 = np.zeros(8, dtype=complex)
@@ -443,7 +439,7 @@ def DFT(x):
     return X
 ```
 
-考虑以下示例。
+考虑以下示例：
 
 $$
 x_{n}=\begin{cases}