diff --git a/lectures/ar1_turningpts.md b/lectures/ar1_turningpts.md
index 4526c466..98489567 100644
--- a/lectures/ar1_turningpts.md
+++ b/lectures/ar1_turningpts.md
@@ -18,9 +18,9 @@ kernelspec:
 
 !pip install arviz pymc
 ```
-本讲座介绍了用于预测单变量自回归过程未来值函数的统计方法。
+本讲座介绍了用于预测一元自回归过程未来值函数的统计方法。
 
-这些方法旨在考虑这些统计数据的两个可能的不确定性来源：
+这些方法旨在考虑这些统计量的两个可能的不确定性来源：
 
 - 影响转换规律的随机冲击
 
@@ -28,15 +28,16 @@ kernelspec:
 
 我们考虑两类统计量：
 
-- 由AR(1)过程控制的随机过程{y_t}的预期值y_{t+j}
+- 由AR(1)过程控制的随机过程 $\{y_t\}$的预期值 $y_{t+j}$
 
-- 在时间t定义为未来值{y_{t+j}}_{j ≥ 1}的非线性函数的样本路径特性
+- 在时间 $t$ 被定义为未来值 $\{y_{t+j}\}_{j ≥ 1}$ 的非线性函数的样本路径特性
 
 **样本路径特性**是指诸如"到下一个转折点的时间"或"到下一次衰退的时间"之类的特征。
 
 为研究样本路径特性，我们将使用Wecker {cite}`wecker1979predicting`推荐的模拟程序。
 
 为了考虑参数的不确定性，我们将使用`pymc`构建未知参数的贝叶斯联合后验分布。
+
 让我们从一些导入开始。
 
 ```{code-cell} ipython3
@@ -45,14 +46,13 @@ import arviz as az
 import pymc as pmc
 import matplotlib.pyplot as plt
 import matplotlib as mpl
-FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"
-mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)
-plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']
-
 import seaborn as sns
 
 sns.set_style('white')
 colors = sns.color_palette()
+FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"
+mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)
+plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']
 
 import logging
 logging.basicConfig()
@@ -67,60 +67,58 @@ $$
 y_{t+1} = \rho y_t + \sigma \epsilon_{t+1}, \quad t \geq 0 
 $$ (ar1-tp-eq1) 
 
-其中标量$\rho$和$\sigma$满足$|\rho| < 1$和$\sigma > 0$；
-$\{\epsilon_{t+1}\}$是一个均值为$0$、方差为$1$的独立同分布正态随机变量序列。
+其中标量 $\rho$ 和 $\sigma$ 满足 $|\rho| < 1$ 和 $\sigma > 0$；
+$\{\epsilon_{t+1}\}$ 是一个均值为 $0$、方差为 $1$ 的独立同分布正态随机变量序列。
 
-初始条件$y_{0}$是一个已知数。
+初始条件 $y_{0}$ 是一个已知数。
 
-方程{eq}`ar1-tp-eq1`表明对于$t \geq 0$，$y_{t+1}$的条件密度为
+方程{eq}`ar1-tp-eq1`表明对于 $t \geq 0$，$y_{t+1}$ 的条件密度为
 
 $$
 f(y_{t+1} | y_{t}; \rho, \sigma) \sim {\mathcal N}(\rho y_{t}, \sigma^2) \
 $$ (ar1-tp-eq2)
 
-此外，方程{eq}`ar1-tp-eq1`还表明对于$t \geq 0$，$y_{t+j}$（其中$j \geq 1$）的条件密度为
+此外，方程{eq}`ar1-tp-eq1`还表明对于$t \geq 0, j \geq 1$，$y_{t+j}$ 的条件密度为
 
 $$
 f(y_{t+j} | y_{t}; \rho, \sigma) \sim {\mathcal N}\left(\rho^j y_{t}, \sigma^2 \frac{1 - \rho^{2j}}{1 - \rho^2} \right) 
 $$ (ar1-tp-eq3)
 
-预测分布{eq}`ar1-tp-eq3`假设参数$\rho, \sigma$是已知的，我们表示
-通过对它们进行条件化。
+预测分布{eq}`ar1-tp-eq3`假设参数 $\rho, \sigma$ 是已知的，我们通过以它们为条件来表达。
 
-我们还想计算一个不对$\rho,\sigma$进行条件化，而是考虑到它们的不确定性的预测分布。
+我们还想计算一个不以 $\rho,\sigma$ 为条件，而是考虑到它们的不确定性的预测分布。
 
-我们通过将{eq}`ar1-tp-eq3`对联合后验分布$\pi_t(\rho,\sigma | y^t)$进行积分来形成这个预测分布，该后验分布基于观测历史$y^t = \{y_s\}_{s=0}^t$：
+根据一个观测历史 $y^t = \{y_s\}_{s=0}^t$，我们有联合后验分布 $\pi_t(\rho,\sigma | y^t)$。我们通过对 {eq}`ar1-tp-eq3`关于 $\pi_t(\rho,\sigma | y^t)$ 进行积分来形成这个预测分布：
 
 $$ 
 f(y_{t+j} | y^t)  = \int f(y_{t+j} | y_{t}; \rho, \sigma) \pi_t(\rho,\sigma | y^t ) d \rho d \sigma
 $$ (ar1-tp-eq4)
 
-预测分布{eq}`ar1-tp-eq3`假设参数$(\rho,\sigma)$是已知的。
+预测分布{eq}`ar1-tp-eq3`假设参数 $(\rho,\sigma)$ 是已知的。
 
-预测分布{eq}`ar1-tp-eq4`假设参数$(\rho,\sigma)$是不确定的，但有已知的概率分布$\pi_t(\rho,\sigma | y^t )$。
+预测分布{eq}`ar1-tp-eq4`假设参数 $(\rho,\sigma)$ 是不确定的，但有已知的概率分布 $\pi_t(\rho,\sigma | y^t)$。
 
 我们还想计算一些"样本路径统计量"的预测分布，这可能包括
 
 - 到下一次"衰退"的时间，
-- 未来8个周期内Y的最小值，
+- 未来8个周期内 $Y$ 的最小值，
 - "严重衰退"，以及
 - 到下一个转折点（正或负）的时间。
 
-为了在我们不确定参数值的情况下实现这一点，我们将按以下方式扩展Wecker的{cite}`wecker1979predicting`方法。
+为了在我们对参数值不确定的情况下实现这一目标，我们将按以下方式扩展Wecker的{cite}`wecker1979predicting`方法。
 
-- 首先模拟一个长度为$T_0$的初始路径；
-- 对于给定的先验分布，在观察初始路径后从参数$\left(\rho,\sigma\right)$的后验联合分布中抽取大小为$N$的样本；
-- 对于每个抽样$n=0,1,...,N$，用参数$\left(\rho_n,\sigma_n\right)$模拟长度为$T_1$的"未来路径"，并计算我们的三个"样本路径统计量"；
-- 最后，将$N$个样本的所需统计量绘制为经验分布。
+- 首先，模拟一个长度为$T_0$的初始路径；
+- 对于给定的先验分布，在观察初始路径后从参数 $\left(\rho,\sigma\right)$ 的后验联合分布中抽取大小为 $N$ 的样本；
+- 对于每个抽样 $n=0,1,...,N$，用参数 $\left(\rho_n,\sigma_n\right)$ 模拟长度为 $T_1$ 的"未来路径"，并计算我们的三个"样本路径统计量"；
+- 最后，将 $N$ 个样本的所需统计量绘制为经验分布。
 
 ## 实现
 
-首先，我们将模拟一个样本路径，从这个路径开始进行预测。
+首先，我们将模拟一个样本路径，并以此为基础进行我们的预测。
 
-除了绘制样本路径外，在假设已知真实参数值的情况下，我们将使用条件分布绘制$.9$和$.95$的覆盖区间
-上述{eq}`ar1-tp-eq3`所描述的。
+除了绘制样本路径外，在假设已知真实参数值的情况下，我们将使用上述{eq}`ar1-tp-eq3`所描述的条件分布绘制 $.9$ 和 $.95$ 的覆盖区间。
 
-我们还将绘制一系列未来值序列的样本，并观察它们相对于覆盖区间的分布情况。
+我们还将绘制一系列未来值序列的样本，并观察它们相对于覆盖区间落在何处。
 
 ```{code-cell} ipython3
 def AR1_simulate(rho, sigma, y0, T):
@@ -184,15 +182,15 @@ plot_initial_path(initial_path)
 
 ## 路径属性的预测分布
 
-Wecker {cite}`wecker1979predicting` 提出使用模拟技术来表征某些统计量的预测分布,这些统计量是 $y$ 的非线性函数。
+Wecker {cite}`wecker1979predicting` 提出使用模拟技术来表征某些统计量的预测分布，这些统计量是 $y$ 的非线性函数。
 
-他将这些函数称为"路径属性",以区别于单个数据点的属性。
+他将这些函数称为"路径属性"，以区别于单个数据点的属性。
 
-他研究了给定序列 $\{y_t\}$ 的两个特殊的前瞻性路径属性。
+他研究了给定序列 $\{y_t\}$ 的两个特殊的未来路径属性。
 
 第一个是**到下一个转折点的时间**。
 
-* 他将**"转折点"**定义为 $y$ 连续两次下降中的第二个时间点。
+* 他将 **"转折点"** 定义为 $y$ 连续两次下降中的第二个时间点。
 
 为了研究这个统计量,让 $Z$ 作为一个指示过程
 
@@ -218,7 +216,7 @@ $$
 W_t(\omega):= \inf \{ k\geq 1 \mid Z_{t+k}(\omega) = 1\}
 $$
 
-Wecker {cite}`wecker1979predicting`还研究了**未来8个季度$Y$的最小值**,可以定义为随机变量:
+Wecker {cite}`wecker1979predicting`还研究了**未来8个季度 $Y$ 的最小值**，可以定义为随机变量:
 
 $$ 
 M_t(\omega) := \min \{ Y_{t+1}(\omega); Y_{t+2}(\omega); \dots; Y_{t+8}(\omega)\}
@@ -271,7 +269,8 @@ $$
 - "在一次或两次下降之后，$Y$ 将连续两个季度增长"
 
 根据{cite}`wecker1979predicting`，我们可以通过模拟来计算每个时期 $t$ 的 $P_t$ 和 $N_t$ 的概率。
-## 类韦克算法
+
+## 一个类似Wecker的算法
 
 该过程包含以下步骤：
 
@@ -392,9 +391,9 @@ def next_turning_point(omega):
 
     return up_turn, down_turn
 ```
-## 原始韦克方法
+## 原始Wecker方法
 
-现在我们通过模拟未来路径并计算预测分布来应用韦克的原始方法，这些预测分布以数据生成模型相关的真实参数为条件。
+现在我们应用Wecker的原始方法，以与数据生成模型相关的真实参数为条件，通过模拟未来路径并计算预测分布。
 
 ```{code-cell} ipython3
 def plot_Wecker(initial_path, N, ax):
@@ -458,9 +457,9 @@ plt.show()
 ```
 ## 扩展 Wecker 方法
 
-现在我们应用基于 {eq}`ar1-tp-eq4` 定义的 $y$ 的预测密度的"扩展" Wecker 方法，该方法考虑了参数 $\rho, \sigma$ 的后验不确定性。
+现在，我们应用我们的的"扩展" Wecker 方法。该方法基于 {eq}`ar1-tp-eq4` 定义的 $y$ 的预测密度，考虑了参数 $\rho, \sigma$ 的后验不确定性。
 
-为了近似 {eq}`ar1-tp-eq4` 右侧的积分，我们每次从联合后验分布中重复抽取参数，同时从模型 {eq}`ar1-tp-eq1` 中模拟未来值序列。
+为了近似 {eq}`ar1-tp-eq4` 右侧的积分，我们每次从模型 {eq}`ar1-tp-eq1` 中模拟未来值序列时，都重复地从联合后验分布中抽取参数。
 
 ```{code-cell} ipython3
 def plot_extended_Wecker(post_samples, initial_path, N, ax):