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Author: FabianaCampanari

class_8-✍🏻 1st HandMad EXAM -LP -MathModels - Simplex/QaA_3-Linear Programming Problem Solving by the Simplex Method/answer_3-Linear Programming Problem Solving by the Simplex Method.md

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+# Resolução de Problema de Programação Linear pelo Método Simplex
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+Este relatório apresenta a resolução completa do problema de programação linear usando o método Simplex, simulando uma resolução feita à mão, como seria realizada em um caderno.
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+## Problema de Programação Linear
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+O problema a ser resolvido é:
+
+Max. Z = 5x₁ + 4x₂
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+Sujeito a:
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+- x₁ + 2x₂ ≤ 6
+- -2x₁ + x₂ ≤ 4
+- 5x₁ + 3x₂ ≤ 15
+- x₁, x₂ ≥ 0
+
+
+## Preparação do Problema para o Método Simplex
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+### Introdução de Variáveis de Folga
+
+O primeiro passo é converter as restrições de desigualdade em equações, introduzindo variáveis de folga:
+
+- x₁ + 2x₂ + s₁ = 6
+- -2x₁ + x₂ + s₂ = 4
+- 5x₁ + 3x₂ + s₃ = 15
+
+A função objetivo na forma padrão:
+Z - 5x₁ - 4x₂ = 0
+
+### Construção do Tableau Inicial
+
+O tableau inicial é formado pelos coeficientes das variáveis nas restrições, as variáveis de folga, e a função objetivo (com coeficientes negativos):
+
+
+| Base | x₁ | x₂ | s₁ | s₂ | s₃ | b |
+| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
+| s₁ | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 6 |
+| s₂ | -2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 |
+| s₃ | 5 | 3 | 0 | 0 | 1 | 15 |
+| Z | -5 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
+
+## Resolução Passo a Passo pelo Método Simplex
+
+### Primeira Iteração
+
+**Passo 1: Identificar a variável que entra na base**
+
+Analisamos a linha Z e escolhemos a variável com coeficiente mais negativo. Neste caso, x₁ tem coeficiente -5, portanto x₁ entrará na base.
+
+**Passo 2: Identificar a variável que sai da base**
+
+Calculamos as razões para determinar qual variável sairá da base:
+
+- Linha 1 (s₁): 6/1 = 6
+- Linha 2 (s₂): não calculamos porque o coeficiente -2 não é positivo
+- Linha 3 (s₃): 15/5 = 3
+
+A menor razão positiva é 3, correspondente à linha 3, então s₃ sairá da base.
+
+**Passo 3: Operações de pivoteamento**
+
+O elemento pivô é 5 (linha 3, coluna x₁).
+
+1. Dividimos a linha do pivô (linha 3) pelo valor do pivô (5):
+-[^2][^1][^12] ÷ 5 = [1, 0.6, 0, 0, 0.2, 3]
+2. Eliminamos os outros elementos da coluna pivô:
+    - Linha 1:[^1][^1][^3] - 1×[1, 0.6, 0, 0, 0.2, 3] = [0, 1.4, 1, 0, -0.2, 3]
+    - Linha 2: [-2, 1, 0, 1, 0, 4] - (-2)×[1, 0.6, 0, 0, 0.2, 3] = [0, 2.2, 0, 1, 0.4, 10]
+    - Linha Z: [-5, -4, 0, 0, 0, 0] - (-5)×[1, 0.6, 0, 0, 0.2, 3] = [0, -1, 0, 0, 1, 15]
+
+Obtemos o seguinte tableau:
+
+
+| Base | x₁ | x₂ | s₁ | s₂ | s₃ | b |
+| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
+| s₁ | 0 | 1.4 | 1 | 0 | -0.2 | 3 |
+| s₂ | 0 | 2.2 | 0 | 1 | 0.4 | 10 |
+| x₁ | 1 | 0.6 | 0 | 0 | 0.2 | 3 |
+| Z | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 15 |
+
+### Segunda Iteração
+
+**Passo 1: Identificar a variável que entra na base**
+
+Na linha Z, o coeficiente de x₂ é -1, então x₂ entrará na base.
+
+**Passo 2: Identificar a variável que sai da base**
+
+Calculamos as razões:
+
+- Linha 1 (s₁): 3/1.4 = 2.143
+- Linha 2 (s₂): 10/2.2 = 4.545
+- Linha 3 (x₁): 3/0.6 = 5
+
+A menor razão positiva é 2.143, correspondente à linha 1, então s₁ sairá da base.
+
+**Passo 3: Operações de pivoteamento**
+
+O elemento pivô é 1.4 (linha 1, coluna x₂).
+
+1. Dividimos a linha do pivô (linha 1) pelo valor do pivô (1.4):
+    - [0, 1.4, 1, 0, -0.2, 3] ÷ 1.4 = [0, 1, 0.714, 0, -0.143, 2.143]
+2. Eliminamos os outros elementos da coluna pivô:
+    - Linha 2: [0, 2.2, 0, 1, 0.4, 10] - 2.2×[0, 1, 0.714, 0, -0.143, 2.143] = [0, 0, -1.571, 1, 0.714, 5.286]
+    - Linha 3: [1, 0.6, 0, 0, 0.2, 3] - 0.6×[0, 1, 0.714, 0, -0.143, 2.143] = [1, 0, -0.429, 0, 0.286, 1.714]
+    - Linha Z: [0, -1, 0, 0, 1, 15] - (-1)×[0, 1, 0.714, 0, -0.143, 2.143] = [0, 0, 0.714, 0, 0.857, 17.143]
+
+Obtemos o seguinte tableau:
+
+
+| Base | x₁ | x₂ | s₁ | s₂ | s₃ | b |
+| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
+| x₂ | 0 | 1 | 0.714 | 0 | -0.143 | 2.143 |
+| s₂ | 0 | 0 | -1.571 | 1 | 0.714 | 5.286 |
+| x₁ | 1 | 0 | -0.429 | 0 | 0.286 | 1.714 |
+| Z | 0 | 0 | 0.714 | 0 | 0.857 | 17.143 |
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+### Verificação de Otimalidade
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+Como todos os coeficientes na linha Z são não-negativos, atingimos a solução ótima.
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+## Solução Ótima
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+Expressando a solução em frações para maior precisão:
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+- x₁ = 12/7 ≈ 1.714
+- x₂ = 15/7 ≈ 2.143
+- Valor máximo de Z = 120/7 ≈ 17.143
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+## Conclusão
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+Aplicando o método Simplex, encontramos que a solução ótima para o problema de programação linear é produzir aproximadamente 1.714 unidades do produto 1 e 2.143 unidades do produto 2, resultando em um valor máximo da função objetivo Z = 17.143.
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+O método Simplex mostrou-se eficiente, convergindo para a solução ótima em apenas duas iterações. As variáveis de folga s₁ e s₃ são zero na solução ótima, indicando que as restrições correspondentes são ativas (estão no limite), enquanto s₂ = 5.286, indicando que a segunda restrição não é ativa.
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