qcm_data.json

[
    {
        "question": "Le parcours BFS (parcour en largeur) visite-t-il tous les nœuds d'un graphe connexe ?",
        "answer": true,
        "explanation": "En partant d'un nœud, BFS visite tous les nœuds atteignables dans un graphe non orienté. Sur un graphe connexe, ce sont effectivement tous les nœuds.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Dijkstra peut-il fonctionner correctement en présence d'arêtes de poids négatif ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Dijkstra ne fonctionne pas correctement lorsque le graphe contient des poids négatifs. On utilise plutôt Bellman-Ford dans ce cas.",
        "visual_explanation": false,
        "graph_name": "Cycle Négatif"
    },
    {
        "question": "Un graphe connexe à n sommets et n - 1 arêtes est-il toujours un arbre ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Un graphe connexe à n sommets et n - 1 arêtes est un arbre. C'est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un graphe connexe soit un arbre.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un graphe connexe à n sommets et n + 1 arêtes est-il toujours un arbre ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Un graphe connexe à n sommets et n + 1 arêtes n'est pas un arbre. Un arbre a n - 1 arêtes, donc un graphe connexe à n sommets et n + 1 arêtes contient un cycle.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un DAG (graphe orienté acyclique) contient-il toujours au moins une source et au moins un puits ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Chaque DAG contient au moins une source (sommet sans aucun arc entrant) et au moins un puits (sommet sans aucun arc sortant).",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Si un graphe orienté contient au moins une source, contient-il nécessairement au moins un puits ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Si un graphe orienté contient au moins une source, alors il ne contient pas forcement un  puits.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un DAG à n sommets contient-il toujours n composantes fortement connexes ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Un DAG à n sommets contient exactement n composantes fortement connexes.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Peut-on trouver un plus long chemin dans un DAG en multipliant tous les poids par -1 avant d'appliquer l'algorithme de Bellman-Ford ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Pour trouver un plus long chemin dans un DAG, on peut multiplier tous les poids par -1, puis appliquer l'algorithme de Bellman-Ford.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un graphe biparti G avec bipartition (A, B) contient-il un couplage parfait si |N(X)| ≥ |X| pour tout sous-ensemble X ⊆ A ? (rappel : N(X) est l’ensemble des voisins des sommets dans X)",
        "answer": false,
        "explanation": "Un graphe biparti G avec bipartition (A, B) contient un couplage parfait si et seulement si |N(X)| ≥ |X| pour tout sous-ensemble X ⊆ A, ET que |A| = |B|",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Dans un graphe, la taille maximale d'un couplage est-elle toujours inférieure ou égale à deux fois la taille minimale d'un vertex cover ? (ou transversal : un sous-ensemble U des sommets tel que toute arête ait au moins une extrémité dans U). Alors, ν(G) ≤ τ (G) ≤ 2ν(G))",
        "answer": true,
        "explanation": "La taille maximale d'un couplage (ν(G)) et la taille minimale d'un vertex cover (τ(G)) respectent la relation ν(G) ≤ τ(G) ≤ 2ν(G).",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Si G est un graphe avec n sommets et m arêtes, est-il toujours vrai que m = O(n) ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Pour un graphe général, le nombre d’arêtes m peut aller jusqu'à O(n²) dans le cas d’un graphe complet (n(n-1)/2). La relation m = O(n) est vraie seulement pour des graphes spécifiques.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un graphe orienté est-il un graphe orienté acyclique (DAG) si DFS (parcours en profondeur) ne trouve aucun arc transverse ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Un graphe orienté est un DAG si et seulement si un parcours DFS ne trouve aucun arc retour.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un graphe orienté est-il un graphe orienté acyclique (DAG) si DFS (parcours en profondeur) ne trouve aucun arc retour ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Un graphe orienté est un DAG si et seulement si un parcours DFS ne trouve aucun arc retour.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un graphe orienté à n sommets qui a moins de n composantes fortement connexes est-il toujours un DAG ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Un graphe orienté à n sommets qui a moins de n composantes fortement connexes peut contenir des cycles, ce qui en fait un graphe non acyclique.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Bellman-Ford fonctionne-t-il uniquement sur les graphes avec des poids non négatifs ?",
        "answer": false,
        "explanation": "L'algorithme de Bellman-Ford fonctionne correctement même avec des poids négatifs, à condition qu'il n'y ait pas de cycle de poids négatif dans le graphe.",
        "visual_explanation": false
    },    {
        "question": "L'algorithme de Bellman-Ford fonctionne-t-il sur les graphes avec des cycle a poids non négatifs ?",
        "answer": true,
        "explanation": "L'algorithme de Bellman-Ford fonctionne correctement à condition qu'il n'y ait pas de cycle de poids négatif dans le graphe.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Si le nombre d'arêtes d'un graphe est impair, contient-il toujours au moins un sommet dont le degré n'est pas un multiple de 4 ?",
        "answer": true,
        "explanation": "La somme des degrés des sommets dans un graphe est égale à deux fois le nombre d’arêtes. Si le nombre d’arêtes est impair, au moins un sommet aura un degré impair, et donc pas un multiple de 4.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Toute arête de poids minimum dans un graphe connexe pondéré appartient-elle à un arbre couvrant de poids minimum ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Dans un graphe connexe pondéré, toute arête de poids minimum appartient à au moins un arbre couvrant de poids minimum, conformément à la propriété des arbres couvrants minimaux.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Tout graphe avec n sommets et n - 1 arêtes est-il acyclique ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Un graphe avec n sommets et n - 1 arêtes est un arbre si c'est CONEXE, mais sinon il peut contenir des cycles.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Prim fonctionne-t-il correctement lorsqu'il y a des arêtes de poids négatif ?",
        "answer": true,
        "explanation": "L'algorithme de Prim fonctionne correctement avec des poids négatifs, car il ne dépend pas des valeurs absolues des poids mais de leur ordre relatif.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Dijkstra fonctionne-t-il correctement lorsqu'il y a des arêtes de poids négatif ?",
        "answer": false,
        "explanation": "L'algorithme de Dijkstra ne fonctionne pas correctement avec des poids négatifs, car il suppose que tous les poids sont non négatifs pour garantir une solution optimale.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Floyd-Warshall peut-il être utilisé pour détecter un cycle négatif ?",
        "answer": true,
        "explanation": "L'algorithme de Floyd-Warshall peut être utilisé pour détecter des cycles de poids négatif en vérifiant si un sommet a une distance négative à lui-même après l'exécution de l'algorithme. (cad si D[i][i]<0)",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Toute arête de poids maximum dans un graphe connexe pondéré appartient-elle à un arbre couvrant de poids maximum ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Dans un graphe connexe pondéré, toute arête de poids maximum appartient à au moins un arbre couvrant de poids maximum",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'arête de poids maximum, si elle est unique, est-elle toujours dans au moins un couplage de poids maximum ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Une arête de poids maximum unique peut ne pas être incluse dans un couplage de poids maximum si elle bloque la possibilité de construire un couplage globalement meilleur.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'arête de poids minimum, si elle est unique, n'est-elle jamais dans aucun couplage de poids maximum ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Une arête de poids minimum unique peut être incluse dans un couplage de poids maximum si elle est nécessaire pour compléter le couplage.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Soit n pair et G un graphe biparti tel que chacun des deux côtés a exactement n/2 sommets. Existe-t-il un couplage de poids maximum avec exactement n/2 arêtes ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Il n'est pas garanti que le couplage de poids maximum ait exactement n/2 arêtes, cela dépend des poids des arêtes.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Soit n pair et G un graphe biparti complet tel que chacun des deux côtés a exactement n/2 sommets. Existe-t-il un couplage de poids maximum avec exactement n/2 arêtes ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Dans un graphe biparti complet équilibré, un couplage de poids maximum peut être obtenu avec exactement n/2 arêtes en sélectionnant les arêtes optimales.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Soit n pair et G un cycle de longueur n. Tout couplage de poids maximum contient-il exactement n/2 arêtes et une arête sur deux le long du cycle ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Dans un cycle, la structure du couplage de poids maximum peut ne pas correspondre à une arête sur deux selon les poids des arêtes.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Soit n impair et G un chemin comprenant n - 1 arêtes. Tout couplage de poids maximum contient-il exactement (n - 1)/2 arêtes et une arête sur deux le long du chemin ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Dans un chemin, le couplage de poids maximum peut ne pas correspondre à une arête sur deux, car cela dépend des poids des arêtes.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Soit u un sommet de G de degré 1 (donc avec un seul voisin v). L'arête uv appartient-elle forcément à un couplage de poids maximum ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Une arête uv ne fait pas nécessairement partie d’un couplage de poids maximum, car son inclusion dépend des autres arêtes et de leurs poids.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme suivant : Soit M un couplage. Répéter, jusqu’à ne plus pouvoir faire d’opération améliorante, l’opération suivante : trouver une arête e /∈ M telle que M ∪ {e} soit un couplage, choisir celle qui a le plus grand poids, et l’ajouter à M (c’està-dire M ← M ∪ {e}). Alors le résultat est un couplage de poids maximum",
        "answer": false,
        "explanation": "Cet algorithme peut ne pas garantir un couplage de poids maximum, car il ne vérifie pas les impacts globaux des ajouts d'arêtes sur le couplage.",
        "visual_explanation": false
    },    
    {
        "question": "Dans un graphe orienté, une source est-elle toujours incluse dans un couplage maximal ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Une source dans un graphe orienté peut ne pas être connectée aux autres sommets via des arêtes valides pour le couplage.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'arête ayant le poids médian dans un graphe pondéré appartient-elle toujours à un couplage de poids maximum ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Le poids médian n'a aucune garantie d'appartenir à un couplage maximal, car la priorité est donnée à maximiser la somme des poids.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Dans un graphe biparti où les sommets de chaque côté sont en nombre pair, est-il toujours possible de trouver un couplage parfait ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Un couplage parfait est possible uniquement si chaque sommet d’un côté a au moins un voisin accessible dans l’autre côté.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Peut-on utiliser un algorithme de parcours en largeur (BFS) pour trouver un couplage maximal dans un graphe biparti ?",
        "answer": true,
        "explanation": "il existe l'algorithme de Hopcroft-Karp ( pas vue en cour ) qui utilise BFS pour chercher des chemins augmentants et trouver un couplage maximal dans un graphe biparti.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un sommet isolé dans un graphe biparti peut-il être inclus dans un couplage maximal ?",
        "answer": false,
        "explanation": "Un sommet isolé, n'étant connecté à aucun autre sommet, ne peut pas être inclus dans un couplage.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme BFS (parcour en largeur) peut-il être utilisé pour trouver le plus court chemin dans un graphe non pondéré ?",
        "answer": true,
        "explanation": "BFS explore les sommets par niveau, ce qui garantit de trouver le plus court chemin en termes de nombre d'arêtes dans un graphe non pondéré.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme DFS (parcour en profondeur) est-il plus efficace que BFS pour détecter des cycles dans un graphe ?",
        "answer": true,
        "explanation": "DFS est généralement utilisé pour détecter des cycles dans un graphe, car il suit un chemin profond avant de revenir en arrière.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Kahn (tri topologique) fonctionne-t-il pour tous les graphes, même ceux qui contiennent des cycles ?",
        "answer": false,
        "explanation": "L'algorithme de Kahn ne fonctionne que pour les graphes acycliques dirigés (DAG) car il est basé sur un tri topologique.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Kosaraju (il me semble vue que en cours) peut-il être utilisé pour trouver les composantes fortement connexes dans un graphe orienté ?",
        "answer": true,
        "explanation": "L'algorithme de Kosaraju est conçu pour identifier les composantes fortement connexes dans un graphe orienté.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de BFS (parcour en largeur) peut-il traiter des graphes contenant des poids négatifs ?",
        "answer": true,
        "explanation": "BFS n'a pas de notion de poids, il peut donc être utilisé pour traiter des graphes avec des poids négatifs.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Floyd-Warshall est-il efficace pour trouver le plus court chemin entre toutes les paires de sommets dans un graphe dense ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Floyd-Warshall est particulièrement adapté aux graphes denses, car il utilise une matrice d'adjacence pour calculer les plus courts chemins entre toutes les paires.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Johnson peut-il être utilisé pour trouver le plus court chemin entre toutes les paires dans un graphe avec des poids négatifs ?",
        "answer": true,
        "explanation": "L'algorithme de Johnson (c'est comme Floyd-Warshall) est conçu pour fonctionner avec des poids négatifs en ré-échelonnant les poids pour les rendre non négatifs.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Kruskal est-il basé sur une structure d'ensemble disjoint pour trouver un arbre couvrant minimal ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Kruskal utilise une structure d'ensemble disjoint (Union-Find) pour sélectionner les arêtes de poids minimal tout en évitant les cycles.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "L'algorithme de Prim est-il plus efficace que celui de Kruskal pour un graphe dense ?",
        "answer": true,
        "explanation": "Pour les graphes denses, Prim est généralement plus efficace car il peut exploiter une structure de tas pour sélectionner les arêtes rapidement.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Un graphe G est eulérien si et seulement si G est connexe, et tout sommet de G est de degré pair?",
        "answer": true,
        "explanation": "definition du cour 9.",
        "visual_explanation": false
    },
    {
        "question": "Soit f un flot et (A, B) une s - t coupe quelconques. Alors, la valeur de f est inférieure ou égale à la capacité de la coupe ?",
        "answer": true,
        "explanation": "definition du cour 7.",
        "visual_explanation": false
    }
]