blog update 2026-02-19

Author: SeiKasahara

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@@ -104,7 +104,13 @@ LPPL 的核心洞见在于，复杂系统的突变，从来不是随机漫步（
 
 > 稳定极限环以及相应的庞加莱映射 作者 User:XaosBits at English Wikipedia，CC BY 2.5，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=732841
 
-现实世界不是封闭的。
+从流形的角度来说，在传统的时间序列流形（仅由历史负荷 $X_{hist}$ 构成）上，距离通常被定义为时间步的邻近度。
+
+$$d(x_t, x_{t+k}) \approx f(k)$$
+
+在这个流形上，测地线（Geodesic）代表着系统的惯性或平滑演化。相空间的极限环对应的是流形的测地线。
+
+但，现实世界不是封闭的。
 
 当黑天鹅事件来袭，系统不再遵循简单的周期运动。它进入了一种​混沌状态。在这个状态下，两个极其微小的协变量初始差异（比如气温 35°C 和 35.5°C），随着时间的推移，会导致电力负荷曲线的轨迹在远期来看发生巨大变化。如果只有单变量数据去预测一个非常长期的窗口，模型可能直接退化成了一个随机游走的状态，因为没有足够多的信息让模型学习。
 
@@ -123,6 +129,15 @@ LPPL 的核心洞见在于，复杂系统的突变，从来不是随机漫步（
 > 流形的一种突变
 
 也就是为什么，让模型理解造成这个状态的因素很重要，例如模型能通过Cross Attention查询到历史上的任何征兆并且显式学习到，至少比瞎猜好用。
+在 Attention 机制中，两个状态 $i$ 和 $j$ 之间的“距离”不再取决于它们在时间轴上离得有多近，而是取决于它们的 Query (未来协变量) 和 Key (历史协变量) 有多像：
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+$$Similarity(Q_{fut}, K_{hist}) \propto \exp(-\|W_{fut} - W_{hist}\|^2)$$
+
+这在几何上等价于引入了一个新的度量张量 $g_{new}$：$$ds^2 = \underbrace{\alpha \cdot dt^2}_{\text{时间距离}} + \underbrace{\beta \cdot d\mathcal{W}^2}_{\text{特征距离}}$$
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+$d\mathcal{W}^2$ (协变量部分)： 由 Cross-Attention 引入。这是关键的修正。
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+这种新的度量距离可以修正测地线上的插值依赖，在类似图上的突变点找到新的演化方向。
 
 ### 四、超越Transformer？