add 专升本 高等数学及其应用 导数与微分 函数的微分

Author: Yue-plus

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+# 函数的微分
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+## 微分的定义
+
+设函数 $y = f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量
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+$$
+\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)
+$$
+
+可表示为
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+$$
+\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)
+$$
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+其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 处是 ***可微*** 的，而 $A \Delta x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 相应于自变增量 $\Delta x$ 的 ***微分*** ，记作 $\mathrm{d} y$ ，即
+
+$$
+\mathrm{d} y = A \Delta x
+$$
+
+## 微分的几何意义
+
+// TODO:
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+## 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
+
+从函数的微分的表达式
+
+$$
+\mathrm{d} y = f'(x) \mathrm{d} x
+$$
+
+可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分，因此，可得如下的微分公式和微分运算法则。
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+### 1. 基本初等函数的微分公式
+
+由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式，为了便于对照，列表如下：
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+| 导数公式                                                             | 微分公式                                                                                    |
+| -------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------- |
+| $(x^\mu)' = \mu x^{\mu - 1} \quad (\mu \text{ 是任意常数})$          | $\mathrm{d} (x^\mu) = \mu x^{\mu - 1} \mathrm{d} x \quad (\mu \text{ 是任意常数})$          |
+| $(\sin x)' = \cos x$                                                 | $\mathrm{d} (\sin x) = \cos x \mathrm{d} x$                                                 |
+| $(\cos x)' = -\sin x$                                                | $\mathrm{d} (\cos x) = -\sin x \mathrm{d} x$                                                |
+| $(\tan x)' = \sec^2 x$                                               | $\mathrm{d} (\tan x) = \sec^2 x \mathrm{d} x$                                               |
+| $(\cot x)' = -\csc^2 x$                                              | $\mathrm{d} (\cot x) = -\csc^2 x \mathrm{d} x$                                              |
+| $(\sec x)' = \sec x \tan x$                                          | $\mathrm{d} (\sec x) = \sec x \tan x \mathrm{d} x$                                          |
+| $(\csc x)' = -\csc x \cot x$                                         | $\mathrm{d} (\csc x) = -\csc x \cot x \mathrm{d} x$                                         |
+| $(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)$              | $\mathrm{d} (a^x) = a^x \ln a \mathrm{d} x \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)$              |
+| $(e^x)' = e^x$                                                       | $\mathrm{d} (e^x) = e^x \mathrm{d} x$                                                       |
+| $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)$ | $\mathrm{d} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \mathrm{d} x \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)$ |
+| $(\ln x)' = \frac{1}{x}$                                             | $\mathrm{d} (\ln x) = \frac{1}{x} \mathrm{d} x$                                             |
+| $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$                              | $\mathrm{d} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} x$                              |
+| $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$                             | $\mathrm{d} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} x$                             |
+| $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$                                     | $\mathrm{d} (\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x$                                     |
+| $(\mathrm{arccot} \, x)' = -\frac{1}{1+x^2}$                         | $\mathrm{d} (\mathrm{arccot} \, x) = -\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x$                         |
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+### 2. 函数和、差、积、商的微分法则
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+由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则，为了便于对照，列成下表（表中 $u=u(x)$ ， $v=v(x)$都可导）。
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+| 函数和，差，积，商的求导法则                                           | 函数和，差，积，商的微分法则                                                     |
+| ---------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------- |
+| $(u \pm v)' = u' \pm v'$                                               | $\mathrm{d} (u \pm v) = du \pm dv$                                               |
+| $(Cu)' = Cu' \quad (C \text{ 是常数})$                                 | $\mathrm{d} (Cu) = Cdu \quad (C \text{ 是常数})$                                 |
+| $(uv)' = u'v + uv'$                                                    | $\mathrm{d} (uv) = vdu + udv$                                                    | 
+| $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$ | $\mathrm{d} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{vdu - udv}{v^2} \quad (v \neq 0)$ |
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+### 3. 复合函数的微分法则
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+与复合函数的求导法则相对应的复合函数的微分法则可推导如下：
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+设 $y = f(u)$ 及 $u = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 的微分为
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+\mathrm{d} y = y'_x \mathrm{d} x = f'(u) g'(x) \mathrm{d} x
+$$
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+由于 $g'(x) \mathrm{d} x = \mathrm{d} u$，所以，复合函数 $y = f[g(x)]$ 的微分公式也可以写成
+
+$$
+\mathrm{d} y = f'(u) \mathrm{d} u
+\quad \text{或} \quad
+\mathrm{d} y = y'_u \mathrm{d} u
+$$
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+由此可见，无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分形式 $\mathrm{d} y = f'(u) \mathrm{d} u$ 保持不变。
+这一性质称为 ***微分形式不变性*** 。
+这性质表示，当变换自变量时，微分形式 $\mathrm{d} y = f'(u) \mathrm{d} u$ 并不改变。
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+## 微分在近似计算中的应用
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+// TODO: