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Referencias y cosas interesantes para el proyecto

A continuación se mencionan algunas referencias y conceptos interesantes para el proyecto.

Literatura

  • Percolation, libro de Geoffrey Grimmet (1999) Disponible en: http://lib.ysu.am/open_books/417531.pdf Libro sobre teoría de la percolación desde 0. El autor es una referencia estándar en este campo.

  • Probability Theory: The Coupling Method (Coupling lectures) (2012) Disponible en: https://mathematicaster.org/teaching/lcs22/hollander_coupling.pdf Apuntes de teoría de la probabilidad de una universidad holandesa. En este caso la percolación es un ejemplo de Coupling (un método para comparar variables aleatorias). Está bien porque se basa en el libro de Geoffrey Grimmet en la parte de Teoría de la Percolación.

  • Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices (2018) Disponible en: https://arxiv.org/pdf/1806.08067 Paper breve que puede servir como referencia para la experimentación. Usan invasion percolation para buscar el umbral crítico $p_c$ (donde se produce la transición de fase) en rejillas $\mathbb{Z}^d$.

  • Percolation processes, Broadbent and Hammersley (1957) Disponible en: no encontrado con acceso no restringido Artículo original sobre los procesos de percolación

  • PAPER (MUY IMPORTANTE) - HK algorithm for estimation of percolation in square lattice using Python programing (2020) Estimación del umbral de percolación usando el algoritmo Hoshen-Kopelman (basado en union-find). Estiman este umbral cuando existe un camino entre el top y el bottom de la cuadrícula. Es lo más parecido a lo nuestro si no idéntico.

  • PAPER - A technique for the estimation of percolation thresholds in lattice systems: Application to a problem of granular flow through an orifice (2023) El método se basa en calcular las probabilidades de encontrar un clúster percolante de diferentes tipos (horizontal, vertical, etc.) en una cuadrícula finita de tamaño L. A partir de estas simulaciones numéricas, se estiman los umbrales efectivos y luego se extrapolan para obtener el p_c en el límite termodinámico (tamaño infinito). Esta técnica mejora un esquema clásico y se valida comparando con resultados previos para percolación en redes cuadradas. Finalmente, aplican la técnica para modelar transiciones de taponamiento en un silo 2D con base vibrada.

  • PAPER - Percolation for D2D Networks on Street Systems (2018) Este paper estudia la conectividad en redes D2D (device-to-device) donde los dispositivos se distribuyen aleatoriamente en sistemas de calles modelados por teselaciones Poisson-Voronoi o Poisson-Delaunay. Los dispositivos pueden comunicarse si están a una distancia menor que un umbral de conectividad. El problema se aborda como una cuestión de percolación en un grafo aleatorio subyacente, donde se analiza la intensidad crítica de dispositivos para que la red percole, es decir, para que se forme un componente gigante conectado. El estudio también compara el modelo de Poisson Boolean para áreas urbanas y rurales, mostrando que en áreas rurales la probabilidad de percolación permanece baja incluso muy por encima del umbral crítico.

  • PAPER - Understanding percolation phase transition behaviors in complex networks from the macro and meso-micro perspectives (2022) Este paper explora el comportamiento de la transición de fase en redes complejas desde dos perspectivas: macroscópica y meso-micro. Desde el punto de vista macro, se analiza cómo los sistemas de red muestran transiciones de fase de segundo orden cuando fallan y se desconectan, destacando el papel del componente gigante (la mayor parte conectada de la red). Sin embargo, también se estudia desde una perspectiva más fina (meso-micro) el impacto de los componentes de tamaño finito, que pueden influir en la conectividad de redes a gran escala. El estudio se aplica tanto a redes individuales como a redes acopladas, que pueden mostrar transiciones de fase más complejas según los mecanismos de acoplamiento. Este enfoque proporciona una visión más completa de cómo las redes se comportan ante fallos y percolación, con aplicaciones en redes adaptativas y de orden superior.

  • PAPER - On the estimation of percolation thresholds for real networks (2022) Este paper aborda la estimación del umbral de percolación (p_c) en redes reales, que tienen estructuras más complejas que los modelos de red regulares. Propone una mejora al algoritmo tradicional de message passing (difusión de mensajes), incorporando correcciones relacionadas con la independencia de variables en las ecuaciones iterativas. Usan un modelo de regresión por gradiente para predecir una corrección δs(b), que ajusta los cálculos del umbral de percolación, haciéndolos más precisos. Finalmente, muestran que sus estimaciones para los umbrales de percolación (por sitios y por aristas) son más precisas que los métodos actuales en 209 redes reales.

  • PAPER (INTERESANTE) - Percolation, Renormalization and the Quantum-Hall Transition (2001) Este paper ofrece una introducción pedagógica a la teoría de la percolación, haciendo especial énfasis en los algoritmos utilizados para estudiarla numéricamente. El enfoque principal está en el tratamiento del problema de percolación utilizando el grupo de renormalización en el espacio real, una técnica para simplificar sistemas complejos. Además, como una aplicación novedosa, el artículo revisa cómo estas ideas de renormalización se han aplicado para estudiar la transición de Hall cuántico, un fenómeno en la física de materiales.

  • PAPER - Connectivity in Two-Dimensional Lattice Networks Este paper se enfoca en el problema de conectividad dirigida en redes de cuadrículas 2D, que es una variación del problema de percolación. En lugar de estudiar la aparición de un clúster gigante en toda la red, aquí se analiza la conectividad desde una fuente a cualquier vértice siguiendo ciertas direcciones. Aunque la percolación dirigida ha sido estudiada ampliamente mediante simulaciones, este trabajo introduce una expresión analítica usando un enfoque de descomposición recursiva para resolver el problema. Estas fórmulas son aplicables a redes ad hoc como las redes móviles y vehiculares.

  • PAPER - Percolation of randomly distributed growing clusters: Finite-size scaling and critical exponents for the square lattice (2010) Este paper estudia las propiedades de percolación en un modelo de crecimiento de clústeres en una cuadrícula 2D. Se colocan "semillas" en posiciones aleatorias, y cada una crece formando clústeres hasta que dos o más clústeres se tocan, momento en el cual se detienen. El estudio revela que hay una transición de fase discontinua para concentraciones de semillas bajas, y una transición continua no trivial para valores intermedios de la concentración. Utilizando técnicas de escalado finito y simulaciones Monte Carlo, identifican el umbral de percolación y los exponentes críticos, demostrando que esta transición pertenece a una clase de universalidad distinta a la de la percolación estándar.

  • LIBRO - Introduction to Percolation Theory (1994)

  • PAPER - Interpretation of percolation in terms of infinity computations (2012) Este paper propone una nueva metodología computacional que permite trabajar con cantidades infinitas e infinitesimales utilizando un concepto llamado Infinity Computer. El enfoque se aplica a la teoría de la percolación, específicamente a la percolación por sitios y la percolación por gradiente. A diferencia de la visión tradicional, donde la transición de fase ocurre en un punto crítico, este método sugiere que la transición es un intervalo crítico que puede ser finito, infinito o infinitesimal dependiendo del "microscopio" utilizado. Además, sugiere que cerca del umbral de percolación pueden existir varios clústeres infinitos en lugar de solo uno.

  • PAPER - Modeling myosin Va liposome transport through actin filament networks reveals a percolation threshold that modulates transport properties (2021) Este paper presenta un modelo computacional simplificado para estudiar cómo los motores de miosina Va (myoVa) transportan liposomas a través de redes de filamentos de actina tridimensionales. El estudio simula el comportamiento de los liposomas (de diferentes tamaños) moviéndose en una red aleatoria de filamentos de actina, y explora cómo la densidad de filamentos afecta su transporte. A medida que la densidad de actina aumenta, los liposomas experimentan una transición de fase de percolación: pasan de un transporte dirigido en un solo filamento a un "camino aleatorio" debido a encuentros con más filamentos (generando eventos de "tira y afloja"). Esta transición está controlada por un número crítico de filamentos accesibles, Nc, que depende de la geometría de la red y del tamaño de los liposomas. El estudio sugiere que las células pueden ajustar la densidad de su red de actina y el tamaño del cargo para optimizar el transporte según sus necesidades fisiológicas.

Conceptos

  • Invasion percolation

  • Dualidad de las rejillas

  • Infinite open cluster (cómo determinamos un open clúster? Suponemos que es algo asintítico, como en los costes temporales)

  • Qué marca realmente la transición de fase que nos piden? La conectividad del grafo? Encontrar este gran clúster?

  • Un bond model puede ser reformulado como un site model pero no al revés. Los site models son más generales.

  • Elbow method (Método del codo) Nos puede servir para ver a partir de qué número de experimentaciones deberíamos parar. Usamos una métrica que mida la estabilidad de los resultados para hacer la "optimización" como puede ser la varianza:

    • Al principio, aumentar el número de experimentos reduce la varianza o mejora la estabilidad de los resultados rápidamente.

    • En algún punto, la mejora empieza a ser mínima, formando un "codo" en el gráfico. Ese es el punto donde realizar más experimentos no agrega valor significativo, porque los resultados ya son bastante consistentes.