feat: 二分讲义优化

Author: lucifer

91/binary-search.md

@@ -382,47 +382,19 @@ function binarySearchRight(nums, target) {
 
 #### 思维框架
 
-不管是寻找最左插入位置还是后面的寻找最右插入位置，我们的更新指针代码都是一样的。即：
-
-```
-l = mid + 1
-# or
-r = mid
-```
-
-> 当然也有别的方式（比如 mid 不是向下取整，而是向上取整）， 但是这样可以最小化记忆成本。
-
-有的人有疑问，这样设置结束条件会不会漏过正确的解，必然是不会的，如果更新区间代码是 r = mid - 1 还有可能错过，而 r = mid 这种代码根本就没有摒弃 r。
-
-这样描述可能不够清晰。为了探究这个问题， 我们继续往下看。
-
-以 nums = [1,3,4], target = 2 为例。我们要找的其实就是 [1,x,3,4] 中 x 所在的位置，换句话说**我们的目的就是不断收缩搜索区间到 x 位置**。
-
-- 如果 nums[mid] < x，由于 nums 是单调增的，因此 mid 一定在 x 左侧，小于等于 mid 部分一定不是最终解，我们将 mid + 1 作为新的搜索区间的左区间。
-- 如果 nums[mid] >= x，由于 nums 是单调增的，因此 mid 一定在 x 的位置或者在 x 的右侧，由于 mid 可能就在 x 的位置，所以 r = mid - 1 就可能错过了这种解，使用 r = mid 这种更新方式可避免这种情况。
-
-说得再直白一点。假设使用最左插入位置的方式查找的索引 为 i，那么应该满足不等式 nums[i] >= target。
-
-- nums = [1,3,4], target = 2 的情况 i = 1，nums[i] = 3 > 2
-- nums = [1,2,2,2,3,4], target = 2 的情况 i = 1，nums[i] = 2 = 2
-
-因此
-
-- 如果 nums[mid] 已经小于 target 了，就必然是不可能的情况，直接通过 l = mid + 1 排除
-- 否则无法排除， 使用 r = mid 即可， mid 就是我们找到的一个备胎。
+如果你将**寻找最左插入位置**看成是**寻找最左满足**大于等于 x 的值，那就可以和前面的知识产生联系，使得代码更加统一。唯一的区别点在于**前面是最左满足等于 x**，这里是**最左满足大于等于 x**。
 
 具体算法：
 
 - 首先定义搜索区间为 [left, right]，注意是左右都闭合，之后会用到这个点。
 
 > 你可以定义别的搜索区间形式，不过后面的代码也相应要调整，感兴趣的可以试试别的搜索区间。
 
-- 由于我们定义的搜索区间为 [left, right]，因此当 left <= right 的时候，搜索区间都不为空。 但由于上面提到了更新条件有一个`r = mid`，因此如果结束条件是 left <= right 则会死循环。因此结束条件是 left < right。
+- 由于我们定义的搜索区间为 [left, right]，因此当 left <= right 的时候，搜索区间都不为空。 也就是说我们的终止搜索条件为 left <= right。
 
-- 循环体内，我们不断计算 mid ，并将 nums[mid] 与 目标值比对。
-  - 如果 nums[mid] 大于等于目标值（mid 在 x 位置或者 x 的右侧）， r 也可能是目标解（等于的情况），r - 1 可能会错过解，因此我们使用 r = mid。
-  - 如果 nums[mid] 小于目标值（mid 在 x 的左侧）， mid 以及 mid 左侧都不可能是解，至少是 mid + 1 才行，因此我们使用 l = mid + 1。
-- 最后直接返回 l 或者 r 即可。（并且不需要像`最左满足条件的值`那样判断了）
+- 当 A[mid] >= x，说明找到一个备胎，我们令 r = mid - 1 将 mid 从搜索区间排除，继续看看有没有更好的备胎。
+- 当 A[mid] < x，说明 mid 根本就不是答案，直接更新 l = mid + 1，从而将 mid 从搜索区间排除。
+- 最后搜索区间的 l 就是最好的备胎，备胎转正。
 
 #### 代码模板
 
@@ -433,14 +405,11 @@ def bisect_left(nums, x):
     # 内置 api
     bisect.bisect_left(nums, x)
     # 手写
-    l, r = 0, len(nums) - 1
-    while l < r:
+    l, r = 0, len(A) - 1
+    while l <= r:
         mid = (l + r) // 2
-        if nums[mid] < x:
-            l = mid + 1
-        else:
-            r = mid
-    # 由于 l 和 r 相等，因此返回谁都无所谓。
+        if A[mid] >= x: r = mid - 1
+        else: l = mid + 1
     return l
 ```
 
@@ -450,22 +419,19 @@ def bisect_left(nums, x):
 
 #### 思维框架
 
-和`寻找最左插入位置`类似。不同的地方在于：如果有多个满足条件的值，我们返回最右侧的。 比如一个数组 nums: [1,2,2,2,3,4]，target 是 2，我们应该插入的位置是 4。
+如果你将**寻找最右插入位置**看成是**寻找最右满足**大于 x 的值，那就可以和前面的知识产生联系，使得代码更加统一。唯一的区别点在于**前面是最左满足等于 x**，这里是**最左满足大于 x**。
 
 具体算法：
 
 - 首先定义搜索区间为 [left, right]，注意是左右都闭合，之后会用到这个点。
 
 > 你可以定义别的搜索区间形式，不过后面的代码也相应要调整，感兴趣的可以试试别的搜索区间。
 
-- 由于我们定义的搜索区间为 [left, right]，因此当 left <= right 的时候，搜索区间都不为空。 但由于上面提到了更新条件有一个`r = mid`，因此如果结束条件是 left <= right 则会死循环。因此结束条件是 left < right。
-
-> 有的人有疑问，这样设置结束条件会不会漏过正确的解，其实不会。举个例子容易明白一点。 比如对于区间 [4,4]，其包含了一个元素 4，搜索区间不为空。如果我们的答案恰好是 4，会被错过么？不会，因为我们直接返回了 4。
+- 由于我们定义的搜索区间为 [left, right]，因此当 left <= right 的时候，搜索区间都不为空。 也就是说我们的终止搜索条件为 left <= right。
 
-- 循环体内，我们不断计算 mid ，并将 nums[mid] 与 目标值比对。
-  - 如果 nums[mid] 小于等于目标值， mid 以及 mid 左侧都不可能是解，因此我们使用 l = mid + 1。
-  - 如果 nums[mid] 大于目标值， r 也可能是目标解，r - 1 可能会错过解，因此我们使用 r = mid。
-- 最后直接返回 l 或者 r 即可。（并且不需要像`最左满足条件的值`那样判断了）
+- 当 A[mid] > x，说明找到一个备胎，我们令 r = mid - 1 将 mid 从搜索区间排除，继续看看有没有更好的备胎。
+- 当 A[mid] <= x，说明 mid 根本就不是答案，直接更新 l = mid + 1，从而将 mid 从搜索区间排除。
+- 最后搜索区间的 l 就是最好的备胎，备胎转正。
 
 #### 代码模板
 
@@ -477,14 +443,11 @@ def bisect_right(nums, x):
     # 内置 api
     bisect.bisect_right(nums, x)
     # 手写
-    l, r = 0, len(nums) - 1
-    while l < r:
+    l, r = 0, len(A) - 1
+    while l <= r:
         mid = (l + r) // 2
-        if nums[mid] > x:
-            r = mid
-        else:
-            l = mid + 1
-    # 由于 l 和 r 相等，因此返回谁都无所谓。
+        if A[mid] <= x: l = mid + 1
+        else: r = mid - 1
     return l
 ```