feat: $790

Author: lucifer

README.md

@@ -323,6 +323,7 @@ leetcode 题解，记录自己的 leetcode 解题之路。
 - [0718. 最长重复子数组](./problems/718.maximum-length-of-repeated-subarray.md)
 - [0754. 到达终点数字](./problems/754.reach-a-number.md)
 - [0785. 判断二分图](./problems/785.is-graph-bipartite.md)
+- [0790. 多米诺和托米诺平铺](./problems/790.domino-and-tromino-tiling.md) 🆕
 - [0799. 香槟塔](./problems/799.champagne-tower.md) 🆕
 - [0801. 使序列递增的最小交换次数](./problems/801.minimum-swaps-to-make-sequences-increasing.md) 🆕
 - [0816. 模糊坐标](./problems/816.ambiguous-coordinates.md)

SUMMARY.md

@@ -187,6 +187,7 @@
   - [0718. 最长重复子数组](./problems/718.maximum-length-of-repeated-subarray.md)
   - [0754. 到达终点数字](./problems/754.reach-a-number.md)
   - [0785. 判断二分图](./problems/785.is-graph-bipartite.md)
+  - [0790. 多米诺和托米诺平铺](./problems/790.domino-and-tromino-tiling.md) 🆕
   - [0799. 香槟塔](./problems/799.champagne-tower.md) 🆕
   - [0801. 使序列递增的最小交换次数](./problems/801.minimum-swaps-to-make-sequences-increasing.md) 🆕
   - [0816. 模糊坐标](./problems/816.ambiguous-coordinates.md)

problems/790.domino-and-tromino-tiling.md

@@ -0,0 +1,158 @@
+## 题目地址(790. 多米诺和托米诺平铺)
+
+https://leetcode-cn.com/problems/domino-and-tromino-tiling/
+
+## 题目描述
+
+```
+有两种形状的瓷砖：一种是 2x1 的多米诺形，另一种是形如 "L" 的托米诺形。两种形状都可以旋转。
+
+XX  <- 多米诺
+
+XX  <- "L" 托米诺
+X
+
+
+给定 N 的值，有多少种方法可以平铺 2 x N 的面板？返回值 mod 10^9 + 7。
+
+（平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。）
+
+示例:
+输入: 3
+输出: 5
+解释:
+下面列出了五种不同的方法，不同字母代表不同瓷砖：
+XYZ XXZ XYY XXY XYY
+XYZ YYZ XZZ XYY XXY
+
+提示：
+
+N  的范围是 [1, 1000]
+
+ 
+```
+
+## 前置知识
+
+- 动态规划
+
+## 公司
+
+- 暂无
+
+## 思路
+
+这种题目和铺瓷砖一样，这种题目基本都是动态规划可解。做这种题目的诀窍就是将所有的可能都列举出来，然后分析问题的最优子结构。最后根据子问题之间的递推关系解决问题。
+
+如果题目只有 XX 型，或者只有 L 型，实际上就很简单了。而这道题是 XX 和 L，则稍微有点难度。力扣还有一些其他更复杂度的铺瓷砖，都是给你若干瓷砖，让你刚好铺满一个形状。大家做完这道题之后可以去尝试一下其他题相关目。
+
+以这道题来说，所有可能的情况无非就是以下 6 种：
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gnqf5s4jhaj30h80qijsk.jpg)
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gnqf6033vrj30du0qswfn.jpg)
+
+而题目要求的是**刚好铺满** 2 \* N 的情况的总的可能数。
+
+如上图 1，2，3，5 可能是刚好铺满 2 _ N 的瓷砖的**最后一块砖**，换句话说 4 和 6 不能是刚好铺满 2 _ N 的最后一块瓷砖。
+
+为了方便描述，我们令 F(n) 表示刚好铺满 2 \* n 的瓷砖的总的可能数，因此题目要求的其实就是 F(n)。
+
+- 如果最后一块选择了形状 1，那么**此时**的刚好铺满 2 \* n 的瓷砖的总的可能数是 F(n-2)
+- 如果最后一块选择了形状 2，那么**此时**的刚好铺满 2 \* n 的瓷砖的总的可能数是 F(n-1)
+- 如果最后一块选择了形状 3，那么**此时**的刚好铺满 2 \* n 的瓷砖的总的可能数是 ?
+- 如果最后一块选择了形状 5，那么**此时**的刚好铺满 2 \* n 的瓷砖的总的可能数是 ?
+- 如果最后一块选择了形状 4 和 6，那么**此时**的刚好铺满 2 \* n 的瓷砖的总的可能数是 0。换句话说 4 和 6 不可能是刚好铺满的最后一块砖。
+
+虽然 4 和 6 不可能是刚好铺满的最后一块砖，但其实可以是中间状态，中间状态可以进一步转移到**刚好铺满的状态**。比如股票问题就是这样，虽然我们的最终答案不可能是买入之后，一定是卖出，但是中间的过程可以卖出，通过卖出转移到最终状态。
+
+现在的问题是如何计算：最后一块选择了形状 3 和 最后一块选择了形状 5 的总的可能数，以及 4 和 6 在什么情况下选择。实际上，我们只需要考虑选择我 3 和 5 的总的可能数就行了，其原因稍后你就知道了。
+
+为了表示所有的情况，我们需要另外一个状态定义和转移。 我们令 T(n) 表示刚好铺满 2 \* (N - 1)瓷砖，最后一列只有一块瓷砖的总的可能数。对应上图中的 4 和 6。
+
+经过这样的定义，那么就有：
+
+- 如果最后一块选择了形状 3，那么刚好铺满 2 \* (N - 1)瓷砖，最后一列只有一块瓷砖的总的可能数是 T(n -1)
+- 如果最后一块选择了形状 5，那么刚好铺满 2 \* (N - 1)瓷砖，最后一列只有一块瓷砖的总的可能数是 T(n-1)
+
+> 大家可以根据基本图形画一下试试就知道了。同时你也应该理解了 4 和 6 在什么情况下使用。
+
+根据以上的信息有如下公式:
+
+```
+F(n) = F(n-1) + F(n-2) + 2 * T(n-1)
+```
+
+由于上述等式有两个变量，因此至少需要两个这样的等式才可解。而上面的等式是 F(n) = xxx，因此一个直觉找到一个类似 T(n) = xxx 的公式。不难发现如下等式：
+
+```
+T(n) = F(n-2) + T(n-1)
+```
+
+将上面两个公式进行合并。具体来说就是：
+
+```
+F(n) = F(n-1) + F(n-2) + 2 * T(n-1)
+T(n) = F(n-2) + T(n-1) -> T(n-1) = F(n-3) + T(n-2) -> 2 * T(n-1) = 2 * F(n-3) + 2 * T(n-2)
+```
+
+进一步：
+
+```
+F(n) = F(n-1) + 2 * F(n-3) + F(n-2) + 2T(n-2) = F(n-1) + F(n-3) + F(n-3) + F(n-2) + 2T(n-2) = F(n-1) + F(n-3) + F(n-1) = 2 * F(n-1) + F(n-3)
+```
+
+至此，我们得出了状态转移方程：
+
+```
+F(n) = 2 * F(n-1) + F(n-3)
+```
+
+## 关键点
+
+- 识别最优子结构
+- 对一块瓷砖能拼成的图形进行分解，并对每一种情况进行讨论
+
+## 代码
+
+- 语言支持：Python3
+
+Python3 Code:
+
+```python
+
+class Solution:
+    def numTilings(self, N: int) -> int:
+        dp = [0] * (N + 3)
+        # f(3) = 2 * f(2) + f(0) = 2 + f(0) = 1 -> f(0) = -1
+        # f(4) = 2 * f(3) + f(1) = 2 + f(1) = 2 -> f(1) = 0
+        dp[0] = -1
+        dp[1] = 0
+        dp[2] = 1
+        # f(n) = f(n-1) + f(n-2) + 2 * T(n-1)
+        # 2 * T(n-1) = 2 * f(n-3) + 2 * T(n-2)
+        # f(n) = f(n-1) + 2 * f(n-3) + f(n-2) + 2T(n-2) = f(n-1) + f(n-3) + f(n-3) + f(n-2) + 2T(n-2) = f(n-1) + f(n-3) + f(n-1) = 2 * f(n-1) + f(n-3)
+        for i in range(3, N + 3):
+            dp[i] = 2 * dp[i-1] + dp[i-3]
+        return dp[-1] % (10 ** 9 + 7)
+
+```
+
+**复杂度分析**
+
+令 n 为数组长度。
+
+- 时间复杂度：$O(n)$
+- 空间复杂度：$O(n)$
+
+使用滚动数组优化可以将空间复杂度降低到 $O(1)$，大家可以试试。
+
+> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。
+
+力扣的小伙伴可以[关注我](https://leetcode-cn.com/u/fe-lucifer/)，这样就会第一时间收到我的动态啦~
+
+以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
+
+关注公众号力扣加加，努力用清晰直白的语言还原解题思路，并且有大量图解，手把手教你识别套路，高效刷题。
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1gfcuzagjalj30p00dwabs.jpg)