@@ -4,7 +4,7 @@ title: 电磁学公式
44icon : page
55# This control sidebar order
66order : 1
7- author : ChiChen
7+ author : Chiichen
88date : 2023-10-30
99category :
1010 - 课程笔记
1414sticky : false
1515# this page will appear in starred articles
1616star : false
17- footer :
17+ footer :
1818isOriginal : true
1919copyright : 转载请注明出处
2020---
21- ## 14章——静电场
21+
22+ ## 14 章——静电场
2223
2324### 1.库仑定律
2425
3334 \overrightarrow{P} = q\overrightarrow{l} \qquad \overrightarrow{l}\;是由负电荷指向正电荷的位矢 \\
3435 E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql}{(r^2+(l/2)^2)^{3/2}}\;r\;是轴线中垂线上一点到中点的距离\\
3536 \overrightarrow{E} = -\frac{\overrightarrow{P}}{4\pi\varepsilon_0r^3}\quad(r\gg l) \\
36- \end{array} $$
37+ \end{array}
38+ $$
39+
3740- 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
38- $$ \begin{array}{c}\overrightarrow{M}=\overrightarrow{p}\times\overrightarrow{E}\\ \overrightarrow{M}=0 \begin{cases}
39- \theta=0\;稳定平衡\\ \theta=\pi \;非稳定平衡
40- \end{cases}\\
41- \theta为力矩和电场方向的夹角
42- \end{array} $$
41+ $$
42+ \begin{array}{c}\overrightarrow{M}=\overrightarrow{p}\times\overrightarrow{E}\\\overrightarrow{M}=0 \begin{cases}
43+ \theta=0\;稳定平衡\\ \theta=\pi \;非稳定平衡
44+ \end{cases}\\
45+ \theta为力矩和电场方向的夹角
46+ \end{array}
47+ $$
4348
4449#### 细棒的电场强度
4550
@@ -69,6 +74,7 @@ x\approx0\quad E_0\approx 0\\
6974$$
7075
7176#### 圆盘的电场强度
77+
7278$$
7379\begin{array}{c}
7480E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2_0}})\\
8086### 3.高斯定理
8187
8288$$ \Phi_e=\mathop{\oint}\limits_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum^n_{i=1}q^{in} $$
89+
8390- 在真空中,通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以$\varepsilon_0$
8491
8592#### 计算场强的方法:
86- 1 . 根据叠加原理通过积分求各部分产生的电场强度之和
87- 2 . 利用高斯定理(主要解决电场强度均匀分布或者具有对称性的问题)
88- 3 . 由$\overrightarrow{E}=-gradU$计算
93+
94+ 1 . 根据叠加原理通过积分求各部分产生的电场强度之和
95+ 2 . 利用高斯定理(主要解决电场强度均匀分布或者具有对称性的问题)
96+ 3 . 由$\overrightarrow{E}=-gradU$计算
8997
9098::: info
91- 不能说可以直接忽略面外电荷,面外电荷对通量有影响,只是影响的积分总体上呈现为0
99+ 不能说可以直接忽略面外电荷,面外电荷对通量有影响,只是影响的积分总体上呈现为 0
92100:::
93101
94102### 4.电势与电势能
95103
96104- 静电场力是保守场,静电场力所做的功等于电荷电势能增量的负值
97105- 通常取无穷远处为电势零点
98- $$ \begin{array}{c}W_A=\int^\infty_Aq_0\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{l}\\ U_A=\int^\infty_A\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{l}
99- \end{array} $$
106+ $$
107+ \begin{array}{c}W_A=\int^\infty_Aq_0\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{l}\\U_A=\int^\infty_A\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{l}
108+ \end{array}
109+ $$
110+
100111#### 计算电势的方法
101- 1 . 利用$U_A=\int^\infty_A\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{l}$
102- 2 . 利用点电荷电势的叠加原理$U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$
112+
113+ 1 . 利用$U_A=\int^\infty_A\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{l}$
114+ 2 . 利用点电荷电势的叠加原理$U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$
103115
104116### 5.经典模型的电势能
105117
@@ -113,25 +125,29 @@ $$U=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(\sqrt{x^2+R^2}-x)$$
113125
114126#### 球的电势能
115127
116- $$ \begin{cases}
128+ $$
129+ \begin{cases}
117130U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\;r<R\\
118131U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\;r\geq R
119- \end{cases} $$
132+ \end{cases}
133+ $$
120134
121135#### 电偶极子的电势能
122136
123- $$ \begin{cases}
137+ $$
138+ \begin{cases}
124139\theta=0 &W_p=-p\cdot E\quad&能量最低\\
125140\theta=\pi /2 &W_p=0\\
126141\theta = \pi &W_p=p\cdot E\quad &能量最高
127- \end{cases} $$
142+ \end{cases}
143+ $$
128144
129- ## 15章 ——电介质和电容
145+ ## 15 章 ——电介质和电容
130146
131147### 1.静电平衡
132148
133149- 导体内电场强度=外电场强度+感应电荷电场强度=0
134- $$ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_0+\overrightarrow{E}^{\prime} $$
150+ $$ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_0+\overrightarrow{E}^{\prime} $$
135151- 导体内部任何一点处的电场强度为零
136152- 导体表面处的电场强度的方向都与导体表面垂直
137153- 导体表面越尖锐,聚集越多电荷,电场强度越大
@@ -144,16 +160,20 @@ $$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_0+\overrightarrow{E}^{\prime}$$
144160 $$ \overrightarrow{P}=\frac{\sum\overrightarrow{p}_i}{\Delta V}=\chi_e\varepsilon_0\overrightarrow{E}\quad\chi_e:介质的极化率 $$
145161 如果取$dS$面为电介质表面,即所有电荷的分布平面,则有$$ \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{e}_n=\sigma^{\prime}(极化电荷面密度) $$
146162 - 设$\sum q_i$是封闭曲面$S$包围的自由电荷, $q_内^{\prime}$是$S$包围的极化电荷
147- $$ \begin{array}{c}\oint\limits_S \varepsilon_o\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i+ q_内^{\prime}\\
148- \oint\limits_S (\varepsilon_o\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}) \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i
149- \end{array} $$
150- 定义电位移矢量$\overrightarrow{D}=\varepsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$ 得介质中的高斯定理:
151- $$ \oint\limits_S \overrightarrow{D} \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i $$
152- 那么对于各向同性的电介质有以下几个关系式
153- $$ \begin{array}{c}
154- \varepsilon_r=1+\chi_e\\
155- \overrightarrow{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\overrightarrow{E}=\varepsilon\overrightarrow{E}
156- \end{array} $$
163+ $$
164+ \begin{array}{c}\oint\limits_S \varepsilon_o\overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i+ q_内^{\prime}\\
165+ \oint\limits_S (\varepsilon_o\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}) \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i
166+ \end{array}
167+ $$
168+ 定义电位移矢量$\overrightarrow{D}=\varepsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}$ 得介质中的高斯定理:
169+ $$ \oint\limits_S \overrightarrow{D} \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i $$
170+ 那么对于各向同性的电介质有以下几个关系式
171+ $$
172+ \begin{array}{c}
173+ \varepsilon_r=1+\chi_e\\
174+ \overrightarrow{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\overrightarrow{E}=\varepsilon\overrightarrow{E}
175+ \end{array}
176+ $$
157177- 有介质时静电场的计算:
158178 1 . 根据介质中的高斯定理$\oint\limits_S \overrightarrow{D} \cdot d \overrightarrow{S}=\sum q_i$ 计算出电位移矢量
159179 2 . 根据$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{D}}{\varepsilon}$ 计算场强
@@ -164,28 +184,33 @@ $$\begin{array}{c}
164184 1 . 设两极板分别带电$\pm Q$
165185 2 . 求两极板间的电场强度$\overrightarrow{E}$
166186 3 . 求两极板间的电势差$U$
167- 4 . 由$C=Q/U$ 求出C
187+ 4 . 由$C=Q/U$ 求出 C
168188
169189### 4.经典模型的电容
170190
171191#### 平行平板电容器的电容
192+
172193$$ C=\frac{\varepsilon S}{d} $$
173194
174195#### 球形电容器的电容
175- $$ \begin{array}{c}C=\frac{4\pi\varepsilon R_AR_B}{R_B-R_A}\\ 当R_B\gg R_A\quad C=4\pi\varepsilon R_A\; (孤立导体球的电容)
176- \end{array} $$
196+
197+ $$
198+ \begin{array}{c}C=\frac{4\pi\varepsilon R_AR_B}{R_B-R_A}\\当R_B\gg R_A\quad C=4\pi\varepsilon R_A\;(孤立导体球的电容)
199+ \end{array}
200+ $$
177201
178202#### 圆柱形电容器(两平行柱面)的电容
203+
179204$$ C=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln \frac{R_B}{R_A}} $$
180205
181206#### 平行长直导线的电容
182207
183208- 半径为$R$的平行长直导线,中心间距为$d$,且$d\gg R$,则单位长度的电容为
184- $$ C=\frac{\pi\varepsilon}{\ln \frac{d}{R}} $$
209+ $$ C=\frac{\pi\varepsilon}{\ln \frac{d}{R}} $$
185210
186211### 5.电容的串并联
187212
188- - 串联电容的等效电容的倒数等于各电容的倒数和 $$ \frac{1}{C}=\sum \frac{1}{C_i} $$
213+ - 串联电容的等效电容的倒数等于各电容的倒数和 $$ \frac{1}{C}=\sum \frac{1}{C_i} $$
189214- 并联电容的等效电容等于各个电容之和$$ C=\sum C_i $$
190215
191216### 电场能量与密度
0 commit comments