chapter10.tex

% $Id: chapter10.tex,v 1.1 2005/03/01 10:06:08 loreti Exp $

\chapter{Le misure indirette}%
\index{misure!indirette|(}%
\label{ch:10.misind}
Misure indirette, come sappiamo, sono quelle eseguite non
sulla grandezza fisica che interessa determinare ma su altre
grandezze che siano a quest'ultima legate da una qualche
relazione funzionale; quest'ultima ci permetter\`a poi di
ricavarne il valore mediante il calcolo.

Supponiamo per semplicit\`a che queste altre grandezze
vengano misurate direttamente: gli inevitabili errori
commessi per ognuna di esse si ripercuoteranno poi
attraverso i calcoli effettuati, e si \emph{propagheranno}
fino al risultato finale; l'entit\`a dell'errore nelle
misure indirette dipender\`a dunque sia dai valori di quelli
commessi nelle misure dirette, sia dalla forma analitica
della funzione usata per il calcolo.

Consideriamo il caso del tutto generale di una qualsiasi
funzione $F$ di pi\`u variabili $ x, y, z, \ldots\, $:
ammettendo che i valori di queste variabili si possano
ottenere da misure di tipo diretto, vogliamo determinare un
algoritmo per ricavare da tali misure una stima del valore
vero di $F$; infine, nell'ipotesi che le variabili siano
anche tra loro statisticamente indipendenti, vedremo come si
pu\`o valutare l'errore collegato a tale stima.

\section{Risultato della misura}
Innanzi tutto, \`e chiaro che il valore vero $F^*$ della
grandezza $F$ \`e quello che corrisponde ai valori veri
delle variabili indipendenti da cui $F$ dipende:
\begin{equation} \label{eq:10.rimind}
  F^* = F( x^*, y^*, z^*,\ldots) \peq .
\end{equation}
Non avendo per\`o a disposizione tali valori veri, tutto
quello che possiamo fare \`e usare le migliori stime di cui
disponiamo: cio\`e, supponiamo, i valori medi di campioni di
determinazioni ripetute di tutte queste grandezze; insomma,
calcolare il valore \ob{F}\ assunto dalla funzione in
corrispondenza dei valori $\bar x, \bar y, \bar z,\ldots$
delle variabili.

Ricordiamo che il valore di una funzione di pi\`u variabili
$F$ in un qualsiasi punto si pu\`o ricavare dal valore
assunto dalla $F$ e dalle sue derivate successive in un
punto diverso, attraverso la formula dello sviluppo in serie
di Taylor:
\begin{align*}
  F(x,y,z,\ldots) &= F \left( x_0,y_0,z_0,
    \ldots\right) + && \text{(ordine zero)}
    \\[1ex]
  &+ \frac{\partial F}{\partial x} \left( x - x_0
    \right) + \frac{\partial F}{\partial y} \left(
    y - y_0 \right) +\cdots && \text{(primo
    ordine)} \\[1ex]
  &+ \frac{ \partial^2 F}{\partial x^2} \,
    \frac{\left( x - x_0 \right)^2}{2!} +\cdots
    && \text{(secondo ordine)} \\[1.5ex]
  &+ \mathcal{O}(3)
\end{align*}
(in cui per brevit\`a si \`e omesso di indicare che le
derivate parziali vanno calcolate per i valori delle
variabili $ x = x_0 $, $ y = y_0 $ e cos\`\i\ via).

Se \`e possibile trascurare i termini di ordine superiore al
primo, possiamo in particolare ricavare:
\begin{align*}
  \ob{F} &= F \left( \bar x, \bar y, \bar z,
   \ldots\right) \\[1ex]
  &\approx F \left( x^*, y^*, z^*,\ldots\right) +
    \frac{\partial F}{\partial x} \left( \bar x -
    x^* \right) + \frac{\partial F}{\partial y}
    \left( \bar y - y^* \right) + \cdots \peq .
\end{align*}
Prendendo poi il valore medio di entrambi i membri e tenendo
presente nei passaggi sia la \eqref{eq:10.rimind}, sia che
risulta $ E( \bar x - x^* ) \: = \: E(\bar x)-x^* \: \equiv
\: 0 $ in assenza di errori sistematici (e similmente per le
altre variabili), si ottiene
\begin{align*}
  E \Bigl \{ F \left( \bar x, \bar y, \bar z,
   \ldots\right) \Bigr \} &\approx F^* +
    \frac{\partial F}{\partial x} \, E \left( \bar x
    - x^* \right) + \frac{\partial F}{\partial y} \,
    E \left( \bar y - y^* \right) +\cdots \\[1ex]
  &= F^*
\end{align*}
cio\`e
\begin{equation*}
  E \left( \ob{F} \right) \approx F^*
\end{equation*}
e, in definitiva:
\begin{quote}
  \textit{In media, il valore di una funzione $F$ calcolato
    per le medie misurate delle variabili coincide col
    valore vero.}
\end{quote}
(ossia \ob{F}\ \`e una stima \emph{imparziale}%
\index{stima!imparziale}
di $F^*$).

Ricordiamo che questa conclusione \`e valida \emph{solo
  approssimativamente}, perch\'e nello sviluppo in serie di
Taylor abbiamo trascurato tutti i termini di ordine
superiore al primo; ma quali sono i limiti della validit\`a
della conclusione?  In quali casi si possono cio\`e
effettivamente considerare trascurabili i termini del
second'ordine e degli ordini superiori?

Ognuno dei termini di ordine $i$ nello sviluppo di $F$
contiene una delle derivate $i$-esime della funzione,
moltiplicata per un fattore del tipo $ ( \bar x - x^* ) $
elevato alla $i$-esima potenza e divisa per il fattoriale di
$i$; sar\`a senz'altro lecito trascurare questi termini se
le differenze tra i valori medi stimati per le variabili
indipendenti ed i loro valori veri sono piccole, in altre
parole \emph{se gli errori commessi nelle misure dirette
  sono piccoli}.

Un caso particolare \`e poi quello in cui la $F$ \`e una
funzione lineare in ognuna delle variabili da cui dipende;
in questo caso, ovviamente, tutte le derivate di ordine
successivo al primo sono identicamente nulle, e le
conclusioni precedenti sono valide \emph{esattamente}.

\section{Combinazioni lineari di misure dirette}
Supponiamo che le misure dirette delle variabili
indipendenti da cui dipende la $F$ siano esenti da errori
sistematici, e che siano pertanto distribuite secondo la
legge normale; consideriamo dapprima quelle particolari
funzioni che sono le combinazioni lineari di pi\`u
variabili:
\begin{equation*}
  F \; = \; k_1 \, x_1 + k_2 \, x_2 + k_3 \, x_3
    +\cdots \; = \; \sum \nolimits_i k_i \, x_i \peq .
\end{equation*}

Abbiamo gi\`a visto, nell'equazione \eqref{eq:5.medcol} a
pagina \pageref{eq:5.medcol}, che il valore medio di una
tale funzione \`e la combinazione lineare, con gli stessi
coefficienti, delle medie delle variabili; e, se supponiamo
inoltre che le variabili siano tutte \emph{statisticamente
  indipendenti} tra loro, sappiamo anche che la varianza di
$F$ \`e poi data (equazione \eqref{eq:5.varcol} a pagina
\pageref{eq:5.varcol}) dalla combinazione lineare delle loro
varianze con coefficienti pari ai quadrati dei rispettivi
coefficienti:
\begin{gather*}
  E(F) \; = \; \sum \nolimits_i k_i \, E ( x_i )
  \; = \; \sum \nolimits_i k_i \, x_i^*
  \; \equiv \; F^* \\
  \intertext{e}
  {\sigma_F}^2 = \sum \nolimits_i {k_i}^2 {\sigma_i}^2 \peq .
\end{gather*}

Abbiamo inoltre dimostrato, a pagina \pageref{th:8.colino},
un teorema secondo il quale una qualsiasi combinazione
lineare a coefficienti costanti di variabili casuali aventi
distribuzione normale, ed inoltre tra loro statisticamente
indipendenti, \`e anch'essa distribuita secondo la legge
normale.

Ora, sapendo che la distribuzione della $F$ \`e data dalla
funzione di Gauss, siamo anche in grado di attribuire un
significato pi\`u preciso al suo errore quadratico medio
$\sigma_F$: quello cio\`e di semiampiezza dell'intervallo,
avente centro sul valore medio $E(F) = F^*$, che contiene un
qualsiasi valore della $F$ (ed in particolare la nostra
miglior stima \ob{F}\,) con una probabilit\`a del 68\%; o,
di converso, la semiampiezza di un intervallo centrato sulla
nostra migliore stima \ob{F}\ e che contiene l'ignoto valore
vero $F^*$ con una probabilit\`a del 68\%.

In definitiva le formule precedenti risolvono il problema
delle misure indirette per quelle particolari funzioni che
sono le combinazioni lineari, permettendoci di calcolare per
esse sia il valore stimato pi\`u verosimile che l'errore, e
dandoci inoltre l'interpretazione probabilistica di questo
errore.

\section{La formula di propagazione degli errori}%
\index{propagazione degli errori, formula di|(emidx}
Ora, qualsiasi funzione di pi\`u variabili si pu\`o
considerare in prima approssimazione lineare; questo se ci
limitiamo a considerarla in un dominio di definizione
abbastanza ristretto da poter trascurare i termini di ordine
superiore al primo in uno sviluppo in serie di Taylor.  In
definitiva possiamo estendere le conclusioni del paragrafo
precedente ad una qualsiasi funzione di pi\`u variabili
\begin{multline*}
  F(x,y,z,\ldots) \; \approx \\
  F (\bar x, \bar y, \bar z,\ldots) +
  \frac{\partial F}{\partial x} \left( x - \bar x \right) +
  \frac{\partial F}{\partial y} \left( y - \bar y \right) +
  \frac{\partial F}{\partial z} \left( z - \bar z \right)
  +\cdots
\end{multline*}
per la cui varianza avremo
\begin{equation} \label{eq:10.proper}
  \boxed{ \rule[-6mm]{0mm}{14mm} \quad
    {\sigma_F}^2 \; \approx \;
    \left( \dfrac{\partial F}{\partial x}
      \right)^2 \! {\sigma_x}^2 +
    \left( \dfrac{\partial F}{\partial y}
      \right)^2 \! {\sigma_y}^2 +
    \left( \dfrac{\partial F}{\partial z}
      \right)^2 \! {\sigma_z}^2
      +\cdots \quad }
\end{equation}
(le derivate vanno calcolate per i valori $x = \bar x$, $y =
\bar y$, $z = \bar z$,\ldots\ delle variabili indipendenti).

Questa formula \`e nota sotto il nome di \emph{formula di
  propagazione degli errori}: ripetiamo che si tratta di una
formula \emph{approssimata}; che \`e valida solo se non si
commettono errori troppo grandi nelle misure dirette delle
variabili; e che presuppone che le variabili stesse siano
tra loro statisticamente indipendenti\/\footnote{Una formula
  di propagazione degli errori per variabili qualsiasi (che
  ossia non ne presupponga l'indipendenza statistica)
  verr\`a ricavata pi\`u avanti, nel paragrafo
  \ref{ch:c.proper}.}.  La formula di propagazione \`e
invece \emph{esatta} nel caso particolare (esaminato nel
paragrafo precedente) di una combinazione lineare di
variabili casuali indipendenti, caso questo nel quale tutte
le derivate parziali di ordine superiore al primo sono
identicamente nulle.%
\index{propagazione degli errori, formula di|)}%
\index{misure!indirette|)}

\section{Errore dei prodotti di potenze}%
\index{propagazione degli errori, formula di!per prodotti di potenze|(}
Applichiamo ora la formula \eqref{eq:10.proper} di
propagazione degli errori a quella particolare classe di
funzioni costituita dai prodotti di potenze delle variabili
indipendenti: cio\`e alle funzioni del tipo
\begin{equation*}
  F(x, y, z,\ldots) = K \cdot
  x^\alpha \cdot y^\beta \cdot z^\gamma\cdots \peq .
\end{equation*}

Calcoliamo innanzi tutto le derivate parziali di $F$;
risulta
\begin{displaymath}
  \left \{ \begin{array}{rcccl}
    \dfrac{\partial F}{\partial x}
      & = & K \cdot \alpha \, x^{\alpha - 1} \cdot
        y^\beta \cdot z^\gamma\cdots
      & = & \alpha \, \dfrac{F}{x} \\[3ex]
    \dfrac{\partial F}{\partial y}
      & = & K \cdot x^\alpha \cdot \beta \, y^{\beta -
        1} \cdot z^\gamma\cdots
      & = & \beta \, \dfrac{F}{y} \\[3ex]
    \cdots & & & &
  \end{array} \right.
\end{displaymath}
(ammettendo che nessuna delle variabili sia nulla; questo
implica che anche la $F$ abbia valore diverso da zero).
Introducendo questi valori delle derivate nella formula di
propagazione degli errori, avremo
\begin{align*}
  {\sigma_F}^2 &\approx
    \left( \frac{\partial F}{\partial x} \right) ^2
    \! {\sigma_x}^2 +
    \left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) ^2
    \! {\sigma_y}^2 +\cdots \\[1ex]
  &= \alpha^2 \, \frac{F^2}{x^2} \, {\sigma_x}^2 +
    \beta^2 \, \frac{F^2}{y^2} \, {\sigma_y}^2
    +\cdots
\end{align*}
ed in definitiva
\begin{equation*}
  \Biggl( \frac{\sigma_F}{ F } \Biggr) ^2
  \approx \alpha^2 \Biggl( \frac{\sigma_x}{ x }
  \Biggr) ^2 + \beta^2 \Biggl( \frac{\sigma_y}{ y
      } \Biggr) ^2 +\cdots \peq ;
\end{equation*}
relazione che permette di ricavare con semplici calcoli
l'errore relativo di $F$ dagli errori relativi commessi
nella misura delle variabili indipendenti.  Per quanto detto
in precedenza, questa relazione \`e solo una prima
approssimazione; e possiamo ritenerla valida se le variabili
indipendenti sono misurate con errori piccoli.%
\index{propagazione degli errori, formula di!per prodotti di potenze|)}

\section{Errori massimi}%
\index{errore!massimo|(}
Quando si parla di errori di misura senza specificare
null'altro, si sottintende di norma che i numeri riportati
si riferiscono ad errori quadratici medi; talvolta per\`o si
\`e in grado di indicare un intervallo all'interno del quale
si sa con assoluta certezza che deve trovarsi il valore vero
della grandezza misurata: in questi casi si pu\`o ovviamente
attribuire un errore in termini \emph{assoluti} (sia in
difetto che in eccesso) al valore indicato.  Supponendo per
semplicit\`a che i valori limite siamo simmetrici rispetto
al risultato trovato, che si potr\`a quindi ancora esprimere
nella forma
\begin{equation*}
  x = x_0 \pm \Delta x \peq ,
\end{equation*}
vogliamo ora determinare la legge secondo la quale si
propagano questi \emph{errori massimi} nelle misure
indirette.

\`E immediato riconoscere che, se $F = Kx$ e $x \in [ x_0 -
\Delta x, x_0 + \Delta x ]$, necessariamente $F$ deve
appartenere ad un intervallo di semiampiezza $\Delta F$, con
$\Delta F = |K| \, \Delta x$.  Similmente, sommando (o
sottraendo) due grandezze indipendenti di cui si conoscano
gli errori massimi, il risultato $F = x \pm y$ dovr\`a
essere compreso in un intervallo di semiampiezza $\Delta F =
\Delta x + \Delta y$.  Usando entrambe queste conclusioni,
nel caso di una combinazione lineare%
\index{propagazione degli errori, formula di!per errori massimi|(}
\begin{gather*}
  F = \sum_{i=1}^N a_i \, x_i \\
  \intertext{l'errore massimo su $F$ vale}
  \Delta F = \sum_{i=1}^N \left| a_i \right| \Delta x_i \peq
  .
\end{gather*}

Per una relazione funzionale qualsiasi
\begin{equation*}
  F = F(x_1, x_2, \ldots, x_N) \peq ,
\end{equation*}
e nei limiti in cui si possano trascurare i termini di
ordine superiore al primo in uno sviluppo in serie di
Taylor, la formula di propagazione per gli errori massimi
\`e dunque
\begin{gather*}
  \Delta F \approx \sum_{i=1}^N \left| \frac{\partial
    F}{\partial x_i} \right| \Delta x_i \peq ; \\
  \intertext{e, per i prodotti di potenze del tipo $ F = K
    \cdot x^\alpha \cdot y^\beta \cdots$,}
  \frac{\Delta F}{|F|} \approx |\alpha| \, \frac{\Delta
    x}{|x|} + |\beta| \, \frac{\Delta y}{|y|}  + \cdots \peq
  .
\end{gather*}%
\index{propagazione degli errori, formula di!per errori massimi|)}%
\index{errore!massimo|)}

\endinput