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% $Id: chapter11.tex,v 1.2 2006/11/06 10:30:15 loreti Exp $

\chapter{Stime di parametri}%
\label{ch:11.teldat}
In questo capitolo prenderemo in considerazione due speciali
tecniche di elaborazione dei dati che sono utilizzate per
stimare il valore di parametri ignoti dai quali le
distribuzioni teoriche dipendono: la media pesata di
determinazioni sperimentali aventi diversa precisione; e la
valutazione dei parametri da cui dipende l'equazione di una
curva che deve descrivere una relazione tra pi\`u variabili
interconnesse e misurate indipendentemente (curva
interpolante i dati sperimentali).

Il metodo usato per la soluzione \`e, in entrambi i casi,
quello della \emph{massima verosimiglianza} (introdotto
originariamente da Fisher\/\footnote{Sir Ronald Fisher
  nacque a Londra nel 1890 e mor\`\i\ ad Adelaide (in
  Australia) nel 1962.  \`E considerato, per l'importanza
  dei suoi lavori, uno dei fondatori della moderna
  statistica: oltre al concetto di verosimiglianza
  (\emph{likelihood} in inglese), introdusse per primo
  l'analisi delle varianze e scoperse la forma analitica
  delle funzioni di distribuzione di molte importanti
  variabili casuali; dette poi importanti contributi ai
  metodi per i piccoli campioni ed a quelli per la verifica
  delle ipotesi.}%
\index{Fisher, sir Ronald Aylmer|emidx}
nel 1921); la prima parte del capitolo riguarder\`a appunto
il problema della stima del valore dei parametri in
generale, e questo metodo in particolare.

\section{Stime e loro caratteristiche}%
\index{stime|(}%
\label{ch:11.sticar}
Supponiamo che la densit\`a di probabilit\`a $f(x;\theta)$
di una variabile casuale continua $x$ (che possa assumere
tutti i valori dell'asse reale) dipenda da un parametro
$\theta$, il cui valore vero $\theta^*$ ci sia ignoto; se si
hanno a disposizione $N$ determinazioni sperimentali
indipendenti $x_i$ della grandezza $x$, vogliamo trovare una
funzione $\bar \theta = \bar \theta(x_1, x_2,\ldots,x_N)$
che, a partire da esse, ci permetta di ricavare, nella
maniera migliore possibile, un valore numerico da attribuire
a $\theta^*$: le funzioni $\bar \theta$ di questo tipo si
chiamano appunto \emph{stime}.

Una stima \`e dunque una funzione di variabili casuali, e,
pertanto, una variabile casuale essa stessa; potremo in
conseguenza parlare del valore medio o della varianza di una
particolare stima, intendendo cos\`\i\ riferirci alle
caratteristiche della popolazione dei possibili valori
restituiti dalla stima stessa in corrispondenza di tutti i
possibili campioni che possono essere usati per calcolarla.

Nella statistica, alle stime si possono associare svariate
caratteristiche; la prima di esse (e la pi\`u importante)
\`e la \textbf{consistenza}.  Una stima si dice
\emph{consistente} quando converge (probabilisticamente) al
valore vero del parametro, ossia quando
\begin{equation*}
  \lim_{N\to\infty} \bar \theta(x_1,x_2,\ldots,x_N) \; = \;
    \theta^* \peq .
\end{equation*}
Ad esempio, il teorema di \v Ceby\v sef si pu\`o enunciare
sinteticamente affermando che ``il valore medio di un
campione \`e una stima consistente del valore medio della
popolazione''.

Una seconda caratteristica delle stime \`e la
\textbf{distorsione}: una stima si dice \emph{indistorta}, o
\emph{imparziale}, se mediamente coincide col valore vero
del parametro; insomma se
\begin{equation*}
  E ( \bar \theta ) = \theta^* \peq .
\end{equation*}
Gi\`a sappiamo, dai paragrafi \ref{ch:5.vmclc} e
\ref{ch:5.scedeqm} rispettivamente, che la media dei
campioni \`e una stima indistorta del valore medio della
popolazione; mentre la varianza del campione \`e una stima
distorta, ancorch\'e consistente, della varianza della
popolazione (a meno che non sia opportunamente corretta
moltiplicandola per un fattore $N / (N-1)$).

\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center}
    \input{stime.pstex_t}
  \end{center}
  \caption[Stime consistenti ed inconsistenti, imparziali e
  deviate]{Stime consistenti ed inconsistenti, imparziali
    e deviate.}
  \label{fig:11.stime}
\end{figure}

Nella figura \ref{fig:11.stime} sono riportati esempi di
stime consistenti ed inconsistenti, distorte ed indistorte,
per dare un'idea dell'andamento della densit\`a di
probabilit\`a delle stime stesse all'aumentare delle
dimensioni del campione.

Una terza caratteristica delle stime \`e
l'\textbf{efficienza}: diremo che una prima stima \`e pi\`u
\emph{efficiente} di una seconda se la sua varianza \`e
inferiore, e, quindi, se mediamente essa \`e pi\`u vicina al
valore centrale $E( \bar \theta)$; che coincide con
$\theta^*$ se la stima \`e anche imparziale.  Esiste un
teorema (teorema di Cram\'er--Rao)%
\index{Cram\'er--Rao, teorema di}
del quale ci occuperemo sia pi\`u avanti nel corso di questo
capitolo, sia in particolare nell'appendice
\ref{ch:e.maxlik}; questo teorema dimostra l'esistenza di un
limite inferiore per la varianza delle stime, e quindi di un
limite superiore per la loro efficienza.

Se abbiamo a disposizione, poi, $M$ stime differenti
$\theta_j$ dello stesso parametro $\theta$, ogni campione di
$N$ valori $x_i$ produrr\`a, attraverso l'applicazione di
ognuna di tali stime, $M$ diversi valori per $\theta$.  Se
ora indichiamo con $f$ la densit\`a di probabilit\`a
congiunta di questi $M$ valori, risulter\`a in generale
\begin{equation*}
  f ( \theta_1, \theta_2,\ldots,\theta_M; \theta^* ) = f^M (
    \theta_1; \theta^* ) \cdot \varphi( \theta_2,
    \theta_3,\ldots,\theta_M; \theta^* | \theta_1 )
\end{equation*}
dove con $f^M ( \theta_1; \theta^* )$ abbiamo, al solito,
indicato la funzione densit\`a di probabilit\`a marginale
della sola $\theta_1$ (ovvero la densit\`a di probabilit\`a
collegata al presentarsi di un certo valore per $\theta_1$
indipendentemente da quello ottenuto per le altre stime);
mentre $\varphi( \theta_2, \theta_3\ldots,\theta_M; \theta^*
| \theta_1 )$ \`e la densit\`a di probabilit\`a di queste
ulteriori $M-1$ stime condizionata dal valore della prima.

\index{stima!sufficiente|(emidx}%
Nel caso che $\varphi$ risulti \emph{indipendente} da
$\theta^*$, la conseguenza che da questo fatto si deduce \`e
che, una volta calcolata $\theta_1$, le altre stime
sarebbero distribuite comunque nello stesso modo per
\emph{qualunque} valore di $\theta^*$; esse non potrebbero
quindi aggiungere nulla alla conoscenza gi\`a ottenuta sul
valore del parametro $\theta$: ovverosia $\theta_1$
\emph{sfrutta tutta l'informazione} sul parametro ignoto che
\`e contenuta nei dati, ed in questo caso la stima
$\theta_1$ si dice \textbf{sufficiente}.  Non \`e detto che
una stima sufficiente per un certo parametro $\theta$
esista; ma se ne esiste una, $\bar \theta$, allora ne
esistono infinite: si pu\`o dimostrare infatti che ogni
funzione monotona in senso stretto di $\bar \theta$ gode
della stessa propriet\`a.%
\index{stima!sufficiente|)}%
\index{stime|)}

\section{La stima di massima verosimiglianza}%
\index{massima verosimiglianza, metodo della|(emidx}%
\label{ch:11.maxver}
Dato un campione di $N$ determinazioni \emph{indipendenti}
$x_i$, l'espressione
\begin{equation*}
  \prod_{i=1}^N f(x_i; \theta^*)
\end{equation*}
rappresenta la densit\`a di probabilit\`a da associare
all'evento casuale consistente nell'ottenere una determinata
$N$-pla di valori, essendo $\theta^*$ il valore del
parametro da cui la $f$ dipende.

\index{funzione!di verosimiglianza|(emidx}%
Se in questa espressione si sostituisce al valore vero (che
avevamo supposto noto) $\theta^*$ il generico valore
$\theta$; e se le $x_i$ non vengono considerate pi\`u
variabili casuali, ma costanti che sono state determinate
dalle nostre operazioni di misura, la funzione
\begin{equation} \label{eq:11.funver}
  \mathcal{L} ( x_1, x_2,\ldots, x_N; \theta ) =
    \prod_{i=1}^N f(x_i; \theta)
\end{equation}
(\emph{funzione di verosimiglianza}) rappresenta la
densit\`a di probabilit\`a da associare all'evento casuale
consistente nell'essere un certo $\theta$ il valore vero del
nostro parametro, nell'ipotesi di avere gi\`a ottenuto la
particolare $N$-pla di valori sperimentali $x_1, x_2,\ldots,
x_N$.%
\index{funzione!di verosimiglianza|)}

Il metodo della massima verosimiglianza consiste
nell'adottare, come stima del parametro $\theta$, quel
valore $\widehat \theta$ \emph{che rende massima} la
funzione di verosimiglianza \eqref{eq:11.funver}; ovvero la
soluzione delle
\begin{align} \label{eq:11.eqver}
  \frac{\de \mathcal{L}}{\de \theta} &= 0 &
  \frac{\de^2 \mathcal{L}}{\de \theta^2} &< 0
\end{align}
(nel caso che le \eqref{eq:11.eqver} abbiano pi\`u di una
soluzione, si sceglie quella che corrisponde al massimo
assoluto).

Visto che il logaritmo naturale \`e (essendo la base, $e$,
maggiore di uno) una funzione monotona strettamente
crescente dell'argomento, trovare il massimo di $\ln
\mathcal{L}$ condurrebbe ancora a tutti e soli i valori che
rendono massima $\mathcal{L}$; questo corrisponde al
sostituire (essendo $\mathcal{L} > 0$), alla prima delle
\eqref{eq:11.eqver}, l'equivalente
\begin{equation*}
  \frac{1}{\mathcal{L}} \, \frac{\de \mathcal{L}}{\de
    \theta} \; = \; \frac{\de \, ( \ln \mathcal{L} )}{\de
    \theta} \; = \; 0 \peq .
\end{equation*}

Enunciamo qui, senza dimostrarle, alcune propriet\`a
fondamentali della stima di massima verosimiglianza:
\begin{enumerate}
\item La stima di massima verosimiglianza \`e una stima
  \emph{asintoticamente consistente} al crescere della
  dimensione del campione.
\item La stima di massima verosimiglianza ha una densit\`a
  di probabilit\`a \emph{asintoticamente normale} al
  crescere della dimensione del campione.
\item La stima di massima verosimiglianza \`e
  asintoticamente, al crescere della dimensione del
  campione, anche \emph{la stima pi\`u efficiente possibile}
  (ossia quella di minima varianza).
\item Se esiste una stima sufficiente di $\theta$, essa
  pu\`o sempre essere espressa come funzione della sola
  stima di massima verosimiglianza $\widehat \theta$.
\end{enumerate}%
\index{massima verosimiglianza, metodo della|)}

Le ipotesi sotto le quali si riesce a dimostrare che la
stima di massima verosimiglianza gode asintoticamente delle
propriet\`a su dette sono estremamente generali: per la
normalit\`a basta che esistano i primi due momenti della
$f(x; \theta)$; per la consistenza e la massima efficienza
basta che $f(x; \theta)$ sia continua, dotata di derivata
prima e seconda rispetto al parametro, e che l'operazione di
integrazione rispetto a $x$ commuti con quella di
derivazione rispetto a $\theta$ (ovvero, in pratica, che il
dominio di definizione della $x$ non dipenda dal parametro).

Il teorema di Cram\'er--Rao%
\index{Cram\'er--Rao, teorema di|(}
(cui si \`e prima accennato) permette di dimostrare, sotto
ipotesi del tutto generali, che esiste \emph{un estremo
  inferiore} per le varianze delle stime \emph{imparziali}
di una qualsiasi grandezza dipendente dal parametro
$\theta$; non solo, ma che, se una stima di varianza minima
esiste, essa \emph{rende massima la funzione di
  verosimiglianza}.

Pi\`u in dettaglio: nell'ipotesi che la densit\`a di
probabilit\`a $f(x;\theta)$ sia una funzione definita in una
regione dell'asse $x$ avente estremi indipendenti dal
parametro $\theta$; che esista ovunque la derivata rispetto
a $\theta$ di $\ln f(x; \theta)$; e, infine, che esista
finito il valore medio del quadrato di questa derivata
\begin{equation*}
  E \left\{ \left[ \frac{\partial}{\partial
    \theta} \ln f(x; \theta) \right]^2 \right\} \; = \; \frac{1}{N} \cdot E
    \left\{ \left[ \frac{\partial (\ln \mathcal{L})}{\partial
    \theta} \right]^2 \right\}
\end{equation*}
il teorema di Cram\'er--Rao afferma che una \emph{qualsiasi}
stima \emph{imparziale} $\bar \theta$ di $\theta$ ha una
varianza che non pu\`o essere inferiore ad un valore
(\emph{limite di Cram\'er--Rao}) dato dalla
\begin{equation} \label{eq:11.crao1}
  \var( \bar \theta ) \;
    \ge \; \frac{1}{N \cdot E \left\{ \left[ \dfrac{\partial
    }{\partial \theta} \ln f(x; \theta) \right]^2 \right\} }
    \peq .
\end{equation}
Inoltre questo estremo inferiore viene raggiunto, e vale il
segno di uguaglianza nella \eqref{eq:11.crao1}, \emph{se e
  solo se} esiste una funzione $R(\theta)$ per la quale
risulti
\begin{equation} \label{eq:11.crao2}
  \frac{\partial (\ln \mathcal{L}) }{\partial \theta} \; = \;
    \sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial
    \theta} \ln f(x_i; \theta) \; = \; \frac{\bar
    \theta(x_1, x_2, \ldots, x_N) - \theta}{R(\theta)}
\end{equation}
e, in tal caso, la stima di minima varianza \emph{rende
anche massima la funzione di verosimiglianza}.

La condizione \eqref{eq:11.crao2} \`e assai restrittiva,
potendosi tra l'altro dimostrare che essa implica che la
densit\`a di probabilit\`a $f(x; \theta)$ deve essere una
funzione di tipo esponenziale: nel caso generale non \`e
quindi affatto certo che una stima di varianza minima
esista, essendo questo subordinato alla validit\`a della
\eqref{eq:11.crao2}.

In ogni caso la stima di massima verosimiglianza deve, come
prima detto, tendere \emph{asintoticamente} a questo
comportamento al crescere di $N$; per\`o nulla si pu\`o dire
sulla rapidit\`a di tale convergenza.  Cos\`\i, per un
numero di misure finito, non c'\`e alcuna garanzia che la
funzione di verosimiglianza abbia un solo massimo; e, se
essa ne ammette pi\`u d'uno, non esiste modo di sapere quale
di essi corrisponde (asintoticamente) alla stima di minima
varianza, n\'e esiste modo di sapere quale di questi massimi
rappresenti la stima corretta del valore vero.%
\index{Cram\'er--Rao, teorema di|)}

Come abbiamo detto, la funzione di verosimiglianza
\eqref{eq:11.funver} pu\`o essere interpretata come
densit\`a di probabilit\`a del parametro una volta che si
sia ottenuto un certo insieme di valori misurati; sfruttando
la seconda delle propriet\`a su elencate, la densit\`a di
probabilit\`a di $\theta$ deve anche essere
(asintoticamente) data da
\begin{gather}
  \mathcal{L} (\theta) = \frac{1}{\sigma_\theta \, \sqrt{2
    \pi}} \, e^{- \frac{1}{2} \! \left(
    \frac{\theta - \widehat \theta}{\sigma_\theta} \right)^2}
    \notag \\
  \intertext{quindi, nell'intorno di $\widehat \theta$, deve
    essere}
  \ln \mathcal{L} = -\ln \left( \sigma_\theta \, \sqrt{2
    \pi} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{\theta - \widehat
    \theta}{\sigma_\theta} \right)^2 \notag \\
  \intertext{e, derivando due volte rispetto al parametro,}
  \frac{\de^2 ( \ln \mathcal{L} ) }{\de \theta^2} = -
    \frac{1}{{\sigma_\theta}^2} \notag \\
  \intertext{ed infine si giunge alla}
  \var( \widehat \theta ) \; \equiv \; {\sigma_\theta}^2
    \; = \; - \frac{1}{\displaystyle \left. \frac{\de^2 (
    \ln \mathcal{L} ) }{\de \theta^2} \right|_{\theta = \widehat
    \theta}} \label{eq:11.varlik}
\end{gather}
frequentemente usata per il calcolo dell'errore della stima
di massima verosimiglianza.

\subsection{Un esempio di stima sufficiente}%
\index{stima!sufficiente|(}%
\label{ch:11.stisuf}
Supponiamo di avere un campione di $N$ determinazioni
indipendenti $x_k$ di una variabile che segua la
distribuzione di Poisson; le probabilit\`a dei differenti
valori sono date dalla \eqref{eq:8.poiss2}, e dipendono da
un unico parametro: il valore medio della distribuzione,
$\alpha$.  La funzione di verosimiglianza \`e la
\begin{align}
  \Pr(x_1, \ldots, x_N; \alpha) &=
  \frac{ \alpha^{x_1} }{ x_1 ! } \, e^{- \alpha} \cdot
  \frac{ \alpha^{x_2} }{ x_2 ! } \, e^{- \alpha} \cdots
  \frac{ \alpha^{x_N} }{ x_N ! } \, e^{- \alpha} \notag
  \\[1ex]
  &= \frac{ \alpha^{\sum_k x_k} \cdot e^{- N \alpha} }{ x_1!
    \, x_2! \cdots x_N!} \cdot \frac{ (N \bar x)! }{ (N \bar
    x)! } \notag \\[1ex]
  &= \frac{ \alpha^{ N \bar x } }{ ( N \bar x )! } \, e^{- N
    \alpha} \cdot \frac{ ( N \bar x )! }{ x_1! \, x_2!
    \cdots x_N! } \cdot \frac{ N^{N \bar x} }{ N^{N \bar x}
    } \notag \\[1ex]
  &= \left\{ \frac{ (N \alpha)^{N \bar x} }{ (N \bar x)! }
    \, e^{-N \alpha} \right\} \Biggl\{ \frac{ (N \bar x)! }{
      x_1! \, x_2! \cdots x_N! } \, \frac{ 1 }{ N^{N \bar x}
      } \Biggr\} \label{eq:11.stisuf}
\end{align}
Nei passaggi, per due volte si \`e moltiplicato e diviso per
una stessa quantit\`a non nulla: prima per $(N \bar x)!$ e
poi per $N^{N \bar x}$.

La stima di massima verosimiglianza si trova annullando la
derivata della \eqref{eq:11.stisuf}; che, a meno di un
fattore costante, \`e della forma
\begin{gather*}
  f(\alpha) = \alpha^{N \bar x} e^{- N \alpha} \\
  \intertext{per cui}
  \frac{\de f}{\de \alpha} \; = \; N \, \bar x \,
  \alpha^{N \bar x - 1} e^{- N \alpha} - N \, \alpha^{N \bar
    x} e^{- N \alpha} \; = \; N \, \alpha^{N \bar x - 1}
  e^{- N \alpha} (\bar x - \alpha) \\
  \intertext{e quindi la stima cercata \`e}
  \hat \alpha = \bar x
\end{gather*}

Il primo termine dell'espressione finale
\eqref{eq:11.stisuf} per la funzione di verosimiglianza \`e
la probabilit\`a $\Pr(S)$ che la variabile casuale
\begin{equation*}
  S \; = \; \sum_{k=1}^N x_k \; = \; N \bar x
\end{equation*}
abbia un determinato valore: $\Pr(S)$ infatti, come gi\`a
sappiamo dal paragrafo \ref{ch:8.poisson}, segue la
distribuzione di Poisson con valore medio $N \alpha$.
Notiamo anche che, avendo $N$ un valore costante noto a
priori, $\Pr(S)$ coincide con $\Pr(\bar x)$: il secondo
termine \emph{deve} quindi essere la probabilit\`a che i
dati osservati valgano $x_1, x_2, \ldots, x_N$
\emph{condizionata} dal fatto che la loro somma vale $N \bar
x$; ma, non dipendendo questo termine da $\alpha$, tale
probabilit\`a \`e la stessa qualunque sia il parametro.

Qualunque sia $\bar x$, una volta noto il suo valore le
$x_k$ sono distribuite allo stesso modo: $\bar x$ riassume
insomma tutta l'informazione contenuta nei dati, ed \`e
quindi per definizione una stima \emph{sufficiente} del
parametro.  In effetti, se la probabilit\`a dei valori $x_k$
una volta nota $\bar x$ non dipende dal parametro, questo
implica che \emph{qualunque} funzione dei dati ha
probabilit\`a (condizionata) che gode della stessa
propriet\`a.  Citiamo senza dimostrarlo, in proposito, il
seguente
\begin{quote}
  \textsc{Teorema:} \textsl{$\bar \theta$ \`e una stima
    sufficiente di $\theta$ se e solo se la funzione di
    verosimiglianza \`e fattorizzabile nella forma}
  \begin{equation*}
    \mathcal{L} (x_1, x_2, \ldots, x_N; \theta) = f(\bar
    \theta, \theta) \cdot \phi(x_1, x_2, \ldots, x_N)
  \end{equation*}
\end{quote}%
\index{stima!sufficiente|)}

\section{Media pesata}%
\label{ch:11.mepeted}
Quando si abbiano a disposizione pi\`u determinazioni
ripetute di una stessa grandezza fisica, sappiamo che da
esse si pu\`o ricavare un valore unico da usare come
risultato finale attraverso il calcolo della media
aritmetica; questa (come gi\`a anticipato senza
dimostrazione nel paragrafo \ref{ch:4.giumed}) \`e la
funzione dei dati con la distribuzione pi\`u stretta attorno
al valore vero, e ci fornisce quindi la stima pi\`u
verosimile di esso.  Per\`o questo presuppone che i dati,
essendo considerati tutti allo stesso modo nella formula,
posseggano la stessa precisione sperimentale: ad esempio che
siano stati valutati dallo stesso sperimentatore, con lo
stesso strumento e nelle stesse condizioni; in altre parole,
che le misure provengano da un'unica popolazione.

Pu\`o capitare invece di disporre di pi\`u determinazioni
della stessa grandezza fisica fatte da sperimentatori
diversi, od in condizioni sperimentali differenti: e di
voler ugualmente estrarre da queste valutazioni, affette da
differenti errori, un valore unico da usare come risultato
complessivo.

Facendo le ipotesi che tutte le misure $x_i$ siano tra loro
statisticamente indipendenti, ed inoltre affette da errori
casuali distribuiti secondo la legge di Gauss, la densit\`a
di probabilit\`a corrispondente all'evento casuale
costituito dall'osservazione degli $N$ valori $x_1,
x_2,\ldots, x_N$ si pu\`o scrivere (applicando il teorema
della probabilit\`a composta)
\begin{equation*}
  \prod_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i \sqrt{2 \pi}}
    \, e^{- \frac{1}{2} \left( \frac{x^*
    - x_i}{\sigma_i} \right) ^2}
\end{equation*}
dove $x^*$ \`e il valore vero (ignoto) di $x$, e le
$\sigma_i$ sono gli errori quadratici medi (supposti noti)
delle diverse determinazioni.

La funzione di verosimiglianza \`e la
\begin{equation*}
  \mathcal{L} (x_1, x_2,\ldots, x_N ; x) \; = \;
    \prod_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_i \sqrt{2 \pi}}
    \, e^{- \frac{1}{2} \left( \frac{x -
    x_i}{\sigma_i} \right) ^2}
\end{equation*}
(cio\`e la densit\`a di probabilit\`a di cui sopra, nella
quale il valore vero $x^*$ \`e sostituito dal parametro
variabile $x$); e ricordiamo che essa rappresenta la
densit\`a di probabilit\`a associata all'evento casuale
consistente nell'essere il numero $x$ il valore vero della
grandezza misurata, qualora di essa si siano ottenute le $N$
stime indipendenti $x_i$, di errori rispettivi $\sigma_i$,
supposte seguire la legge normale.

La stima pi\`u verosimile \`e quella che, rendendo massima
$\mathcal{L}$, individua quel numero che, sulla base delle
osservazioni disponibili, possiede la \emph{massima
  probabilit\`a} di coincidere con il valore vero: vedremo
tra poco che la soluzione \`e unica.  Prendendo il logaritmo
naturale di $\mathcal{L}$,
\begin{equation*}
  - 2 \, \ln\mathcal{L} \; = \;
  \sum_{i=1}^N \left( \frac{x - x_i}{\sigma_i}
  \right) ^2 \; + \; 2 \sum_{i=1}^N \ln \sigma_i
  \; + \; 2 N \ln \sqrt{2 \pi}
\end{equation*}
e ricordando, come prima detto, che il logaritmo naturale
\`e una funzione monotona strettamente crescente
dell'argomento, si vede che il massimo di $\mathcal{L}$
corrisponde al minimo di $-2 \, \ln \mathcal{L}$; la
determinazione del valore pi\`u verosimile di $x$ (nel caso
di errori normali) si riduce allora al problema analitico di
trovare il minimo della funzione
\begin{equation*}
  f(x) \; = \; \sum_{i=1}^{N} \left(
    \frac{ x - x_{i} }{ \sigma_{i} } \right) ^{2}
\end{equation*}
(infatti nessuno degli altri termini dipende dall'incognita
$x$).  Risolviamo il problema facendo uso del calcolo
infinitesimale:
\begin{gather*}
  \frac{\de f}{\de x} \; = \; 2 \sum_{i=1}^{N}
    \left( \frac{x - x_{i}}{ \sigma_{i} } \right)
    \frac{1}{\sigma_{i}} \; = \; 2 \left( x
    \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{ {\sigma_i}^2 }
    \; - \; \sum_{i=1}^{N} \frac{x_i}{{\sigma_i}^2}
    \right) \peq ; \\[1ex]
  \frac{\de^2 f}{\de x^2} \; = \; 2 \sum_{i=1}^{N}
    \frac{1}{ {\sigma_i}^2 } \; > \; 0 \peq .
\end{gather*}

Se per brevit\`a poniamo
\begin{gather}
  K \; = \; \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{{\sigma_i}^2}
    \notag \\
  \intertext{la condizione per l'estremante di
    $f(x)$ si scrive}
  \frac{\de f}{\de x} \; = \; 2 \left( K x -
    \sum_{i=1}^{N} \frac{x_i}{{\sigma_i}^2} \right)
    \; = \; 0 \notag \\
  \intertext{e la derivata prima di $f$ si annulla
    quando la variabile $x$ assume il valore}%
  \index{media!pesata|(emidx}
  \bar x \; = \; \frac{1}{K} \sum_{i=1}^{N}
   \frac{x_i}{{\sigma_i}^2} \peq . \label{eq:11.medpes}
\end{gather}

Il fatto che la derivata seconda sia positiva assicura poi
che si tratta effettivamente di un punto di minimo; si vede
come $\bar x$ sia una \emph{media pesata} dei valori
misurati $x_i$, ottenuta assegnando ad ognuno di essi peso
relativo inversamente proporzionale al \emph{quadrato}
dell'errore rispettivo.

Per determinare poi l'errore del risultato $ \bar x $, \`e
in questo caso possibile usare in tutta generalit\`a la
formula della propagazione degli errori: infatti $ \bar x $
\`e una particolare funzione delle variabili $x_i$, di
ognuna delle quali conosciamo per ipotesi l'errore
quadratico medio $\sigma_i$; ed inoltre dipende
\emph{linearmente} da ognuna di queste $N$ variabili, e
questo fa s\`\i\ che la formula di propagazione
\eqref{eq:10.proper} sia in questo caso \emph{esatta} e non
approssimata (dando insomma risultati sempre validi,
indipendentemente dall'entit\`a degli errori commessi).

Applichiamo direttamente l'equazione \eqref{eq:5.varcol} per
la varianza delle combinazioni lineari di variabili tra loro
indipendenti, invece della pi\`u complicata
\eqref{eq:10.proper}: $\bar x$ \`e calcolata come
combinazione lineare delle $x_i$ con coefficienti $1/\left(
  K \, {\sigma_i}^2 \right)$, e quindi avremo
\begin{gather}
  {\sigma_{\bar x}}^2 \; = \; \sum_{i=1}^N
    \left( \frac{1}{ K \, {\sigma_i}^2 }
    \right)^2 {\sigma_i}^2\; = \;
    \frac{1}{K^2} \sum_{i=1}^N \frac{1}
   {{\sigma_i}^2} \; = \; \frac{1}{K} \notag \\
  \intertext{cio\`e}
  {\sigma_{\bar x}}^2 = \frac{1} {\sum
    \limits_{i=1}^N \dfrac{1}{{\sigma_i}^2} }
    \peq . \label{eq:11.ermear}
\end{gather}

Per la osservata linearit\`a della formula, la media pesata
$\bar x$ (nelle ipotesi ammesse) \`e una variabile casuale
normale come le singole $x_i$; ed il suo errore quadratico
medio $\sigma_{\bar x}$ ha dunque l'analoga interpretazione
di semiampiezza dell'intervallo con centro in $\bar x$
avente probabilit\`a pari al 68\% di contenere il valore
vero $x^*$.

Per quanto concerne le propriet\`a della media pesata $\bar
x$ come stima del valore vero, la derivata del logaritmo
della funzione di verosimiglianza rispetto al parametro
incognito (che \`e $x$) vale
\begin{equation*}
  \frac{\de (\ln \mathcal{L}) }{\de x} \; = \; \sum_{i=1}^N
  \frac{x_i}{{\sigma_i}^2} - x \sum_{i=1}^N
  \frac{1}{{\sigma_i}^2} \; = \; K ( \bar x - x )
\end{equation*}
ed \`e soddisfatta la condizione \eqref{eq:11.crao2} sotto
la quale il teorema di Cram\'er--Rao%
\index{Cram\'er--Rao, teorema di}
(che esamineremo in dettaglio nell'appendice
\ref{ch:e.maxlik}) ci permette di affermare che la stima di
massima verosimiglianza \emph{\`e anche quella di varianza
  minima}: ovvero, tra tutte le possibili funzioni dei dati
che si potrebbero definire per stimare il valore vero $x^*$
dal campione, quella mediamente pi\`u vicina ad esso.%
\index{media!pesata|)}

\index{esame dei dati|(}%
\`E da notare come, prima di comporre tra loro
determinazioni indipendenti della stessa grandezza, sia
opportuno controllare che queste siano (entro i rispettivi
errori) tra loro \emph{compatibili}; analogamente a quanto
si fa per le misure ripetute, \`e preferibile non
considerare dati che non vadano d'accordo con gli altri
entro i limiti della pura casualit\`a.%
\index{esame dei dati|)}

\index{media!aritmetica!come stima del valore vero|(emidx}%
Il caso di $N$ misure ripetute effettuate nelle medesime
condizioni sperimentali non \`e altro che il caso
particolare in cui tutti gli errori quadratici medi
$\sigma_i$ sono uguali tra di loro: la media pesata
\eqref{eq:11.medpes} si riduce allora alla media aritmetica
\eqref{eq:4.mediar} (ed il suo errore \eqref{eq:11.ermear}
alla gi\`a nota espressione \eqref{eq:5.sbarx}).

Questo prova l'asserto del paragrafo \ref{ch:4.giumed}
(giustificazione della media); abbiamo finalmente
\emph{dimostrato} che la media aritmetica \`e il valore
\emph{pi\`u verosimile} della grandezza misurata: cio\`e
quello che ha la massima probabilit\`a di coincidere con il
valore vero sulla base del nostro campione di misure, e che
rappresenta la stima di minima varianza.%
\index{media!aritmetica!come stima del valore vero|)}

\section{Interpolazione dei dati con una curva}
Pu\`o in alcuni casi capitare di conoscere la forma
analitica della legge fisica che mette in relazione tra loro
due variabili, e di dover stimare dai dati misurati il
valore di uno o pi\`u parametri da cui tale funzione
dipende.

Ad esempio, nel moto dei corpi soggetti all'azione di una
forza costante le velocit\`a assunte in istanti successivi
dal corpo crescono linearmente rispetto ai tempi trascorsi,
secondo la nota formula $ v = v_0 + a t $; misurando in
istanti successivi del moto tempi e velocit\`a, i punti
aventi per coordinate cartesiane i valori determinati per
queste due grandezze devono disporsi approssimativamente
lungo una linea retta: e sarebbero tutti quanti esattamente
allineati se fosse possibile misurare senza commettere
errori.

In questo ultimo caso sarebbe possibile ricavare
immediatamente dal grafico il valore dell'accelerazione del
moto, che corrisponderebbe al coefficiente angolare (o
pendenza) della retta tracciata; vedremo ora come, pur
commettendo errori, sia comunque possibile ricavare una
stima sia dei valori dei parametri da cui l'equazione del
moto dipende, sia degli errori inerenti a tale valutazione.

C'\`e una qualche analogia fra questo problema e quello
delle misure indirette, nel senso che in entrambi i casi si
presuppone esistente una relazione funzionale tra pi\`u
grandezze fisiche; tuttavia, mentre in quel caso la funzione
era completamente nota e veniva usata per trovare il valore
di una di quelle grandezze una volta misurati quelli di
tutte le altre, qui si suppone di conoscere soltanto la
forma della funzione: ma sono ignoti uno o pi\`u parametri
da cui pure essa dipende, e si usano i valori osservati di
tutte le grandezze per stimare quelli dei parametri stessi.

\subsection{Interpolazione lineare per due variabili}%
\index{interpolazione lineare|(emidx}%
\label{ch:11.intlin}
Cominciamo col supporre che le variabili oggetto della
misura siano due sole, e che la legge che le mette in
relazione reciproca sia di tipo lineare:
\begin{equation*}
  y = a+bx \peq .
\end{equation*}

Supponiamo poi che siano state effettuate misure del valore
della $x$ e di quello corrispondente assunto dalla $y$ in
diverse condizioni, cos\`\i\ che si disponga in definitiva
di $N$ coppie di valori tra loro corrispondenti $(x_i,
y_i)$; abbiamo gi\`a detto che, una volta riportati sul
piano cartesiano $\{ x, y \}$ punti con queste coordinate,
essi si dovranno disporre approssimativamente lungo una
linea retta.

Ora, si pu\`o dimostrare che vale, sul piano, qualcosa di
analogo a quanto abbiamo gi\`a asserito riguardo alla media
aritmetica di misure ripetute di una stessa grandezza fisica
(cio\`e, geometricamente, su di una retta, visto che quelle
determinazioni potevano essere univocamente rappresentate da
punti su di una retta orientata); infatti
\begin{itemize}
\item Sulla base delle misure effettuate, non si pu\`o
  escludere con certezza che alcuna delle infinite rette del
  piano corrisponda a quella vera su cui le nostre
  osservazioni si disporrebbero in assenza di errori;
  tuttavia esse non appaiono tutte quante ugualmente
  verosimili, e la verosimiglianza sar\`a in qualche modo in
  relazione con la \emph{distanza complessiva} tra i nostri
  punti sperimentali e la retta stessa.
\item Nel caso particolare che siano verificate le seguenti
  ipotesi:
    \begin{enumerate}
    \item una sola delle variabili coinvolte (ad esempio la
      $y$) \`e affetta da errori;
    \item gli errori quadratici medi delle misure dei
      diversi valori di $y$ sono tutti uguali (o comunque
      non molto differenti);
    \item questi errori seguono la legge normale di
      distribuzione;
    \item le $N$ determinazioni effettuate sono tra loro
      statisticamente indipendenti;
    \end{enumerate}
    dimostreremo ora che per ``distanza complessiva'' si
    deve intendere \emph{la somma dei quadrati delle
      lunghezze dei segmenti di retta parallela all'asse $y$
      compresi tra i punti misurati e la retta esaminata}.
\end{itemize}

Infatti, detto $\sigma_y$ l'errore quadratico medio delle
$y_i$, la funzione di verosimiglianza \`e
\begin{equation*}%
\index{funzione!di verosimiglianza|(}
  \mathcal{L} (x_1, y_1, x_2, y_2,\ldots,x_N, y_N ;
    a, b ) \; = \; \prod_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_y
    \sqrt{2 \pi}} \,  e^{- \frac{1}{2}
    \left( \frac{a + b x_i - y_i}{\sigma_y} \right)
    ^2 } \peq .
\end{equation*}

Per scrivere questa espressione si \`e fatto uso di tutte le
ipotesi postulate: in particolare, il fatto che le $x_i$
siano misurate senza errore ci permette di affermare che il
valore vero assunto in corrispondenza dalla $y$ \`e $ a + b
x_i$; visto che \`e $y = a + bx$ la legge fisica che lega le
due variabili tra loro.

Questa funzione di verosimiglianza rappresenta allora la
densit\`a di probabilit\`a collegata all'evento casuale
consistente nell'essere la legge fisica che lega $x$ ad $y$
rappresentata dall'equazione $y = a + bx$, qualora si siano
ottenuti gli $N$ valori misurati $(x_i, y_i)$, e sotto le
quattro ipotesi su elencate.%
\index{funzione!di verosimiglianza|)}

I valori pi\`u verosimili del parametro saranno quelli che
rendono massima $\mathcal{L}$: vedremo ora che la soluzione
\`e unica; e, ancora, il teorema di Cram\'er--Rao%
\index{Cram\'er--Rao, teorema di}
ci permetterebbe di dimostrare che la stima, appunto, pi\`u
verosimile (la retta che corrisponde al massimo della
probabilit\`a) \`e anche la stima di minima varianza (ovvero
la pi\`u precisa possibile).  Prendendo il logaritmo
naturale di entrambi i membri, risulta
\begin{equation*}
  - 2 \, \ln\mathcal{L} \; = \;
  \frac{1}{{\sigma_y}^2} \,
  \sum_{i=1}^N \left( a + b x_i - y_i \right) ^2
  \; + \; 2 N \ln \sigma_y
  \; + \; 2 N \ln \sqrt{2 \pi} \peq .
\end{equation*}

I valori pi\`u verosimili dei parametri $a$ e $b$ sono
quelli per cui \`e massima $\mathcal{L}$, ovvero \`e minima
$- 2 \ln\mathcal{L} $: il problema dell'interpolazione
lineare dunque si riduce (se sono soddisfatte le ipotesi
citate) a quello di trovare tra le infinite rette del piano
quella che rende minima la funzione
\begin{equation*}
  f(a,b) \; =  \;\sum_{i=1}^N \Bigl[ \left( a + b x_i
    \right) - y_i \Bigr] ^{2}
\end{equation*}
(essendo tutti gli altri termini indipendenti dalle due
incognite $a$ e $b$).

L'interpretazione geometrica \`e evidente: la retta
soluzione del nostro problema \`e (come gi\`a preannunciato)
quella che rende minima la somma dei quadrati delle
distanze, misurate per\`o \emph{parallelamente all'asse
  $y$}, dall'insieme dei punti misurati; queste ``distanze''
sono anche comunemente chiamate ``residui''.%
\index{residui|emidx}
Per trovare il valore dei coefficienti dell'equazione di
tale retta, calcoliamo ora le derivate prime della funzione
$f$:
\begin{gather*}
  \frac{\partial f}{\partial a} \; = \;
    2 \sum_{i=1}^N \left( a + b x_i - y_i \right)
    \; = \; 2 \left( N a \; + \;
    b \sum_{i=1}^N x_i \; - \;
    \sum_{i=1}^N y_i \right) \peq ; \\[1ex]
  \frac{\partial f}{\partial b} \; = \;
     2 \sum_{i=1}^N \left( a + b x_i - y_i \right) x_i
     \; = \; 2 \left( a \sum_{i=1}^N x_i \; + \;
     b \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; - \;
     \sum_{i=1}^N x_i y_i \right) \peq .
\end{gather*}

Imponendo che le due derivate prime siano contemporaneamente
nulle, dovranno essere verificate le
\begin{equation} \label{eq:11.normeq}
  \left \{ \begin{array}{ccccl}
    a \cdot N & + & b \cdot \sum_i x_i &
      = & \sum_i y_i \\*[5mm]
    a \cdot \sum_i x_i & + & b \cdot \sum_i {x_i}^2
      & = & \sum_i x_i y_i
    \end{array} \right.
\end{equation}
e questo sistema di due equazioni in due incognite ammette,
come si pu\`o verificare, sempre una ed una sola soluzione,
purch\'e vi siano almeno due punti sperimentali non
coincidenti; esaminando poi le derivate seconde si
troverebbe che essa corrisponde in effetti ad un minimo.  La
soluzione \`e
\begin{equation}%
  \label{eq:11.minqua}%
  \index{minimi quadrati, formule dei|emidx}
  \left \{
    \begin{array}{ccl}
      a & = & \dfrac{1}{\Delta}
        \Bigl[ \left( \sum_{i} {x_i}^2 \right) \cdot
        \left( \sum_i y_i \right) -
        \left( \sum_i x_i \right) \cdot
        \left( \sum_i x_i y_i \right) \Bigr] \\*[7mm]
      b & = & \dfrac{1}{\Delta}
        \Bigl[ N \cdot \left( \sum_i x_i y_i \right) -
        \left( \sum_i x_i \right) \cdot
        \left( \sum_i y_i \right)
        \Bigr]
    \end{array}
  \right.
\end{equation}
in cui si \`e posto per brevit\`a
\begin{equation*}
  \Delta \; = \; N \sum \nolimits_i {x_i}^2 \: - \:
  \left( \sum \nolimits_i x_i \right) ^2
\end{equation*}
(le formule \eqref{eq:11.minqua} sono note sotto il nome di
\emph{formule dei minimi quadrati}).

Per quanto attiene al calcolo degli errori commessi nella
valutazione di $a$ e $b$ in base ai dati, osserviamo che
entrambi si ricavano da relazioni lineari in ognuna delle
variabili affette da errore che, nelle nostre ipotesi, sono
le sole $ y_i$: possiamo dunque adoperare la formula della
propagazione degli errori \eqref{eq:10.proper}, che \`e in
questo caso esatta; oppure la pi\`u semplice
\eqref{eq:5.varcol}.  Possiamo esprimere $a$ e $b$ in
funzione delle $y_i$ come
\begin{align*}
  a &= \sum_{i=1}^N a_i \, y_i &&\text{e} &
  b &= \sum_{i=1}^N b_i \, y_i
\end{align*}
una volta posto
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{array}{rcl}
      a_i & = & \displaystyle \frac{1}{\Delta} \,
        \left( \sum\nolimits_j {x_j}^2 - x_i \,
        \sum\nolimits_j x_j \right) \\[3ex]
      b_i & = & \displaystyle \frac{1}{\Delta} \left(
        N \, x_i - \sum\nolimits_j x_j \right)
    \end{array}
  \right.
\end{equation*}
e, se indichiamo con ${\sigma_y}^2$ la varianza comune a
tutte le $y_i$, si ottiene, per l'errore di $a$:

\begin{align*}
  {\sigma_a}^2 &= \sum\nolimits_i {a_i}^2 \,
    {\sigma_y}^2 \\[2ex]
  &= {\sigma_y}^2 \; \sum\nolimits_i \left[
    \frac{1}{\Delta} \left( \sum\nolimits_j {x_j}^2 -
    x_i \sum\nolimits_j x_j \right) \right] ^2 \\[2ex]
  &= \frac{{\sigma_y}^2}{\Delta^2} \; \sum\nolimits_i
    \left[ \left( \sum\nolimits_j {x_j}^2 \right) ^2 +
    {x_i}^2 \left( \sum\nolimits_j x_j \right) ^2 - 2
    \, x_i \left( \sum\nolimits_j {x_j}^2 \right)
    \left( \sum\nolimits_j x_j \right) \right]
    \\[2ex]
  &= \frac{{\sigma_y}^2}{\Delta^2} \left[ N \left(
    \sum\nolimits_j {x_j}^2 \right) ^2 \! + \left(
    \sum\nolimits_i {x_i}^2 \right) \left( \sum\nolimits_j
    x_j \right) ^2 \! - 2 \left( \sum\nolimits_j
    {x_j}^2 \right) \left( \sum\nolimits_j x_j \right) ^2
    \right] \\[2ex]
  &= \frac{{\sigma_y}^2}{\Delta^2} \left[ N \left(
    \sum\nolimits_j {x_j}^2 \right) ^2 - \left(
    \sum\nolimits_j x_j \right) ^2 \left( \sum\nolimits_j
    {x_j}^2 \right) \right] \\[2ex]
  &= \frac{{\sigma_y}^2}{\Delta^2} \left(
    \sum\nolimits_j {x_j}^2 \right) \left[ N \left(
    \sum\nolimits_j {x_j}^2 \right) - \left(
    \sum\nolimits_j x_j \right) ^2 \right] \\[2ex]
  &= {\sigma_y}^2 \; \frac{\sum_j {x_j}^2 }{\Delta} \\
\end{align*}
e, similmente, per $b$:

\begin{align*}
  {\sigma_b}^2 &= \sum\nolimits_i {b_i}^2 \,
    {\sigma_y}^2 \\[1ex]
  &= {\sigma_y}^2 \; \sum\nolimits_i \left[
    \frac{1}{\Delta} \left( N \, x_i - \sum\nolimits_j
    x_j \right) \right] ^2 \\[1ex]
  &= \frac{{\sigma_y}^2}{\Delta^2} \; \sum\nolimits_i \left[
    N^2 {x_i}^2 + \left( \sum\nolimits_j x_j \right) ^2
    - 2 \, N \, x_i \sum\nolimits_j x_j \right] \\[1ex]
  &= \frac{{\sigma_y}^2}{\Delta^2} \left[ N^2 \left(
    \sum\nolimits_i {x_i}^2 \right) + N \left(
    \sum\nolimits_j x_j \right) ^2 - 2 \, N \left(
    \sum\nolimits_j x_j \right) ^2 \right] \\[1ex]
  &= \frac{N \, {\sigma_y}^2}{\Delta^2} \left[ N
    \left( \sum\nolimits_i {x_i}^2 \right) - \left(
    \sum\nolimits_j x_j \right) ^2 \right] \\[1ex]
  &= {\sigma_y}^2 \; \frac{N}{\Delta} \peq .
\end{align*}

In definitiva, $a$ e $b$ hanno errori quadratici medi dati
dalle
\begin{equation} \label{eq:11.errab}
  \left \{ \begin{array}{ccl}
    \sigma_{a} & = & \sigma_{y} \, \sqrt{
      \dfrac{\sum \nolimits_i x_i^2}
      {\Delta} } \\*
   & & \\*
   \sigma_{b} & = & \sigma_{y} \, \sqrt{
     \dfrac{N}{\Delta} }
   \end{array} \right.
\end{equation}
ed il fatto poi che $a$ e $b$ siano funzioni lineari di
variabili che seguono la legge di Gauss ci permette ancora
di affermare che anch'esse sono distribuite secondo la legge
normale; e di attribuire cos\`\i\ ai loro errori il consueto
significato statistico.%
\index{interpolazione lineare|)}

\subsection{Stima a posteriori degli errori di misura}%
\index{errore!a posteriori|(emidx}%
\label{ch:11.fisher}
\`E da osservare come nelle formule \eqref{eq:11.minqua} dei
minimi quadrati non compaia il valore di $\sigma_y$: la
soluzione del problema dell'interpolazione lineare \`e
indipendente dall'entit\`a degli errori di misura, nel senso
che i coefficienti della retta interpolante possono essere
calcolati anche se gli errori sulle $y$ non sono noti
(purch\'e naturalmente si assuma che siano tutti uguali tra
loro).

Se non \`e a priori nota la varianza delle $y$, essa pu\`o
per\`o essere stimata a partire dai dati stessi una volta
eseguita l'interpolazione lineare; infatti gli stessi
ragionamenti fatti per le variabili casuali unidimensionali
potrebbero essere ripetuti (con le opportune modifiche) sul
piano, per giungere a risultati analoghi.

In una dimensione abbiamo a suo tempo potuto collegare
l'errore commesso alla dispersione dei dati rispetto al
\emph{valore stimato} della grandezza misurata; sul piano
\`e in effetti ancora possibile calcolare l'errore commesso,
partendo dalla dispersione dei dati misurata rispetto alla
\emph{retta stimata} che passa attraverso di essi: dati
disposti mediamente lontano da questa retta indicheranno
errori maggiori rispetto a dati ben allineati (e quindi
vicini alla retta interpolante).

In una dimensione abbiamo visto che la dispersione dei dati,
misurata dal valore medio del quadrato degli scarti rispetto
alla loro media aritmetica (nostra migliore stima per la
grandezza misurata), era sistematicamente in difetto
rispetto alla corrispondente grandezza riferita all'intera
popolazione delle misure.  Sul piano si pu\`o, analogamente,
dimostrare che il valore medio del quadrato delle distanze
dei punti misurati dalla retta nostra migliore stima \`e
ancora sistematicamente in difetto rispetto alla varianza
riferita alla popolazione delle misure ed alla retta vera
che corrisponde alla legge fisica reale che collega le due
variabili.

Cos\`\i\ come abbiamo dimostrato che, al fine di correggere
questa sottostima (in media) per le misure ripetute, occorre
dividere la somma dei quadrati degli scarti per $N-1$ invece
che per $N$, si potrebbe analogamente dimostrare che una
corretta stima dell'errore dei punti misurati si ha, in
media, dividendo l'analoga somma per $N-2$; in definitiva,
che la corretta stima di $\sigma_y$ \`e data dalla formula
\begin{equation*}
  {\sigma_y}^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^N \Bigl[
    \left( a + b x_i \right) - y_i \Bigr]^2}{N - 2} \peq .
\end{equation*}

In essa a numeratore compare la somma dei quadrati dei
residui, cio\`e delle ``distanze'' dei punti misurati $(x_i,
y_i)$ dalla retta interpolante di equazione $a+bx$ calcolate
secondo la direzione parallela all'asse delle ordinate.
Questa formula\/\footnote{Una formula equivalente (ma pi\`u
  semplice) per il calcolo di $\sigma_y$ si pu\`o trovare
  nell'equazione \eqref{eq:c.fishalt} alla pagina
  \pageref{eq:c.fishalt}.} permette una corretta stima
dell'errore dei dati interpolati, qualora sia impossibile (o
scomodo) determinarli per altra via; l'errore \`e stimato
dai residui dei dati sperimentali, ed \`e quindi
scientificamente affidabile.

Il fatto che la corretta stima dell'errore si ottenga
dividendo per $N-2$ invece che per $N$ deve essere messo in
relazione con il fatto che gli scarti, invece che rispetto
al valore vero, sono calcolati rispetto ad un valore stimato
che dipende da \emph{due} parametri, che sono a loro volta
stati preventivamente determinati sulla base dei dati
sperimentali: cio\`e i due coefficienti $a$ e $b$
dell'equazione della retta.

Nell'analogo caso della stima dell'errore quadratico medio
di una variabile casuale unidimensionale, gli scarti erano
calcolati rispetto ad un valore che, unica grandezza
necessaria, veniva preventivamente determinato sulla base
delle misure: appunto la media aritmetica.

In generale, disponendo di $N$ dati sperimentali dai quali
possiamo determinare un valore dell'errore quadratico medio
che dipende da $M$ parametri che debbano essere
preventivamente derivati dai dati stessi, la modifica da
apportare alla formula per ottenere una corretta valutazione
dell'errore della popolazione consiste nel dividere la somma
dei quadrati degli scarti per un fattore $N-M$.%
\index{errore!a posteriori|)}

\subsection{Interpolazione con una retta per l'origine}%
\index{interpolazione lineare!con una retta per l'origine|(}
Se conosciamo altri vincoli cui debba soddisfare la legge
che mette in relazione i valori delle variabili misurate $x$
e $y$, possiamo imporre che la retta corrispondente
appartenga ad un particolare sottoinsieme delle rette del
piano; ad esempio, un caso che si pu\`o presentare \`e che
la retta sia vincolata a passare per una posizione
particolare, che supporremo qui essere l'origine degli assi
coordinati.

Una generica retta per l'origine ha equazione $y=mx$;
ammesso ancora che gli errori commessi riguardino soltanto
la misura della $y$ e non quella della $x$, che tutti i vari
$y_i$ abbiano errori distribuiti secondo la legge normale e
tra loro uguali, e che le misure siano tra loro
indipendenti, il problema dell'interpolazione lineare si
riduce a trovare tra le infinite rette passanti per
l'origine quella che rende massima la funzione di
verosimiglianza
\begin{equation*}
  \mathcal{L} (x_1, y_1, x_2, y_2,\ldots,x_N, y_N ;
    m) \; = \; \prod_{i=1}^N \frac{1}{\sigma_y \,
    \sqrt{2 \pi}} \,  e^{- \frac{1}{2}
    \left( \frac{m x_i - y_i}{\sigma_y} \right)
    ^2 } \peq .
\end{equation*}

Passando al logaritmo naturale di $\mathcal{L}$, \`e facile
vedere che la soluzione ricercata \`e sempre quella che
rende minima la somma dei quadrati dei residui dai punti
misurati: che cio\`e minimizza la funzione
\begin{equation*}
  f(m) = \sum_{i=1}^N \left( m x_i - y_i \right) ^2 \peq .
\end{equation*}

La derivata prima di $f$ vale
\begin{equation*}
  \frac{\de f}{\de m} \; = \;
  2 \sum_{i=1}^N \left( m x_i - y_i \right) x_i
  \; = \; 2 \left( m \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; - \;
    \sum_{i=1}^N x_i y_i \right)
\end{equation*}
e, imponendo che essa sia nulla, l'estremante si ha per
\begin{equation*}
  m = \frac{\sum_i x_i y_i}{\sum_i {x_i}^2}
\end{equation*}
e corrisponde in effetti ad un minimo.  La legge di
propagazione degli errori \`e esatta anche in questo caso,
perch\'e $m$ \`e una combinazione lineare delle variabili
affette da errore (le $y_i$); il coefficiente di $y_i$ nella
combinazione vale
\begin{gather*}
  \frac{x_i}{\sum_k {x_k}^2} \\
  \intertext{e quindi}
  {\sigma_m}^2 \; = \; \sum_{i=1}^N \left(
    \frac{x_i}{\sum_k {x_k}^2} \right)^2
    {\sigma_y}^2 \; = \; \frac{{\sigma_y}^2}{
    \left( \sum_k {x_k}^2 \right)^2 } \,
    \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; = \; \frac{{\sigma_y}^2}
    {\sum_k {x_k}^2} \\
  \intertext{e la formula per il calcolo degli
    errori a posteriori diventa}%
  \index{errore!a posteriori}
  {\sigma_y}^2 = \frac{\sum_i \left( m x_i - y_i \right)
    ^2}{N-1}
\end{gather*}
visto che il parametro da cui l'errore quadratico medio
dipende e che deve essere stimato sulla base dei dati \`e
uno soltanto: $m$.%
\index{interpolazione lineare!con una retta per l'origine|)}

\subsection{Interpolazione lineare nel caso generale}%
\index{interpolazione lineare|(}
Le condizioni 1) e 2) sugli errori delle grandezze misurate
$x$ e $y$ date nel paragrafo \ref{ch:11.intlin} non potranno
ovviamente mai essere verificate esattamente; come ci si
deve comportare quando nemmeno in prima approssimazione le
possiamo considerare vere?

Se gli errori quadratici medi delle $y_i$ sono tra loro
diversi, non \`e pi\`u possibile raccogliere a fattore
comune $1 / \sigma^2$ nell'espressione del logaritmo della
verosimiglianza; e ciascun addendo sar\`a diviso per il
corrispondente errore $\sigma_i$.  In definitiva la retta
pi\`u verosimile si trova cercando il minimo della funzione
\begin{equation*}
  f(a,b) = \sum_{i=1}^N \left[
    \frac{ ( a + b x_i ) - y_i }{ \sigma_i } \right] ^2 \peq .
\end{equation*}

Questo avviene quando
\begin{equation*}
  \left \{ \begin{array}{ccl}
    a & = & \dfrac{1}{\Delta}
      \left[ \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{{x_i}^2}{{\sigma_i}^2} \right)
      \cdot \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{y_i}{{\sigma_i}^2} \right) -
      \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{x_i}{{\sigma_i}^2} \right)
      \cdot \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{x_i y_i}{{\sigma_i}^2}
      \right) \right] \\*[7mm]
    b & = & \dfrac{1}{\Delta}
      \left[ \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{1}{{\sigma_i}^2} \right) \cdot
      \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{x_i y_i}{{\sigma_i}^2} \right)
      - \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{x_i}{{\sigma_i}^2} \right) \cdot
      \left( \sum \nolimits_i
      \dfrac{y_i}{{\sigma_i}^2} \right)
      \right]
    \end{array} \right.
\end{equation*}
in cui si \`e posto
\begin{equation*}
  \Delta \; = \; \left( \sum \nolimits_i
    \frac{1}{{\sigma_i}^2} \right) \cdot
    \left( \sum \nolimits_i \frac{{x_i}^2}
    {{\sigma_i}^2}  \right) - \left(
    \sum\nolimits_i \frac{x_i}{{\sigma_i}^2}
    \right) ^2 \peq .
\end{equation*}

Le varianze di $a$ e di $b$ saranno poi date dalle
\begin{equation*}
  \left\{
  \begin{array}{ccl}
    {\sigma_a}^2 & = & \dfrac{1}{\Delta} \,
      \sum \nolimits_i \dfrac{{x_i}^2}{{\sigma_i}^2}
      \\*[7mm]
    {\sigma_b}^2 & = & \dfrac{1}{\Delta} \,
      \sum \nolimits_i \dfrac{1}{{\sigma_i}^2}
  \end{array}
  \right.
\end{equation*}

Si deve tuttavia osservare che per applicare questo metodo
\`e necessario conoscere, per altra via e preventivamente,
tutte le $N$ varianze ${\sigma_i}^2$.  Ci\`o pu\`o essere
molto laborioso o addirittura impossibile, e non risulta
conveniente rinunciare ad una stima unica e ragionevole
${\sigma_y}^2$ di queste varianze per tener conto di una
variazione, generalmente debole, delle $\sigma_i$ in un
intervallo limitato di valori della $x$.

Volendo tener conto dell'errore su entrambe le variabili $x$
ed $y$, non \`e generalmente possibile usare un metodo,
descritto in alcuni testi, consistente nel cercare la retta
che rende minima la somma dei quadrati delle distanze dai
punti, misurate per\`o \emph{ortogonalmente} alla retta
stessa: a prescindere dalla complicazione della soluzione di
un sistema di equazioni non lineari, resta il fatto che se
$x$ ed $y$ sono due grandezze fisiche diverse, o anche
soltanto misurate con strumenti e metodi diversi, i loro
errori quadratici medi sono generalmente differenti; mentre
la distanza sul piano attribuisce lo stesso peso agli scarti
in $x$ ed a quelli in $y$.

Per applicare questo metodo si dovrebbe conoscere, per via
indipendente, almeno il rapporto tra $\sigma_x$ e
$\sigma_y$; e rappresentare i valori misurati $( x_i , y_i
)$ non gi\`a sul piano $\{ x,y \}$, bens\`\i\ su quello
delle variabili ridotte $\{ x/\sigma_x \, , \, y/\sigma_y
\}$.

Per solito nella pratica si preferisce considerare affetta
da errore una soltanto delle variabili, ad esempio la $y$,
la scelta cadendo generalmente su quella determinata in
maniera \emph{pi\`u indiretta}, e che risente perci\`o degli
errori di tutte le altre grandezze misurate direttamente;
cos\`\i, in un diagramma velocit\`a-tempo trascorso o
velocit\`a-spazio percorso, si assumer\`a affetta da errore
la sola velocit\`a.

Un eventuale errore sulla $x$ si \emph{propagher\`a}
attraverso la relazione funzionale anche alla $y$, e, se
l'errore quadratico medio $\sigma_y$ \`e stimato dai dati
sperimentali, esso conglober\`a anche l'indeterminazione
dovuta alla $x$.

Per meglio chiarire il concetto, consideriamo la legge $v =
v(t) = v_0 + g t$ che descrive la caduta di un grave, e
pensiamo di misurare la sua velocit\`a in un certo istante:
nell'ipotesi originale $t$ sarebbe determinabile
esattamente, ma l'imprecisione nella misura delle velocit\`a
ci darebbe valori di $v$ compresi in un intervallo di
ampiezza non nulla (dipendente dall'errore quadratico medio
$\sigma_v$).

Se delle due grandezze, al contrario, fosse la velocit\`a ad
essere conoscibile esattamente, l'impossibilit\`a di
determinare con precisione l'istante $t$ in cui essa deve
essere misurata ci darebbe ugualmente valori di $v$
distribuiti in un intervallo di ampiezza non nulla (legata
stavolta a $g \cdot \sigma_t$).

Indicando, insomma, con $\sigma_x$ e $\sigma_y$ gli errori
(sempre supposti costanti) di ognuna delle determinazioni
(sempre supposte indipendenti) $x_i$ e $y_i$, la formula
dell'errore a posteriori ci permette di ricavare dai dati
una ragionevole stima non tanto del solo $\sigma_y$ quanto,
piuttosto, della combinazione (quadratica) dell'errore
intrinseco delle ordinate e di quello intrinseco delle
ascisse propagato sulle ordinate:
\begin{equation*}
  \sigma^2 \approx {\sigma_y}^2 + \left( b^* \: \sigma_x
    \right)^2
\end{equation*}
(ove $b^*$ \`e il valore vero della pendenza della retta).%
\index{interpolazione lineare|)}

\subsection{Interpolazione non lineare}
Formule analoghe a quelle trovate si possono ricavare per
risolvere il problema dell'interpolazione di curve di ordine
superiore al primo (parabole, cubiche, polinomiali in
genere) ad un insieme di dati sperimentali, sempre usando il
metodo della massima verosimiglianza.

Nel caso poi ci si trovasse di fronte ad una curva di
equazione diversa da un polinomio, in parecchi casi \`e
possibile \emph{linearizzare} la relazione cambiando
variabile: cos\`\i, ad esempio, se due grandezze hanno tra
loro una relazione di tipo esponenziale, il logaritmo
naturale ne avr\`a una di tipo lineare:
\begin{align*}
  y &= K e^{-bx} & &\Longleftrightarrow &
   \ln y \; = \; \ln K - bx \; &= \; a-bx \peq .
\end{align*}

\section{Altre applicazioni della stima di massima
   verosimiglianza}%
\index{massima verosimiglianza, metodo della|(}%
\label{ch:11.exampl}
Per concludere il capitolo, presentiamo altre tre
applicazioni del metodo della massima verosimiglianza:
la stima delle probabilit\`a ignote di un insieme di
modalit\`a esclusive ed esaurienti cui pu\`o dar luogo un
fenomeno casuale; la stima sia della media che della
varianza di una popolazione normale; e la stima del range di
una popolazione uniforme.

\subsection{Stima di probabilit\`a}
Supponiamo che un fenomeno casuale possa dare origine ad un
numero finito $M$ di eventualit\`a, ognuna delle quali sia
associata ad un valore $p_i$ ignoto della probabilit\`a; se,
eseguite $N$ prove indipendenti, indichiamo con $n_i$ la
frequenza assoluta con cui ognuna delle $M$ eventualit\`a si
\`e presentata nel corso di esse, quale \`e la stima di
massima verosimiglianza, $\widehat p_i$, per le incognite
probabilit\`a $p_i$?

La funzione di verosimiglianza \`e, visto che la generica
delle $M$ eventualit\`a, di probabilit\`a $p_i$, si \`e
presentata $n_i$ volte, data\/\footnote{A meno di un fattore
  moltiplicativo costante, corrispondente al numero di modi
  in cui $N$ oggetti si possono ripartire tra $M$ gruppi in
  modo che ogni gruppo sia composto da $n_i$ oggetti; numero
  delle \emph{partizioni ordinate}%
  \index{partizioni ordinate}
  (vedi in proposito il paragrafo \ref{ch:a.parord}).
} da
\begin{gather}
  \mathcal{L} ( \boldsymbol{n}; \boldsymbol{p} ) =
    \prod_{i=1}^M {p_i}^{n_i} \notag \\
  \intertext{(in cui abbiamo indicato sinteticamente con
    due vettori, $\boldsymbol{n}$ e $\boldsymbol{p}$,
    entrambi di dimensione $M$, l'insieme degli
    $M$ valori $n_i$ e quello degli $M$ valori $p_i$
    rispettivamente); ed il suo logaritmo da}
  \ln \mathcal{L} ( \boldsymbol{n}; \boldsymbol{p} ) =
    \sum_{i=1}^M n_i \, \ln p_i \peq . \label{eq:11.lnlipi}
\end{gather}

Il problema della ricerca del massimo della
\eqref{eq:11.lnlipi} \`e complicato dal fatto che i valori
delle $p_i$ non sono liberi, ma \emph{vincolati} dalla
condizione
\begin{equation} \label{eq:11.sumpi}
  \sum_{i=1}^M p_i = 1 \peq .
\end{equation}
Usiamo quindi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
costruendo la funzione
\begin{equation} \label{eq:11.likpro}
  f( \boldsymbol{n}; \boldsymbol{p} ) \; = \; \sum_{i=1}^M
    n_i \, \ln p_i - \lambda \left( \sum_{i=1}^M p_i - 1
    \right)
\end{equation}
e risolvendo il sistema delle $M+1$ equazioni, nelle $M+1$
incognite $p_i$ e $\lambda$, composto dalla
\eqref{eq:11.sumpi} e dalle altre $M$ ottenute derivando la
\eqref{eq:11.likpro} rispetto ad ognuna delle $p_k$:
\begin{gather*}
  \frac{\partial f}{\partial p_k} \; = \; n_k \,
    \frac{1}{p_k} - \lambda \; = \; 0 \hspace{2cm} (k = 1,
    2,\ldots, M) \peq . \\
  \intertext{Da quest'ultima si ricava}
  \widehat p_k = \frac{n_k}{\lambda} \\
  \intertext{e, sostituendo nella \eqref{eq:11.sumpi},}
  \sum_{i=1}^M \widehat p_i \; = \; \frac{1}{\lambda}
    \sum_{i=1}^M n_i \; = \; \frac{N}{\lambda} \; = \; 1
    \\
  \intertext{si ottiene}
  \lambda = N \\
  \intertext{per cui in definitiva la soluzione di massima
    verosimiglianza \`e (cosa non sorprendente) data dalle}
  \widehat p_i = \frac{n_i}{N} \peq .
\end{gather*}

\subsection{Media e varianza di una popolazione
  normale}
Abbiamo gi\`a visto nel paragrafo \ref{ch:11.mepeted} che,
\emph{ammessa nota la varianza} $\sigma^2$ di una
popolazione normale, il suo valore medio $\mu$ ha come stima
di massima verosimiglianza la media aritmetica $\bar x$ di
un campione di stime indipendenti; vogliamo ora stimare
\emph{contemporaneamente sia $\mu$ che $\sigma$} dai dati,
usando sempre il metodo della massima verosimiglianza.

La densit\`a di probabilit\`a vale
\begin{gather*}
  f( x; \mu, \sigma ) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \,
    e^{- \frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{
          \sigma } \right)^2 } \\
  \intertext{ed il suo logaritmo}
  \ln f ( x; \mu, \sigma ) \; = \; - \ln \sigma - \ln \sqrt{
    2 \pi } - \frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{ \sigma }
    \right)^2 \peq .
\end{gather*}

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza \`e
\begin{gather*}
  \ln \mathcal{L} ( \boldsymbol{x}; \mu, \sigma) \; =
    \; \sum_{i=1}^N \ln f ( x_i ; \mu, \sigma ) \\
  \intertext{e dunque}
  \ln \mathcal{L} ( \boldsymbol{x}; \mu, \sigma) \; = \; - N
    \ln \sigma - N \, \ln \sqrt{2 \pi} - \frac{1}{2 \sigma^2}
    \sum_{i=1}^N \left( x_i - \mu \right)^2 \peq ;
\end{gather*}
e le sue derivate parziali prime sono
\begin{gather*}
  \frac{ \partial }{ \partial \mu } \ln \mathcal{L} \; = \;
    \frac{1}{\sigma^2} \, \sum_{i=1}^N \left( x_i - \mu
    \right) \; = \; \frac{1}{ \sigma^2 } \left(
  \sum\limits_{i=1}^N x_i - N \mu \right) \\
  \intertext{e}
  \frac{ \partial }{ \partial \sigma } \ln \mathcal{L} \; =
    \; - \frac{N}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3} \sum_{i=1}^N
    \left( x_i - \mu \right)^2 \; = \; \frac{1}{\sigma^3} \,
    \left[ \sum_{i=1}^N \left( x_i - \mu \right)^2 - N
    \sigma^2  \right] \peq .
\end{gather*}

Il sistema ottenuto annullando le due derivate parziali
prime ha l'unica soluzione (in effetti un massimo) data da
\begin{align*}
  \widehat \mu &= \bar x = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i
   &&\text{e} &
   \widehat \sigma^2 &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( x_i
     - \widehat \mu \right)^2 \peq .
\end{align*}
Questo era gi\`a noto: entrambe le stime, come sappiamo,
sono consistenti; per\`o la seconda non \`e imparziale (ma
pu\`o essere resa tale moltiplicandola per un opportuno
fattore di correzione).

In sostanza il fatto che la varianza della popolazione abbia
un determinato valore (come assunto nel paragrafo
\ref{ch:11.mepeted}) non cambia il fatto che la nostra
migliore stima del valore medio della popolazione sia
comunque data dalla media aritmetica del campione: vedremo
poi nel paragrafo \ref{th:12.inmest} che il valore medio del
campione e la sua varianza sono variabili casuali
\emph{statisticamente indipendenti tra loro}.%
\index{media!aritmetica!e varianza}%
\index{varianza!e media aritmetica}

\subsection{Range di una popolazione uniforme}%
\index{distribuzione!uniforme!range|(}
Sia una variabile casuale $x$ distribuita uniformemente tra
un estremo inferiore noto, che senza perdere in generalit\`a
possiamo supporre sia lo zero, ed un estremo superiore
ignoto $A$; in questo caso dobbiamo innanzi tutto osservare
sia che il dominio di definizione della funzione di
frequenza $f(x)$ della $x$ \emph{dipende dal parametro} che
dobbiamo stimare, sia che $f(x)$ e la sua derivata prima
hanno dei punti di discontinuit\`a: e non possiamo in
conseguenza garantire \emph{a priori} n\'e la consistenza,
n\'e la massima efficienza asintotica del metodo usato.

Comunque, introducendo la cosiddetta \emph{funzione gradino}
(o \emph{step function}) $S(x)$, definita attraverso la
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    S(x) = 0 &\qquad(x < 0) \\[1ex]
    S(x) = 1 &\qquad(x \ge 0)
  \end{cases}
\end{equation*}
la funzione di frequenza $f(x)$ si pu\`o anche scrivere
\begin{gather*}
  f(x) \; = \; \frac{1}{A} \; S(x) \; S(A - x) \\
  \intertext{e la funzione di verosimiglianza}
  \mathcal{L}(x_1, x_2, \ldots, x_N; A) = \frac{1}{A^N}
  \; S(x_{\min}) \; S(A - x_{\max}) \peq .
\end{gather*}

Come sappiamo, ammesso noto il valore del parametro $A$ essa
rappresenta la densit\`a di probabilit\`a di ottenere gli
$N$ valori $x_i \in [-\infty , +\infty]$; se invece si
considera $A$ come l'unica variabile e si ammettono noti gli
$N$ valori $x_i$, rappresenta la densit\`a di probabilit\`a
che un dato $A$ abbia prodotto i dati osservati.  Ma in
quest'ultimo caso $S(x_{\min}) \equiv 1$, e la funzione di
verosimiglianza si riduce alla
\begin{equation} \label{eq:11.range1}
  \mathcal{L}(A) = \frac{1}{A^N} \; S(A - x_{\max})
\end{equation}
che \`e nulla per $A < x_{\max}$ e monotona strettamente
decrescente per $A \ge x_{\max}$; ed ammette quindi un unico
massimo all'estremo del dominio, che vale
\begin{equation} \label{eq:11.range2}
  \hat A = x_{\max} \peq .
\end{equation}

Valore medio e varianza della stima valgono, come gi\`a
sappiamo dal paragrafo \ref{ch:8.estremi},
\begin{gather*}
  E( \hat A ) \; = \; A^* - \frac{A^*}{N + 1} \; = \;
  \frac{N}{N + 1} \, A^* \\
  \intertext{e}
  \var( \hat A ) \; = \; \frac{N}{(N + 1)^2 \, (N + 2)} \,
  \left( A^* \right)^2
  \intertext{e quindi la stima \`e consistente, ma non
    imparziale; una stima imparziale \`e invece}
  \bar A \; = \; \frac{N + 1}{N} \, x_{\max} \; = \;
  x_{\max} \, \left( 1 + \frac{1}{N} \right) \peq ,
\end{gather*}
di varianza ovviamente superiore per un fattore $(1 +
1/N)^2$.  \`E anche ovvio, dalla forma sia della
\eqref{eq:11.range1} che della \eqref{eq:11.range2}, che
$\hat A$ \`e una stima sufficiente di $A^*$.%
\index{distribuzione!uniforme!range|)}%
\index{massima verosimiglianza, metodo della|)}

\subsection{Stima della vita media di una particella}%
\index{vita media|(}
Nel processo di decadimento di una particella instabile,
indichiamo con $\tau$ l'incognita vita media e con $t$ i
tempi (propri) di decadimento osservati; tempi che (come
sappiamo) seguono la distribuzione esponenziale:
\begin{equation*}
  f(t; \tau) = \frac{1}{\tau} \, e^{- \frac{t}{\tau} }
  \makebox[40mm]{$\Longrightarrow$}
  \begin{cases}
    E(t) = \tau \\[2ex]
    \var(t) = \tau^2
  \end{cases}
\end{equation*}
Ammettendo per semplicit\`a che l'osservazione avvenga con
una efficienza unitaria, o, in altre parole, che tutti i
decadimenti vengano osservati, la funzione di
verosimiglianza si scrive
\begin{gather*}
  \mathcal{L} \; = \; \prod_{k=1}^N f(t_k; \tau) \; = \;
  \frac{1}{\tau^N} \, e^{- \frac{1}{\tau} \sum_k t_k } \peq
  , \\
  \intertext{ed il suo logaritmo vale}
  \ln( \mathcal{L} ) \; = \; - N \ln \tau -
  \frac{1}{\tau} \sum_{k=1}^N t_k \; = \; - N \left(
    \frac{\bar t}{\tau} + \ln \tau \right) \peq . \\
  \intertext{Derivando rispetto al parametro e cercando gli
    estremanti,}
  \frac{\de \, \ln( \mathcal{L} )}{\de \tau} \; = \;
  \frac{N}{\tau^2} ( \bar t - \tau ) \; = \; 0 \peq ; \\
  \intertext{e quindi l'unico estremante della funzione di
    verosimiglianza si ha per}
  \hat \tau = \bar t \peq . \\
  \intertext{Se calcoliamo la derivata seconda,}
  \frac{\de^2 \, \ln( \mathcal{L} )}{\de \tau^2} = -
  \frac{N}{\tau^3} \left( 2 \bar t - \tau \right) \\
\end{gather*}
essa, calcolata per $t = \bar t$ \`e negativa; quindi
l'unico estremante \`e effettivamente un punto di massimo.

La soluzione di massima verosimiglianza $\hat \tau = \bar t$
\`e \emph{consistente ed imparziale} (essendo il valore medio
del campione); \emph{di varianza minima} (per il teorema di
Cram\'er--Rao); inoltre la stima \`e \emph{sufficiente}
(riassume insomma tutta l'informazione del campione).

Normalmente l'efficienza non \`e per\`o unitaria; ad esempio
il nostro rivelatore pu\`o avere dimensioni confrontabili
col cammino medio delle particelle, che possono quindi
uscirne prima di decadere.  In questo caso, visto che i
decadimenti possono essere stati osservati solo essendo
avvenuti all'interno di un intervallo compreso tra un valore
temporale minimo (eventualmente nullo) ed uno massimo (ad
esempio dipendente dalla posizione del decadimento, dalla
direzione di emissione dei suoi prodotti, dalle dimensioni
del rivelatore, \ldots) --- intervallo differente per ognuno
dei decadimenti --- dovremo costruire la funzione di
verosimiglianza considerando le probabilit\`a di
osservazione \emph{condizionate} dall'essere il decadimento
$i$-esimo avvenuto tra un certo $(t_{\min})_i$ ed un certo
$(t_{\max})_i$:
\begin{equation} \label{eq:11.taulik}
  \mathcal{L} = \prod_{i=1}^N \left[ \frac{ \frac{1}{\tau}
      e^{- \frac{t_i}{\tau}} }{ e^{-
        \frac{(t_{\min})_i}{\tau}} - e^{-
        \frac{(t_{\max})_i}{\tau}} } \right]
\end{equation}

Il denominatore della \eqref{eq:11.taulik} rappresenta
infatti la probabilit\`a di decadere tra il tempo $t_{\min}$
e quello $t_{\max}$, come \`e immediato ricavare dalla
funzione di distribuzione della densit\`a di probabilit\`a
esponenziale, che vale
\begin{gather*}
  F(t) \; = \; \int_0^t \frac{1}{\tau} \, e^{-
    \frac{x}{\tau} } \, \de x \; = \; 1 - e^{-
    \frac{t}{\tau} } \peq ; \\
  \intertext{dalla \eqref{eq:11.taulik} si ricava poi}
  \ln( \mathcal{L} ) = -N \ln \tau + \sum_{i=1}^N \left\{
    - \frac{t_i}{\tau} - \ln \left[ e^{-
        \frac{(t_{\min})_i}{\tau}} -  e^{-
        \frac{(t_{\max})_i}{\tau}} \right] \right\} \\
  \intertext{e, posto per brevit\`a}
  \varphi_i(\tau) = \frac{ (t_{\min})_i^2 \cdot e^{-
      \frac{(t_{\min})_i}{\tau}} - (t_{\max})_i^2 \cdot
    e^{- \frac{(t_{\max})_i}{\tau}}}{e^{-
      \frac{(t_{\min})_i}{\tau}} - e^{-
      \frac{(t_{\max})_i}{\tau}}} \\
  \intertext{si arriva alla}
  \frac{\de \, \ln( \mathcal{L} ) }{\de \tau} \; = \;
  \frac{1}{\tau^2} \left\{ \sum_{i=1}^N \bigl[ t_i -
    \varphi_i(\tau) \bigr] - N \tau \right\} \; = \; 0
\end{gather*}
che bisogna risolvere in modo numerico.  Non si pu\`o
inoltre in questo caso garantire che le propriet\`a
precedentemente delineate per $\hat \tau$ (consistenza,
normalit\`a, efficienza, \ldots) siano ancora valide, almeno
per $N$ finito.  Pu\`o darsi che la funzione di
verosimiglianza ammetta pi\`u di un massimo, e non si sa a
priori quale di essi converger\`a verso $\tau^*$; e, per
finire, l'errore della stima deve essere ricavato dalla
concavit\`a della funzione di verosimiglianza, supposta
approssimativamente normale.%
\index{vita media|)}

\endinput