chapter2.tex

% $Id: chapter2.tex,v 1.1 2005/03/01 10:06:08 loreti Exp $

\chapter{La misura}
Ad ogni grandezza fisica si deve, almeno in linea di
principio, poter associare un valore numerico in modo
\emph{univoco} ed \emph{oggettivo}, cio\`e riproducibile
nelle stesse condizioni da qualsiasi osservatore; valore
pari al rapporto fra la grandezza stessa e l'unit\`a di
misura per essa prescelta.

Per eseguire tale associazione dobbiamo disporre di
strumenti e metodi che ci permettano di mettere in relazione
da una parte la grandezza da misurare, e dall'altra
l'unit\`a di misura (oppure suoi multipli o sottomultipli);
e ci dicano se esse sono uguali o, altrimenti, quale delle
due \`e maggiore.

\section{Misure dirette e misure indirette}
La misura si dice \emph{diretta}%
\index{misure!dirette}
quando si confronta direttamente la grandezza misurata con
l'unit\`a di misura (\emph{campione}) o suoi multipli o
sottomultipli; come esempio, la misura di una lunghezza
mediante un regolo graduato \`e una misura diretta.

\`E una misura diretta anche quella effettuata mediante
l'uso di \emph{strumenti pretarati} (ad esempio la misura
della temperatura mediante un termometro), che si basa sulla
propriet\`a dello strumento di reagire sempre nella stessa
maniera quando viene sottoposto alla medesima
sollecitazione.

Misure \emph{indirette}%
\index{misure!indirette}
sono invece quelle in cui non si misura la grandezza che
interessa, ma altre che risultino ad essa legate da una
qualche relazione funzionale; cos\`\i\ la velocit\`a di
un'automobile pu\`o essere valutata sia direttamente (con il
tachimetro) sia indirettamente: misurando spazi percorsi e
tempi impiegati, dai quali si risale poi alla velocit\`a
(media) con una operazione matematica.

\section{Le unit\`a di misura}%
\index{unit\`a di misura!fondamentali e derivate|(}
Le grandezze fisiche si sogliono dividere in
\emph{fondamentali} e \emph{derivate}.  Con il primo di
questi nomi si indicavano, originariamente, quelle grandezze
misurate con strumenti e metodi sperimentali che
richiedessero un confronto diretto con un campione, scelto
arbitrariamente come unit\`a di misura; mentre le seconde
venivano generalmente determinate in modo indiretto,
ovverosia (come appena detto) attraverso misure dirette di
altre grandezze ad esse legate da relazioni algebriche: che
permettevano non solo di calcolarne i valori, ma ne
fissavano nel contempo anche le unit\`a di misura.

In questo modo si sono definiti vari sistemi di misura
coerenti, come il Sistema Internazionale%
\index{Sistema Internazionale}
(\textbf{SI}) attualmente in uso: esso assume come grandezze
fondamentali lunghezza, massa, tempo, intensit\`a di
corrente elettrica, temperatura, intensit\`a luminosa e
quantit\`a di materia; con le rispettive unit\`a metro,
chilogrammo, secondo, Amp\`ere, grado Kelvin, candela e
mole.  Le unit\`a per la misura delle altre grandezze sono
poi univocamente determinate dalle relazioni algebriche che
le legano a quelle fondamentali.

\index{dimensioni (delle grandezze fisiche)|(}%
Se ciascuna unit\`a fondamentale viene ridotta di un certo
fattore, il valore della grandezza espresso nelle nuove
unit\`a dovr\`a essere moltiplicato per un prodotto di
potenze dei medesimi fattori.  Cos\`\i, per restare
nell'ambito della meccanica, se riduciamo l'unit\`a di
lunghezza di un fattore $L$, l'unit\`a di massa di un
fattore $M$ e quella di tempo di un fattore $T$, ed il
valore di una grandezza fisica ne risultasse in conseguenza
moltiplicato per
\begin{equation*}
  L^\lambda \, M^\mu \, T^\tau \peq ,
\end{equation*}
si dir\`a che la grandezza in questione ha le
\emph{dimensioni} di una lunghezza elevata alla potenza
$\lambda$ per una massa elevata alla potenza $\mu$ per un
tempo elevato alla potenza $\tau$.

Pensiamo alla velocit\`a (media) di un corpo in movimento,
che \`e definita come il rapporto tra lo spazio da esso
percorso in un certo intervallo di tempo e la durata di tale
intervallo: ed \`e dunque una grandezza derivata.  Una volta
scelte le unit\`a di misura delle lunghezze e dei tempi (per
esempio il metro ed il secondo), l'unit\`a di misura delle
velocit\`a risulta fissata univocamente (metro al secondo).

Se si alterano ad esempio l'unit\`a di lunghezza
moltiplicandola per un fattore $1 / L = 1000$ (chilometro),
quella di tempo moltiplicandola per un fattore $1 / T =
3600$ (ora) e quella di massa moltiplicandola per un fattore
$1 / M = 1000$ (tonnellata), il valore di qualunque
velocit\`a nella nuova unit\`a (chilometro all'ora)
risulter\`a alterato rispetto al precedente di un fattore
\begin{equation*}
  L^1 M^0 T^{-1} = L T^{-1}
\end{equation*}
e si dice pertanto che le dimensioni fisiche di una
velocit\`a sono quelle di una lunghezza divisa per un tempo.

Come altro esempio si consideri l'energia cinetica di un
corpo, definita come il lavoro compiuto dalla forza che si
deve applicare per arrestarlo; e che \`e pari numericamente
alla met\`a del prodotto della massa per il quadrato della
velocit\`a del corpo stesso:
\begin{equation*}
  K = \frac{1}{2} \, m v^2 \peq .
\end{equation*}

Essa \`e pertanto una grandezza derivata, la cui unit\`a di
misura nel Sistema Internazionale \`e l'energia cinetica di
un corpo avente massa di 2\un{Kg} ed in moto traslatorio con
velocit\`a di 1\un{m/s} (unit\`a detta \emph{joule}).
Passando al nuovo sistema di unit\`a prima definito (assai
inconsueto per un'energia), il valore di $K$ risulta
moltiplicato per il fattore $M^1 L^2 T^{-2}$; si dice dunque
che un'energia ha le dimensioni di una massa, moltiplicata
per il quadrato di una lunghezza e divisa per il quadrato di
un tempo.

Queste propriet\`a di trasformazione sono legate alla
cosiddetta \emph{analisi dimensionale} ed alla
\emph{similitudine meccanica}, argomenti che esulano da
questo corso.%
\index{dimensioni (delle grandezze fisiche)|)}
Basti qui osservare che il numero di unit\`a indipendenti
non coincide necessariamente con quello delle grandezze
assunte come ``fondamentali''; cos\`\i\ l'angolo piano e
l'angolo solido sono entrambi privi di dimensioni in termini
di grandezze fisiche fondamentali, e come tali dovrebbero
avere come unit\`a di misura derivata ($1\un{m} / 1\un{m}$ e
rispettivamente $1\un{m^2} / 1\un{m^2}$) lo stesso ``numero
puro'' 1, mentre esistono per essi due diverse unit\`a: il
radiante e lo steradiante, quasi essi avessero dimensioni
proprie e distinte.

N\'e vi \`e alcunch\'e di necessario nella scelta delle
grandezze fondamentali quale si \`e venuta configurando
storicamente nel Sistema Internazionale, potendosi definire
un sistema coerente anche con l'assegnazione di valori
convenzionali alle costanti universali delle leggi fisiche
(come proposto agli inizi del secolo da
Max Planck):%
\index{Planck, Max Karl Ernst Ludwig}
cos\`\i\ un sistema di unit\`a ``naturali''%
\index{unit\`a di misura!naturali}
si potrebbe fondare, in linea di principio, ponendo uguali
ad 1 la velocit\`a della luce nel vuoto, il quanto d'azione
(o costante di Planck), la costante di gravitazione
universale, la costante di Boltzmann ed il quanto elementare
di carica elettrica (ovverosia la carica dell'elettrone).
Ma, a parte considerazioni di opportunit\`a e consuetudine,
ci\`o che determina in ultima analisi fino a che punto si
possa tradurre in pratica un simile programma, e quali
grandezze siano quindi da considerare fondamentali, \`e la
riproducibilit\`a dei campioni e la precisione con cui \`e
possibile il confronto diretto tra grandezze omogenee.

\`E emblematica a questo riguardo la storia dell'evoluzione
delle unit\`a di misura delle lunghezze: queste anticamente
erano riferite a parti del corpo umano quali il braccio, il
cubito (gi\`a usato dagli Egizi), il piede e la larghezza
del pollice; ovvero delle medie di tali lunghezze su di un
numero limitato di individui.  L'ovvio vantaggio di una
simile definizione \`e la disponibilit\`a del campione in
ogni tempo e luogo; l'altrettanto ovvio svantaggio \`e la
grande variabilit\`a del campione stesso, donde il ricorso
dapprima a valori medi ed infine a campioni artificiali
costruiti con materiali e accorgimenti che garantissero una
minima variabilit\`a della loro lunghezza, col tempo e con
le condizioni esterne pi\`u o meno controllabili.

Cos\`\i, dopo la parentesi illuministica che port\`o
all'adozione della quarantamilionesima parte del meridiano
terrestre quale unit\`a di lunghezza (metro), e fino al
1960, il metro campione fu la distanza tra due tacche
tracciate su di un'opportuna sezione di una sbarra costruita
usando una lega metallica molto stabile; tuttavia le
alterazioni spontanee della struttura microcristallina della
sbarra fanno s\`\i\ che diversi campioni, aventi la medesima
lunghezza alla costruzione, presentino con l'andar del tempo
differenze apprezzabili dai moderni metodi di misura.
Inoltre l'uso di metodi ottici interferenziali fin\`\i \
per consentire un confronto pi\`u preciso delle lunghezze, e
condusse nel 1960 (come suggerito da Babinet gi\`a nel
1829!) a svincolare la definizione del metro dalla
necessit\`a di un supporto materiale macroscopico, col porlo
uguale a $1 \updot 650 \updot 763.73$ volte l'effettivo
campione: cio\`e la lunghezza d'onda nel vuoto della luce
emessa, in opportune condizioni, da una sorgente atomica
(riga arancione dell'isotopo del Kripton $^{86}
\makebox{Kr}$).

L'ulteriore rapido sviluppo della tecnologia, con l'avvento
di laser molto stabili e di misure accuratissime delle
distanze planetarie col metodo del radar, ha condotto
recentemente (1984) ad una nuova definizione del metro, come
distanza percorsa nel vuoto dalla luce in una determinata
frazione ($1 / 299 \updot 792 \updot 458$) dell'unit\`a di
tempo (secondo); il che equivale ad assumere un valore
convenzionale per il campione di velocit\`a (la velocit\`a
della luce nel vuoto) ed a ridurre la misura della lunghezza
fondamentale ad una misura di tempo.  \`E implicita nella
definizione anche la fiducia nell'indipendenza della
velocit\`a della luce nel vuoto sia dal sistema di
riferimento dell'osservatore che dal ``tipo'' di luce
(frequenza, stato di polarizzazione e cos\`\i\ via); ipotesi
queste che sono necessarie conseguenze delle moderne teorie
della fisica.

Le misure di lunghezza hanno dunque percorso l'intero arco
evolutivo, ed appare evidente come la complessa realt\`a
metrologica odierna non sia pi\`u riflessa esattamente nella
classificazione tradizionale di grandezze ``fondamentali'' e
``derivate''.  Infatti la velocit\`a assume ora in un certo
senso il ruolo di grandezza fondamentale, e tuttavia una
velocit\`a non si misura praticamente mai per confronto
diretto col campione (la velocit\`a della luce nel vuoto);
per converso le lunghezze sono spesso ancora oggi misurate
per confronto con campioni, ma la lunghezza del campione
primario (il metro) \`e a sua volta determinata da una
misura di tempo.

Per quanto riguarda l'unit\`a di durata temporale, essa fu
svincolata da un supporto macroscopico (il moto diurno della
terra o i moti planetari) nel 1964 con l'adozione di un
campione di frequenza atomico (in termini imprecisi il
cosiddetto ``orologio atomico al Cesio''), assegnando il
valore convenzionale di $9 \updot 192 \updot 631 \updot 770$
cicli al secondo (hertz) alla frequenza della radiazione
elettromagnetica emessa in una particolare transizione tra
due stati quantici dell'atomo di $^{133} \makebox{Cs}$.

Questa definizione del minuto secondo consente il confronto
di intervalli di tempo con un errore
relativo\/\footnote{Vedi il paragrafo \ref{ch:2.errel} alla
  fine del corrente capitolo.} inferiore ad una parte su
$10^{13}$.  Se si considera che il quanto d'azione $\hbar$,
che \`e la costante universale della meccanica (quantistica)
determinata con maggior precisione dopo la velocit\`a della
luce nel vuoto e che sia da essa indipendente, \`e noto
soltanto con una incertezza dell'ordine di 0.2 parti per
milione\/\footnote{Attualmente (2004), l'errore relativo sul
  valore comunemente usato di $\hbar$ (e che vale $1.054
  \updot 571 \updot 68 \times 10^{-34} \un{J s}$) \`e di
  $1.7 \times 10^{-7}$.}, si comprende quale iato si
dovrebbe colmare per portare a compimento il programma di
Planck anche con il tempo, cos\`\i\ come lo si \`e
realizzato per la lunghezza.

Ad uno stadio ancora meno avanzato \`e giunta l'evoluzione
delle misure di massa, il cui campione \`e tuttora
costituito da un particolare oggetto macroscopico detto
``chilogrammo-campione''.  Anche qui la precisione con cui
si possono confrontare le masse supera di vari ordini di
grandezza quella con cui \`e nota la costante di
gravitazione universale, cui l'attribuzione di un valore
convenzionale consentirebbe di ridurre le misure di massa a
quelle di tempo e di lunghezza.%
\index{unit\`a di misura!fondamentali e derivate|)}

\section{Gli strumenti di misura}%
\index{strumenti di misura|(}
Lo strumento di misura \`e un apparato che permette il
confronto tra la grandezza misurata e l'unit\`a prescelta.
Esso \`e costituito da un oggetto sensibile in qualche modo
alla grandezza da misurare, che si pu\`o chiamare
\emph{rivelatore}; eventualmente da un dispositivo
\emph{trasduttore}, che traduce le variazioni della
grandezza caratteristica del rivelatore in quelle di
un'altra grandezza pi\`u facilmente accessibile allo
sperimentatore; e da un dispositivo \emph{indicatore} che
presenta il risultato della misura ai sensi (generalmente
alla vista) dello sperimentatore: o direttamente o mediante
una registrazione, grafica o di altro genere.

Cos\`\i\ in un \emph{calibro}, strumento per la misura di
spessori, il rivelatore \`e costituito dalla ganascia mobile
col cursore ad essa solidale, e che pu\`o scorrere nella
guida facente corpo unico con la ganascia fissa; mentre
l'elemento indicatore \`e costituito dalla scala graduata in
millimetri tracciata sulla guida e dal segno di fede inciso
sul cursore, a sua volta generalmente collegato ad una scala
graduata ausiliaria (\emph{nonio}) per la lettura delle
frazioni di millimetro.  La grandezza letta sulla scala \`e
qui direttamente lo spessore oggetto della misura.

In un \emph{termometro} a liquido l'elemento sensibile alla
temperatura \`e il liquido contenuto nel bulbo; esso funge
almeno in parte anche da trasduttore, perch\'e la
propriet\`a termometrica che viene usata \`e il volume del
rivelatore stesso.  Il tubo capillare a sezione costante
traduce le variazioni di volume del rivelatore in variazioni
di lunghezza della colonna di liquido ivi contenuta; il
menisco che separa il liquido dal suo vapore nel capillare
funge da indicatore, assieme con la scala tracciata sulla
superficie esterna del tubo stesso o sopra un regolo ad essa
solidale.  La grandezza letta sulla scala \`e la distanza
del menisco da un segno di riferimento che pu\`o essere
messa in corrispondenza con la temperatura per mezzo di una
tabella di conversione; oppure, pi\`u spesso e comodamente,
le temperature corrispondenti sono scritte sulla scala
stessa accanto alle tacche della graduazione.

\index{strumenti di misura!caratteristiche|(}%
Le caratteristiche pi\`u importanti di uno strumento sono le
seguenti:
\begin{itemize}
\item La \emph{prontezza}: \`e determinata dal tempo
  necessario perch\'e lo strumento risponda in modo completo
  ad una variazione della sollecitazione; ad esempio, per
  avere una risposta corretta da un termometro si deve
  attendere che si raggiunga l'equilibrio termico tra il
  rivelatore e l'oggetto di cui si misura la temperatura.
\item L'\emph{intervallo d'uso}: \`e definito come l'insieme
  dei valori compresi tra la \emph{soglia} e la
  \emph{portata} dello strumento, cio\`e tra il minimo ed il
  massimo valore della grandezza che lo strumento pu\`o
  apprezzare in un singolo atto di misura.
\item La \emph{sensibilit\`a}: si pu\`o definire come il
  reciproco della incertezza di lettura propria dello
  strumento, cio\`e della pi\`u piccola variazione della
  grandezza che pu\`o essere letta sulla scala, e che si
  assume generalmente corrispondente alla pi\`u piccola
  divisione della scala stessa (o ad una frazione
  apprezzabile di questa).  La sensibilit\`a pu\`o essere
  diversa in differenti punti della scala, o per diversi
  valori della grandezza; \`e un fattore che limita
  l'intervallo d'uso dello strumento, potendo divenire
  insufficiente al di sotto della soglia od al di sopra
  della portata.
\item La \emph{precisione} dello strumento: \`e legata alla
  riproducibilit\`a del risultato della misura di una stessa
  grandezza.  Esso pu\`o variare da una parte per difetti
  dello strumento dovuti alla costruzione, che non pu\`o mai
  essere perfetta, e per il logoramento di alcune componenti
  in conseguenza dell'uso prolungato o improprio, o
  dell'invecchiamento; e, inoltre, per la presenza di varie
  cause di disturbo ineliminabili anche in condizioni
  normali d'uso dello strumento stesso.

  Tutto questo fa s\`\i\ che misure ripetute di una stessa
  grandezza fisica si distribuiscano in un intervallo pi\`u
  o meno ampio; la precisione si pu\`o definire come il
  reciproco dell'incertezza sul valore della grandezza che
  viene determinata dall'insieme di questi fattori: ed \`e
  sostanzialmente legata all'entit\`a degli \emph{errori
    casuali}, di cui parleremo tra poco nel paragrafo
  \ref{ch:2.errmis}.

\item L'\emph{accuratezza} dello strumento; ossia la sua
  capacit\`a di fornire valori corrispondenti a quello
  realmente posseduto dalla grandezza in esame.  In altre
  parole, se lo strumento \`e accurato ci si aspetta che i
  risultati di misure ripetute della stessa grandezza fisica
  siano equamente distribuiti in un intorno del valore vero;
  questa caratteristica degli strumenti sar\`a, come
  vedremo, legata alla presenza di \emph{errori sistematici}
  da essi introdotti (di questi, e delle loro possibili
  cause parleremo sempre nel paragrafo \ref{ch:2.errmis}).

  Ci si attende da uno sperimentatore serio che sappia
  individuare le cause di scarsa accuratezza nei suoi
  strumenti (ad esempio un'errata taratura dello zero della
  scala) ed in qualche modo neutralizzarle; cos\`\i\ da
  ricondursi, in ogni caso, a \emph{risultati accurati}.
\end{itemize}%
\index{strumenti di misura!caratteristiche|)}

Per sfruttare a pieno le possibilit\`a di uno strumento di
misura, \`e opportuno che la sensibilit\`a non sia troppo
inferiore alla precisione; gli strumenti di uso corrente
sono costruiti con una sensibilit\`a circa uguale alla
precisione in condizioni normali d'uso.

Anche se, per questo motivo, generalmente la sensibilit\`a e
la precisione in uno strumento hanno valori simili, fate
attenzione a non confondere i due concetti: la sensibilit\`a
\`e una caratteristica intrinseca degli strumenti, e rimane
perci\`o costante in ogni situazione; mentre la precisione
delle nostre misure dipende, \`e vero, dal tipo di strumento
usato (e quindi dalla sua sensibilit\`a) --- ma anche dalle
modalit\`a contestuali di impiego e dal tipo di grandezza
misurata.

Cos\`\i\ su un orologio nella cui scala non siano
riportate che poche divisioni (l'inverso della sensibilit\`a
sia ad esempio di 60 o 15 minuti) non \`e difficile stimare
l'ora con una approssimazione che invece \`e dell'ordine di
pochi minuti; mentre un cronometro in grado di apprezzare il
decimillesimo di secondo, se azionato a mano, difficilmente
pu\`o raggiungere una precisione inferiore al decimo.

Similmente, un regolo lungo un metro e graduato al
millimetro pu\`o essere usato per valutare le dimensioni di
un quaderno (con un singolo atto di misura); oppure
(riportandolo varie volte di seguito a se stesso) le
dimensioni di un edificio.  \`E evidente come, pur essendo
lo strumento lo stesso (quindi la sensibilit\`a non varia)
la precisione delle misure debba essere completamente
diversa nei due casi.%
\index{strumenti di misura|)}

\section{Errori di misura}
\label{ch:2.errmis}
Come gi\`a accennato in relazione alla precisione di uno
strumento, se si esegue una misura di una qualsiasi
grandezza fisica si commettono inevitabilmente errori;
conseguentemente il valore ottenuto per la grandezza
misurata non \`e mai esattamente uguale al suo vero valore,
che non ci potr\`a perci\`o mai essere noto con precisione
arbitrariamente grande (diversamente da quanto accade con
una costante matematica, come ad esempio $\pi$).

Quando si ripete la misura della stessa grandezza col
medesimo strumento, nelle medesime condizioni e seguendo la
medesima procedura, la presenza delle varie cause di errore
(che andremo tra poco ad esaminare) produce delle differenze
casuali tra il valore misurato ed il valore vero; differenze
variabili da una misura all'altra, ed in modo imprevedibile
singolarmente.  In conseguenza di ci\`o, i risultati di
queste misure ripetute (se lo strumento \`e abbastanza
sensibile) fluttueranno apprezzabilmente in maniera casuale
in un certo intervallo: la cui ampiezza definir\`a la
precisione delle misure stesse.  Gli errori di questo tipo
si dicono \emph{errori casuali}%
\index{errori di misura!casuali},
e la loro esistenza \`e facilmente accertabile con l'uso di
un qualsiasi strumento sensibile.

Tuttavia, certe cause di errore possono dar luogo a una
discrepanza tra valore misurato e valore vero che si
riproduce inalterata in una serie di misure ripetute: e la
inosservabilit\`a delle fluttuazioni non garantisce affatto
che tale discrepanza sia inferiore all'incertezza di lettura
dello strumento; n\'e si pu\`o esser certi che essa sia
contenuta entro l'intervallo di variabilit\`a degli errori
casuali (quando esso sia maggiore dell'incertezza di
lettura).

Gli errori di questo secondo tipo si dicono
\emph{errori sistematici}%
\index{errori di misura!sistematici|(emidx}
e sono i pi\`u insidiosi, perch\'e non risultano
immediatamente identificabili.  Cause di errori sistematici
possono essere quelle elencate nel seguito (ma la lista non
\`e necessariamente completa):
\begin{enumerate}
\item \emph{Difetti dello strumento, risalenti alla
    costruzione o conseguenti al suo deterioramento}.  Ad
  esempio, in una bilancia con bracci di lunghezza diversa,
  l'uguaglianza dei momenti applicati ai due bracci ed
  assicurata dall'equilibrio del giogo non implica
  l'uguaglianza delle masse ad essi sospese: perch\'e una
  massa minore sospesa al braccio pi\`u lungo produrr\`a una
  azione atta ad equilibrare quella esercitata da una massa
  maggiore sospesa all'altro (questo errore si potrebbe
  anche classificare nel tipo \ref{li:2.forapp}, cio\`e come
  errore di interpretazione del risultato).

  Un altro esempio \`e quello di un goniometro
  \emph{eccentrico}, cio\`e avente la croce centrale o
  l'asse di rotazione in posizione diversa da quella del
  centro del cerchio recante la graduazione: ci\`o determina
  come conseguenza misure di angoli acuti sistematicamente
  errate per difetto o per eccesso a seconda della posizione
  del centro presunto rispetto agli assi 0\gra--180\gra\ e
  90\gra--270\gra\ del goniometro.

  Lo zero di una scala (ad esempio di un termometro) pu\`o
  essere spostato dalla posizione corretta di taratura, per
  cui tutte le letture saranno in difetto o in eccesso a
  seconda del verso di tale spostamento.  Oppure la scala
  stessa dello strumento pu\`o essere difettosa: cos\`\i, se
  il capillare di un termometro non ha sezione costante,
  anche se le posizioni corrispondenti a due punti fissi
  come 0\gra{}C e 100\gra{}C fossero esatte, le temperature
  lette risulterebbero in difetto in un tratto della scala
  ed in eccesso in un altro tratto.
\item \emph{Uso dello strumento in condizioni errate},
  cio\`e diverse da quelle previste per il suo uso corretto.
  Tale \`e l'uso di regoli, calibri e simili strumenti per
  misurare le lunghezze, o di recipienti tarati per la
  misura dei volumi, a temperature diverse da quella di
  taratura (generalmente fissata a 20\gra{}C); infatti la
  dilatazione termica far\`a s\`\i\ che lunghezze e volumi
  risultino alterati, in difetto o in eccesso a seconda che
  si operi a temperatura superiore o inferiore.

  Si pu\`o naturalmente commettere un errore anche usando lo
  strumento a 20\gra{}C, quando ci\`o che interessa in
  realt\`a \`e conoscere il valore di una grandezza
  dipendente dalla temperatura (la lunghezza di un oggetto,
  il volume di un corpo, la resistenza elettrica di un filo
  o qualsiasi altra) ad una temperatura diversa da
  20\gra{}C.
\item \emph{Errori di stima da parte dello sperimentatore}:
  un esempio di questo tipo di errore si ha quando, nello
  stimare una certa frazione di divisione di una scala
  graduata, lo sperimentatore tende a valutarla sempre in
  difetto o sempre in eccesso; oppure quando, nel leggere la
  posizione di un indice mobile posto di fronte ad una scala
  graduata (non sullo stesso piano), lo sperimentatore tenga
  il proprio occhio sistematicamente alla sinistra o alla
  destra del piano passante per l'indice ed ortogonale alla
  scala stessa (\emph{errore di parallasse}).  Proprio per
  evitare questi errori di parallasse, dietro gli indici
  mobili degli strumenti pi\`u precisi si pone uno specchio
  che aiuta l'osservatore a posizionarsi esattamente davanti
  ad esso.
\item \emph{Perturbazioni esterne}; un esempio di errori di
  questo tipo \`e la presenza di corpi estranei, come la
  polvere, interposti tra le ganasce di un calibro e
  l'oggetto da misurare: questo porta a sovrastimarne lo
  spessore.

  Un altro esempio \`e la misura della profondit\`a del
  fondo marino o fluviale con uno scandaglio (filo a piombo)
  in presenza di corrente; questa fa deviare il filo dalla
  verticale e porta sempre a sovrastimare la profondit\`a se
  il fondo \`e approssimativamente orizzontale.
\item \emph{Perturbazione del fenomeno osservato da parte
    dell'operazione di misura}.  Tra gli errori di questo
  tipo si pu\`o citare la misura dello spessore di un
  oggetto con un calibro a cursore, o col pi\`u sensibile
  calibro a vite micrometrica (Palmer); l'operazione
  richiede l'accostamento delle ganasce dello strumento
  all'oggetto, ed effettuandola si comprime inevitabilmente
  quest'ultimo con una forza sia pur piccola: e se ne
  provoca perci\`o una deformazione, con leggera riduzione
  dello spessore.
\item \label{li:2.forapp} \emph{Uso di formule errate o
    approssimate nelle misure indirette}.  Un esempio \`e
  offerto dalla misura indiretta dell'accelerazione di
  gravit\`a $g$, ottenuta dalla misura della lunghezza
  (cosiddetta ridotta) $l$ di un apposito tipo di pendolo
  (di Kater) e dalla misura del suo periodo di oscillazione
  $T_0$, utilizzando la formula
  \begin{gather}%
  \index{pendolo, periodo del|(}
    g = 4 \pi^2 \, \frac{l}{{T_0}^2} \label{eq:2.g} \\
    \intertext{ottenuta dalla nota espressione del periodo}
    T_0 = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \peq . \label{eq:2.t0}
  \end{gather}

  Ma questa formula vale solo, al limite, per oscillazioni
  di ampiezza infinitesima; mentre una formula che meglio
  approssima la realt\`a \`e\/\footnote{Riguardo a questo
    punto ed al successivo, per una discussione approfondita
    del moto del pendolo si pu\`o consultare: G.~Bruhat -
    Cours de M\'ecanique Physique - Ed.\ Masson, pagg.
    311--321.}
  \begin{equation*}
    T \; = \;T(\theta) \; = \; 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }
    \left( 1 + \frac{\theta^2}{16} \right) \; = \;
    T_0 \left( 1 + \frac{\theta^2}{16} \right)
  \end{equation*}
  ed essa mostra come il periodo $T$ sia una funzione
  leggermente crescente dell'ampiezza massima $\theta$ delle
  oscillazioni (qui espressa in radianti).  L'uso della
  formula \eqref{eq:2.g} di prima approssimazione per
  determinare $g$ comporta dunque una sua sottostima, che
  diviene tanto pi\`u sensibile quanto maggiore \`e
  $\theta$: questo in quanto si usa in luogo di $T_0$ la
  durata $T$ di una oscillazione reale avente ampiezza non
  nulla --- e perci\`o sempre superiore a $T_0$.

  La medesima misura \`e affetta anche da un'altra causa di
  errore sistematico, originata dal fatto che il pendolo non
  ruota oscillando attorno al filo orizzontale del coltello
  di sospensione; ma compie un moto in cui il profilo del
  taglio del coltello (che \`e approssimativamente un
  cilindro con raggio di curvatura minimo dell'ordine dei
  centesimi di millimetro) rotola sul piano di appoggio.  A
  causa dell'impossibilit\`a di una perfetta realizzazione
  meccanica dell'apparato, il fenomeno osservato \`e diverso
  da quello supposto che si intendeva produrre: e la sua
  errata interpretazione comporta una sovrastima di $g$.

  Infatti la formula del periodo, corretta \emph{per questo
    solo effetto}, risulta essere
  \begin{equation*}
    T = T_0 \, \sqrt{ 1 - \frac{r}{a} }
  \end{equation*}
  (in cui $r$ \`e il raggio di curvatura del filo del
  coltello ed $a$ la distanza del centro di massa dal punto
  di appoggio) ed il $T$ reale \`e sempre inferiore al $T_0$
  definito nell'equazione \eqref{eq:2.t0}.
\end{enumerate}%
\index{pendolo, periodo del|)}

Un modo per rivelare la presenza di errori sistematici
insospettati pu\`o essere quello di misurare, se possibile,
la stessa grandezza con strumenti e metodi diversi; questi
presumibilmente sono affetti da errori aventi cause diverse
e possono fornire perci\`o risultati differenti.  Tuttavia
neppure l'assenza di questo effetto d\`a la certezza che la
misura sia esente da errori sistematici, ed essi sono
generalmente individuati solo da una attenta e minuziosa
analisi critica: sia dello strumento usato, sia della
procedura seguita nella misura.

Una volta scoperto, un errore sistematico pu\`o essere
eliminato: modificando o lo strumento o la procedura, oppure
ancora apportando una opportuna correzione al risultato
della misura (sebbene questo comporti generalmente un
aumento dell'errore casuale: il fattore di correzione deve
essere ricavato sperimentalmente, e quindi sar\`a
affetto da un suo errore intrinseco).%
\index{errori di misura!sistematici|)}

\index{errori di misura!casuali|(emidx}%
Le prime cinque categorie sopra citate come possibili cause
di errori sistematici, possono produrre anche errori
casuali: cos\`\i, per il primo tipo, gli inevitabili giochi
meccanici e gli attriti tra parti dello strumento in moto
relativo possono dar luogo a risultati fluttuanti; per
quanto riguarda il secondo tipo, condizioni ambientali
variabili e non del tutto controllabili (come temperatura e
pressione) possono produrre variazioni imprevedibili del
risultato.

Lo sperimentatore non ha un comportamento fisso e costante
sia nelle valutazioni che nelle azioni compiute durante
l'operazione di misura; come un esempio di questo terzo tipo
di errori si consideri l'imprevedibile variabilit\`a del
tempo di reazione nell'avvio e nell'arresto di un cronometro
a comando manuale.

Anche i disturbi esterni (quarto tipo), potendo essere di
natura e intensit\`a variabile, produrranno errori di un
segno determinato (sistematici), ma di entit\`a variabile ed
imprevedibile; dunque, in parte, anche casuali.

Si aggiunga a ci\`o che disturbi casuali possono essere
presenti nello strumento stesso per la costituzione
corpuscolare della materia e per la natura fondamentalmente
statistica di certe grandezze fisiche.  Cos\`\i\
l'equipaggio mobile, sospeso ad un filo lungo e sottile, di
una bilancia a torsione di estrema sensibilit\`a, avr\`a
posizioni fluttuanti attorno a quella di equilibrio: non
solo a causa del bombardamento incessante cui esso \`e
sottoposto da parte delle molecole del gas circostante; ma
anche nel vuoto assoluto, per l'agitazione termica dei suoi
stessi costituenti.

Infine, anche le cause del quinto tipo possono dar luogo ad
errori casuali se il disturbo del fenomeno o dell'oggetto
prodotto dall'operazione di misura \`e di entit\`a variabile
e non controllata.

Alle cause comuni con gli errori sistematici si deve qui
aggiungerne una ulteriore e tipica degli errori casuali, e
consistente nella \emph{imperfetta definizione della
  grandezza} che si intende misurare.  Anche restando
nell'ambito della fisica classica (e come accennato in
relazione ai disturbi delle misure), certe grandezze, quali
la pressione e la temperatura, sono in realt\`a legate a
delle medie statistiche, come l'energia cinetica media
molecolare; in quanto tali esse hanno un'indeterminazione
intrinseca, che tuttavia non si manifesta nelle misure
relative ad oggetti e fenomeni macroscopici se non in casi
eccezionali.

Ad un livello meno fondamentale, se si misura pi\`u volte
con un calibro il diametro di un oggetto sferico pu\`o
avvenire che i risultati siano leggermente diversi di misura
in misura; questo perch\'e l'oggetto non pu\`o essere
\emph{perfettamente} sferico, ed ogni suo diametro ha una
lunghezza generalmente diversa da quella di un altro.

Per concludere, gli errori casuali:
\begin{itemize}
\item Sono osservabili solo con uno strumento
  sufficientemente sensibile, cio\`e quando sono di entit\`a
  maggiore dell'incertezza di lettura della scala.
\item Possono essere ridotti; ad esempio migliorando le
  caratteristiche dello strumento, o controllando pi\`u
  strettamente le condizioni del suo uso e dell'ambiente e
  precisando meglio la procedura di esecuzione della misura:
  ma ci\`o con difficolt\`a crescente sempre pi\`u con la
  precisione.  \emph{Non possono quindi \textbf{mai} essere
    eliminati}.
\item Posseggono tuttavia certe propriet\`a statistiche, che
  studieremo nell'ambito di una teoria matematica che
  verr\`a affrontata nei prossimi capitoli; la loro entit\`a
  pu\`o pertanto essere \emph{stimata}.
\end{itemize}%
\index{errori di misura!casuali|)}

Compito della \emph{teoria dell'errore} \`e appunto quello
di stimare l'errore presumibilmente commesso nell'atto della
misura, a partire dai dati sperimentali stessi.
Riassumendo:
\begin{quote}
  \textit{Scopo della misura di una grandezza fisica \`e il
    valutare sia il rapporto della grandezza stessa con una
    certa unit\`a di misura, sia l'errore da cui tale
    rapporto \`e presumibilmente affetto.}
\end{quote}

Il risultato delle misure dovr\`a quindi \emph{sempre}
essere espresso in una forma del tipo
\begin{equation*}
  l \, = \, 12.34 \pm 0.01 \; \un{m}
\end{equation*}
in cui compaiano le tre parti \emph{valore}, \emph{errore}
ed \emph{unit\`a di misura}.

\section{Cifre significative ed arrotondamenti}%
\index{cifre significative|(emidx}%
\index{arrotondamenti|see{cifre significative}}

Sempre per quanto riguarda il modo di esprimere il risultato
delle nostre misure, \emph{\`e un errore} spingere la
valutazione del risultato stesso al di l\`a della precisione
sperimentale; in altre parole, se il calcolo dell'errore per
la misura di una lunghezza indica incertezza sulla cifra, ad
esempio, dei centimetri, \`e un errore dare nel risultato la
cifra dei millimetri, o (peggio) dei decimi o centesimi di
millimetro.  Nei risultati intermedi possiamo tenere per i
successivi calcoli tutte le cifre che vogliamo; ma, giunti
\emph{al risultato finale}, e solo una volta che l'errore
sia stato calcolato, bisogna troncare il risultato stesso al
livello dell'errore da noi stimato ed arrotondare.
Cos\`\i\/\footnote{Come vedremo nelle ultime righe
  dell'appendice \ref{ch:b.errvar}, normalmente per l'errore
  si d\`a una sola cifra significativa; o al massimo due, se
  le misure sono state veramente molte --- o anche per
  diminuire il disagio psicologico legato al ``buttare via
  qualcosa'' del frutto delle proprie fatiche\ldots}
\begin{center}
  \begin{math}
    \begin{array}{ccccc}
      12.34567 \pm 0.231   & \makebox{diventa} & 12.3   \pm 0.2   &
      \makebox{o} & 12.34 \pm 0.23 \peq ; \\*
      12.34567 \pm 0.00789 & \makebox{diventa} & 12.346 \pm 0.008 &
      \makebox{o} & 12.3457 \pm 0.0079 \peq .
    \end{array}
  \end{math}
\end{center}%
\index{cifre significative|)}

\section{Errore relativo}%
\index{errore!relativo|(}
\label{ch:2.errel}
Una volta valutato l'errore presumibile $\Delta x$ (errore
\emph{assoluto}) da cui \`e affetta la misura $x_0$ di una
grandezza fisica $x$, il rapporto
\begin{equation} \label{eq:2.errel}
 \epsilon = \frac{\Delta x}{\left| x_0 \right|}
\end{equation}
(indicato in \emph{valore} od in \emph{percentuale}) prende
il nome di \emph{errore relativo}; essendo definito
attraverso il modulo del valore stimato della grandezza in
esame, l'errore relativo \`e una quantit\`a sicuramente
positiva.

L'errore relativo \`e importante perch\'e, in un certo
senso, esprime la \emph{qualit\`a} della misura di una
grandezza: \`e evidente come un errore assoluto stimato in
1\un{cm} assuma ben diverso significato se riferito alla
misura di un tavolo o di una distanza astronomica --- ed \`e
appunto la differenza fra gli errori relativi a suggerirci
tale interpretazione.

\`E opportuno tuttavia osservare che l'errore relativo
definito nella \eqref{eq:2.errel} \`e privo di senso quando
il valore vero della grandezza che si misura \`e nullo;
pertanto si potr\`a parlare di errore relativo solo quando
si possa escludere tale eventualit\`a con pratica certezza:
nel caso cio\`e che sia $ \left| x_0 \right| \gg \Delta x $,
ovvero che $\epsilon$ sia di almeno un ordine di grandezza
inferiore all'unit\`a.%
\index{errore!relativo|)}

\endinput