chapter3.tex

% $Id: chapter3.tex,v 1.1 2005/03/01 10:06:08 loreti Exp $

\chapter{Elementi di teoria della probabilit\`a}
Abbiamo gi\`a notato come, per la ineliminabile presenza
degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato
della stima del valore di una grandezza fisica non sia
praticamente mai il valore vero della grandezza stessa;
inoltre, se ripetiamo pi\`u volte la misura, non otteniamo
mai, in generale, nemmeno lo stesso risultato.

Da questo si deduce che, sulla base di misure ripetute
comunque effettuate, non si potr\`a mai affermare che un
qualsiasi numero reale sia (o non sia) il valore vero della
grandezza stessa.  \`E per\`o evidente come tutti gli
infiniti numeri reali non debbano essere posti sullo stesso
piano: alcuni di essi saranno pi\`u verosimili
(intuitivamente i numeri vicini ai risultati delle nostre
misure ripetute), altri (pi\`u lontani) saranno meno
verosimili.

Il problema della misura va dunque impostato \emph{in
  termini probabilistici}; e potremo dire di averlo risolto
quando, a partire dai dati sperimentali, saremo in grado di
determinare un intervallo di valori avente una assegnata
probabilit\`a di contenere il valore vero.  Prima di
proseguire, introduciamo dunque alcuni elementi della
\emph{teoria della probabilit\`a}.

\section{La probabilit\`a: eventi e variabili casuali}%
\index{casuali!eventi|(}
\label{ch:3.varcas}
Oggetto della teoria delle probabilit\`a \`e lo studio dei
fenomeni \emph{casuali} o \emph{aleatori}: cio\`e fenomeni
ripetibili (almeno in teoria) infinite volte e che possono
manifestarsi in pi\`u modalit\`a, imprevedibili
singolarmente, che si escludono a vicenda l'una con l'altra;
esempi tipici di fenomeni casuali sono il lancio di un dado
o di una moneta, o l'estrazione di una carta da un mazzo.
Come risultato del lancio della moneta o del dado, essi
cadranno e si ridurranno in quiete con una determinata
faccia rivolta verso l'alto; per la moneta le possibilit\`a
sono due, mentre per il dado sono sei.

Il complesso delle possibili modalit\`a con cui un fenomeno
casuale si pu\`o verificare costituisce l'insieme (o
\emph{spazio}) dei \emph{risultati}, $\mathcal{S}$; esso
pu\`o essere costituito da un numero finito o infinito di
elementi.

Definiremo poi come \emph{evento casuale} l'associazione di
una o pi\`u di queste possibili modalit\`a: ad esempio, lo
spazio dei risultati per il fenomeno ``lancio di un dado''
\`e un insieme composto da sei elementi; ed uno degli eventi
casuali che \`e possibile definire (e che corrisponde al
realizzarsi dell'uno o dell'altro di tre dei sei possibili
risultati) consiste nell'uscita di un numero dispari.
L'insieme di tutti i possibili eventi (o \emph{spazio degli
  eventi}) $\mathcal{E}$ \`e dunque l'insieme di tutti i
sottoinsiemi di $\mathcal{S}$ (\emph{insieme potenza} o
\emph{insieme delle parti} di $\mathcal{S}$); compresi
l'insieme vuoto $\emptyset$ ed $\mathcal{S}$ stesso, che si
chiamano anche rispettivamente \emph{evento impossibile} ed
\emph{evento certo}.%
\index{casuali!eventi|)}

\index{casuali!variabili|(emidx}%
Se si \`e in grado di fissare una legge di corrispondenza
che permetta di associare ad ogni modalit\`a di un fenomeno
casuale scelta nell'insieme $\mathcal{S}$ uno ed un solo
numero reale $x$, questo numero prende il nome di
\emph{variabile casuale} definita su $\mathcal{S}$.  Le
variabili casuali possono assumere un numero finito od
infinito di valori, e possono essere discrete o continue;
\`e da notare che, per la presenza degli errori, la misura
di una grandezza fisica pu\`o essere considerata come un
evento casuale --- ed il risultato numerico che da tale
misura otteniamo \`e una variabile casuale che possiamo
associare all'evento stesso.%
\index{casuali!variabili|)}

\section{La probabilit\`a: definizioni}
La definizione ``classica'' di probabilit\`a \`e la
seguente:
\begin{quote}
  \index{probabilit\`a!definizione!classica}%
  \textit{Si definisce come probabilit\`a di un evento
    casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli al
    presentarsi dell'evento stesso ed il numero totale di
    casi possibili, purch\'e tutti questi casi possibili
    siano ugualmente probabili.}
\end{quote}
e se ne ricava immediatamente il seguente
\begin{quote}
  \textsc{Corollario:} \textit{la probabilit\`a di un evento
    casuale \`e un numero compreso tra zero e uno, che
    assume il valore zero per gli eventi impossibili ed uno
    per quelli certi.}
\end{quote}

La definizione ``classica'' sembra sufficiente a permetterci
di calcolare le probabilit\`a di semplici eventi casuali che
possano manifestarsi in un numero finito di modalit\`a
equiprobabili (ad esempio per i giochi d'azzardo), ma \`e
intrinsecamente insoddisfacente perch\'e racchiude in s\'e
stessa una \emph{tautologia}: si nota immediatamente come,
per definire la probabilit\`a, essa presupponga che si sia
gi\`a in grado di valutare l'equiprobabilit\`a delle varie
modalit\`a con cui pu\`o manifestarsi l'evento considerato.
Nel caso di una variabile casuale continua, ci\`o si traduce
nell'indeterminazione di quale tra le variabili
topologicamente equivalenti (ossia legate da trasformazioni
continue) sia quella equiprobabile, cio\`e con probabilit\`a
per ogni intervallo proporzionale all'ampiezza
dell'intervallo stesso.

Si possono dare della probabilit\`a definizioni pi\`u
soddisfacenti dal punto di vista logico, ad esempio la
seguente (definizione
\emph{empirica}\/\thinspace\footnote{Anche questa
  definizione non \`e completamente soddisfacente dal punto
  di vista concettuale (come vedremo pi\`u in dettaglio nel
  paragrafo \ref{ch:3.convstat}); ma \`e tra le pi\`u
  intuitive, perch\'e tra le pi\`u vicine all'uso pratico.},
teorizzata da von%
\index{von Mises, Richard}
Mises\/\footnote{Richard von Mises fu un matematico che
  visse dal 1883 al 1953; comp\`\i\ ricerche nei campi della
  probabilit\`a e della statistica, ma soprattutto in quello
  della matematica applicata alla meccanica dei fluidi (nel
  1913 istitu\`\i\ all'Universit\`a di Vienna il primo corso
  al mondo sul volo, e nel 1915 progett\`o un aereo che
  pilot\`o personalmente nel corso della I guerra
  mondiale).}):%
\index{probabilit\`a!definizione!empirica|(}
definiamo la \emph{frequenza relativa}%
\index{frequenza!relativa}
$f(E)$ con cui un evento casuale $E$ si \`e presentato in un
numero totale $N$ di casi reali come il rapporto tra il
numero $n$ di volte in cui l'evento si \`e effettivamente
prodotto (\emph{frequenza assoluta})%
\index{frequenza!assoluta}
ed il numero $N$ delle prove effettuate; la probabilit\`a di
$E$ si definisce euristicamente come l'estensione del
concetto di frequenza relativa su un numero grandissimo di
prove, cio\`e
\begin{equation*}
  p(E) \; \approx \; \lim_{N \rightarrow \infty} f(E)
  \; = \; \lim_{N \rightarrow \infty}
  \left( \frac{n}{N} \right) \peq .
\end{equation*}%
\index{probabilit\`a!definizione!empirica|)}

\section{Propriet\`a della probabilit\`a}
Proseguendo in questa nostra esposizione, useremo ora la
definizione empirica per ricavare alcune propriet\`a delle
probabilit\`a di eventi casuali: queste stesse propriet\`a,
come vedremo nel paragrafo \ref{ch:3.lpdeas}, possono essere
ricavate a partire dalla \emph{definizione assiomatica}
(matematicamente soddisfacente, e che verr\`a presentata nel
paragrafo \ref{ch:3.deaspr}).  Il motivo per cui ci basiamo
sulla definizione empirica \`e sia la maggiore semplicit\`a
delle dimostrazioni che la concretezza e l'intuitivit\`a dei
ragionamenti, che si possono facilmente esemplificare con
semplici procedure pratiche come il lancio di monete e dadi.

\subsection{L'evento complementare}
La mancata realizzazione dell'evento $E$ costituisce
l'\emph{evento complementare}%
\index{complementare, evento}
ad $E$, che indicheremo con \ob{E}; i due eventi $E$ ed
\ob{E}\ si escludono mutuamente, ed esauriscono l'insieme di
tutti i possibili risultati di una prova od esperimento
elementare del tipo considerato.  La frequenza relativa di
\ob{E}\ su $N$ prove \`e
\begin{equation*}
  f \left( \ob{E} \right)
  \; = \; \frac{N-n}{N}
  \; = \; 1-\frac{n}{N} \; = \; 1-f(E)
\end{equation*}
da cui si ricava
\begin{equation*}
  p \left( \ob{E} \right) = 1-p(E)
  \makebox[50mm]{o anche}
  p ( E ) + p \left( \ob{E} \right) = 1 \peq .
\end{equation*}

Analogamente si pu\`o dimostrare che, se $A,B,\ldots,Z$ sono
eventi casuali \emph{mutuamente esclusivi} e che
\emph{esauriscono l'insieme di tutti i possibili risultati},
vale la
\begin{equation} \label{eq:3.norpro}
  p(A) + p(B) +\cdots+ p(Z) = 1 \peq .
\end{equation}

\subsection{Probabilit\`a totale}
Il risultato di una prova o esperimento pi\`u complesso
pu\`o essere costituito dal verificarsi di due eventi
simultanei in luogo di uno solo; come esempio, si consideri
il lancio di una moneta e l'estrazione contemporanea di una
carta da un mazzo.  Se $E$ indica l'apparizione della testa
(\ob{E}\ allora sar\`a l'apparizione della croce) ed $F$
l'estrazione di una carta nera (\ob{F}\ di una carta rossa),
esistono quattro eventi fondamentali non ulteriormente
decomponibili e che si escludono vicendevolmente: $E F$, $E
\ob{F}$, $\ob{E} F$ e $\ob{E} \ob{F}$.

Il simbolo $E F$ indica qui l'evento composto \emph{prodotto
  logico} dei due eventi semplici $E$ ed $F$, cio\`e quello
consistente nel verificarsi \emph{sia dell'uno che
  dell'altro}.  Se ora, su $N$ prove effettuate, la
frequenza assoluta con cui i quattro eventi fondamentali si
sono verificati \`e quella indicata nella seguente tabella:
\medskip
\begin{center}
  \begin{tabular}{c|c|c|}
    \multicolumn{1}{c}{\tabbot} &
    \multicolumn{1}{c}{$F$} &
    \multicolumn{1}{c}{\ob{F}} \\
    \cline{2-3}
    $E$\tabtop\tabbot & $n_{11}$ & $n_{12}$ \\
    \cline{2-3}
    \ob{E}\tabtop\tabbot & $n_{21}$ & $n_{22}$ \\
    \cline{2-3}
  \end{tabular}
\end{center}
\medskip le rispettive frequenze relative saranno
\begin{align*}
  f \left( EF \right) &= \frac{n_{11}}{N} &
    f \left( E \ob{F} \right) &= \frac{n_{12}}{N} \\[2ex]
  f \left( \ob{E} F \right) &= \frac{n_{21}}{N} &
    f \left( \ob{E} \ob{F} \right) &= \frac{n_{22}}{N}
    \peq .
\end{align*}

Facendo uso della definizione empirica di probabilit\`a si
trova, partendo dalle seguenti identit\`a:
\begin{gather*}
  f(E) \; = \; \frac{n_{11}+n_{12}}{N} \; = \;
    f(EF) + f \left( E \ob{F} \right) \\[2ex]
  f(F) \; = \; \frac{n_{11}+n_{21}}{N} \; = \;
    f(EF) + f \left( \ob{E} F \right)
\end{gather*}
che devono valere le
\begin{gather*}
  p(E) = p (EF) + p \left( E \ob{F} \right) \peq , \\[1ex]
  p(F) = p (EF) + p \left( \ob{E} F \right) \peq ,
\end{gather*}
ed altre due simili per \ob{E}\ e \ob{F}.

Se ora si applica la definizione empirica all'evento
complesso $E+F$ \emph{somma logica} degli eventi semplici
$E$ ed $F$, definito come l'evento casuale consistente nel
verificarsi \emph{o dell'uno o dell'altro di essi o di
  entrambi}, otteniamo
\begin{align*}
  f(E+F) &= \frac{n_{11}+n_{12}+n_{21}}{N} \\[1ex]
  &= \frac{(n_{11}+n_{12})+(n_{11}+n_{21})-n_{11}}{N} \\[1ex]
  &= f(E)+f(F)-f(EF)
\end{align*}
da cui, passando al limite,
\begin{equation*}%
\index{probabilit\`a!totale (teorema della)|(}
  p(E+F) = p(E)+p(F)-p(EF) \peq .
\end{equation*}

Nel caso particolare di due eventi $E$ ed $F$ che si
escludano mutuamente (cio\`e per cui sia $p(EF) = 0$ e
$n_{11} \equiv 0$) vale la cosiddetta \emph{legge della
  probabilit\`a totale}:
\begin{equation*}
  p(E+F) = p(E)+p(F)
\end{equation*}
Questa si generalizza poi per induzione completa al caso di
pi\`u eventi (sempre per\`o \emph{mutuamente esclusivi}),
per la cui somma logica la probabilit\`a \`e uguale alla
somma delle probabilit\`a degli eventi semplici:
\begin{equation} \label{eq:3.protot}
  p(A+B+\cdots+Z) \: = \: p(A)+p(B)+\cdots+p(Z) \peq .
\end{equation}%
\index{probabilit\`a!totale (teorema della)|)}

\subsection{Probabilit\`a condizionata e probabilit\`a
  composta}
La probabilit\`a che si verifichi l'evento $E$ nel caso in
cui si sa gi\`a che si \`e verificato l'evento $F$ si indica
con il simbolo $p(E|F)$ e si chiama
\emph{probabilit\`a condizionata}:%
\index{probabilit\`a!condizionata}
si ricava per essa facilmente, usando la terminologia
dell'esempio precedente, l'identit\`a
\begin{equation*}
  f(E|F) \; = \; \frac{n_{11}}{n_{11}+n_{21}}
  \; = \; \frac{n_{11}}{N} \: \frac{N}{n_{11}+n_{21}}
  \; = \; \frac{f(EF)}{f(F)}
\end{equation*}
con l'analoga
\begin{equation*}
  f(F|E) \; = \; \frac{f(EF)}{f(E)} \peq ;
\end{equation*}
e vale quindi, passando al limite, la
\begin{equation}%
\index{probabilit\`a!composta (teorema della)|(}
\label{eq:3.leprco}
  p(EF) \; = \; p(F) \cdot p(E|F)
  \; = \; p(E) \cdot p(F|E) \peq .
\end{equation}

\index{statistica!indipendenza|(}%
Nel caso particolare di due eventi casuali tali che il
verificarsi o meno dell'uno non alteri la probabilit\`a di
presentarsi dell'altro, ovverosia per cui risulti $p(E|F) =
p(E)$ e $p(F|E) = p(F)$, questi si dicono tra loro
\emph{statisticamente indipendenti}\/\thinspace\footnote{Il
  concetto di indipendenza statistica tra eventi casuali fu
  definito per la prima volta nel 1718 da Abraham de Moivre%
  \index{de Moivre!Abraham}
  (purtroppo noto al grosso pubblico solo per aver
  correttamente predetto il giorno della propria morte
  servendosi di una formula matematica), nel suo libro ``The
  Doctrine of Chance''.};%
\index{statistica!indipendenza|)}
e per essi vale la seguente legge (della \emph{probabilit\`a
  composta}):
\begin{equation*}
  p(EF) = p(E) \cdot p(F) \peq .
\end{equation*}

Questa si generalizza facilmente (sempre per induzione
completa) ad un evento complesso costituito dal verificarsi
contemporaneo di un numero qualsiasi di eventi semplici
(sempre per\`o tutti statisticamente indipendenti tra loro);
per il quale vale la
\begin{equation} \label{eq:3.procom}
  p(A \cdot B\cdots Z) = p(A) \cdot p(B)\cdots p(Z) \peq .
\end{equation}%
\index{probabilit\`a!composta (teorema della)|)}

\index{statistica!indipendenza|(}%
Pi\`u in particolare, gli eventi casuali appartenenti ad un
insieme di dimensione $N$ (con $N>2$) si dicono \emph{tutti}
statisticamente indipendenti tra loro quando la
probabilit\`a del verificarsi di uno qualsiasi di essi non
\`e alterata dal fatto che uno \emph{o pi\`u d'uno} degli
altri si sia gi\`a presentato.

Come esempio si consideri il lancio indipendente di due
dadi, ed i seguenti tre eventi casuali: $A$, consistente
nell'uscita di un numero dispari sul primo dado; $B$,
consistente nell'uscita di un numero dispari sul secondo
dado; e $C$, consistente nell'uscita di un punteggio
complessivo dispari.  \`E facile vedere che questi eventi
casuali sono, se considerati a due a due, statisticamente
indipendenti: $A$ e $B$ per ipotesi, $A$ e $C$ perch\'e
$p(C|A) = \frac{1}{2} = p(C)$, ed infine $B$ e $C$ perch\'e
anche $p(C|B) = \frac{1}{2} = p(C)$; ma gli stessi tre
eventi, se vengono considerati nel loro complesso,
\emph{non} sono \emph{tutti} statisticamente indipendenti
--- perch\'e il verificarsi di $A$ assieme a $B$ rende poi
impossibile il verificarsi di $C$.%
\index{statistica!indipendenza|)}

\subsection{Il teorema di Bayes}%
\index{Bayes, teorema di|(}
Supponiamo che un dato fenomeno casuale $A$ possa dare luogo
a $N$ eventualit\`a mutuamente esclusive $A_j$, che
esauriscano inoltre la totalit\`a delle possibilit\`a; e sia
poi un differente fenomeno casuale che possa condurre o al
verificarsi o al non verificarsi di un evento $E$.
Osservando la realizzazione di entrambi questi fenomeni, se
$E$ si verifica, assieme ad esso si dovr\`a verificare anche
una ed una sola delle eventualit\`a $A_j$; applicando prima
la legge della probabilit\`a totale \eqref{eq:3.protot} e
poi l'equazione \eqref{eq:3.leprco}, si ottiene
\begin{equation} \label{eq:3.peaj}
  p(E) \; = \; \sum_{j=1}^N p(E \cdot A_j) \; = \;
    \sum_{j=1}^N p(A_j) \cdot p(E | A_j) \peq .
\end{equation}

Ora, riprendendo la legge fondamentale delle probabilit\`a
condizionate \eqref{eq:3.leprco}, ne ricaviamo
\begin{equation*}
  p(A_i | E) = \frac{p(A_i) \cdot p(E | A_i)} { p(E) }
\end{equation*}
e, sostituendovi la \eqref{eq:3.peaj}, si giunge alla
\begin{equation} \label{eq:3.tbayes}
  \boxed{ \rule[-6mm]{0mm}{14mm} \quad
    p(A_i | E) = \frac{p(A_i) \cdot p(E | A_i)}
    {\sum_j \left[ p(A_j) \cdot p(E | A_j) \right]}
    \quad }
\end{equation}
L'equazione \eqref{eq:3.tbayes} \`e nota con il nome di
\emph{teorema di Bayes}, e viene spesso usata nel calcolo
delle probabilit\`a; talvolta anche, come adesso vedremo,
quando le $A_j$ non siano tanto eventi casuali in senso
stretto, quanto piuttosto \emph{ipotesi} da discutere per
capire se esse siano o meno rispondenti alla realt\`a.

Facendo un esempio concreto, si abbiano due monete: una
``buona'', che presenti come risultato la testa e la croce
con uguale probabilit\`a (dunque pari a $0.5$); ed una
``cattiva'', con due teste sulle due facce.  Inizialmente si
sceglie una delle due monete; quindi avremo due
eventualit\`a mutuamente esclusive: $A_1$ (\`e stata scelta
la moneta ``buona'') e $A_2$ (\`e stata scelta la moneta
``cattiva'') con probabilit\`a rispettive $p(A_1) = p(A_2) =
0.5$.  Se l'evento casuale $E$ consiste nell'uscita di una
testa, ovviamente $p(E|A_1) = 0.5$ e $P(E|A_2) = 1$.

Se ora facciamo un esperimento, lanciando la moneta una
volta e ottenendo una testa, quale \`e la probabilit\`a che
nell'effettuare la scelta iniziale si sia presa quella
``buona''?  La risposta \`e data dal teorema di Bayes, da
cui si ottiene:
\begin{align*}
  p(A_1|E) &= \frac{p(A_1) \cdot p(E|A_1)}{p(A_1)
    \cdot p(E|A_1) + p(A_2) \cdot p(E|A_2)} \\[1ex]
  &= \frac{0.5 \cdot 0.5}{0.5 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot
    1} \\[1ex]
  &= \frac{0.25}{0.75} \\[1ex]
  &= \frac{1}{3} \peq .
\end{align*}

Ovviamente, se si volesse progettare un esperimento reale,
sarebbe meglio associarlo al lanciare la moneta $N$ volte
(con $N > 1$): o si ottiene almeno una croce, ed allora \`e
sicuramente vera $A_1$; o, invece, si presenta l'evento $E$
consistente nell'ottenere $N$ teste in $N$ lanci.  In
quest'ultimo caso, $p(E|A_2) = 1$ e $p(E|A_1) = 1/2^N$ se i
lanci sono indipendenti tra loro; utilizzando ancora
l'equazione \eqref{eq:3.tbayes}, si ricava che la
probabilit\`a di aver scelto la moneta ``buona'', $p(A_1)$,
\`e data da $1/(1+2^N)$ --- e di conseguenza $p(A_2) =
2^N/(1+2^N)$ \`e la probabilit\`a che si sia scelta la
moneta ``cattiva''.

Qui il teorema di Bayes viene utilizzato per
\emph{verificare una ipotesi statistica}: ovvero per
calcolare la probabilit\`a che l'una o l'altra di un insieme
di condizioni $A_j$ che si escludono a vicenda sia vera,
sulla base di osservazioni sperimentali riassunte dal
verificarsi di $E$; ma questo ci risulta possibile solo
perch\'e si conoscono \emph{a priori} le probabilit\`a di
\emph{tutte} le condizioni stesse $p(A_j)$.

Se, viceversa, queste non sono note, la \eqref{eq:3.tbayes}
ci d\`a ancora la probabilit\`a che sia vera l'una o l'altra
delle ipotesi $A_j$ se sappiamo che si \`e verificata la
condizione sperimentale $E$; ma essa non si pu\`o ovviamente
calcolare, a meno di fare opportune ipotesi sui valori delle
$p(A_j)$: ad esempio assumendole tutte uguali, il che \`e
chiaramente arbitrario.  Per essere pi\`u specifici, non
potremmo servirci di un esperimento analogo a quelli
delineati e del teorema di Bayes per calcolare la
probabilit\`a che una particolare moneta da 1 euro ricevuta
in resto sia o non sia ``buona'': a meno di non conoscere a
priori $p(A_1)$ e $p(A_2)$, le probabilit\`a che una moneta
da 1 euro scelta a caso tra tutte quelle circolanti nella
nostra zona sia ``buona'' o ``cattiva''.%
\index{Bayes, teorema di|)}

\section{Definizione assiomatica della probabilit\`a}%
\index{probabilit\`a!definizione!assiomatica|(}
\label{ch:3.deaspr}
Per completezza, accenniamo infine alla cosiddetta
\emph{definizione assiomatica della
  probabilit\`a}\thinspace\footnote{Questa definizione \`e
  dovuta all'eminente matematico russo Andrei Nikolaevich
  Kolmogorov%
  \index{Kolmogorov, Andrei Nikolaevich};
  vissuto dal 1903 al 1987, si occup\`o principalmente di
  statistica e di topologia.  Fu enunciata nel suo libro del
  1933 \textit{Grundbegriffe der
    Wahrscheinlichkeitsrechnung}.}, che \`e matematicamente
consistente:
\begin{quote}
  \textit{Sia $\mathcal{S}$ l'insieme di tutti i possibili
    risultati di un fenomeno casuale, ed $E$ un qualsiasi
    evento casuale definito su $\mathcal{S}$ (ossia un
    qualsiasi sottoinsieme $E \subseteq \mathcal{S}$).  Si
    definisce come ``probabilit\`a'' di $E$ un numero,
    $p(E)$, associato univocamente all'evento stesso, che
    soddisfi alle seguenti tre propriet\`a:}
  \begin{enumerate}
  \item\label{def:3.dap1} $p(E) \ge 0$ \textit{per ogni}
    $E$;
  \item\label{def:3.dap2} $p(\mathcal{S}) = 1$;
  \item\label{def:3.dap3} \itshape $p(E_1 \cup E_2 \cup
    \cdots) = p(E_1) + p(E_2) +\cdots$ per qualsiasi insieme
    di eventi $E_1, E_2,\ldots$, in numero finito od
    infinito e a due a due senza alcun elemento in comune
    (ossia tali che $E_i \cap E_j = \emptyset$ per ogni $i
    \neq j$).
  \end{enumerate}
\end{quote}%
\index{probabilit\`a!definizione!assiomatica|)}

Questa definizione, pur matematicamente
consistente\/\footnote{Volendo essere del tutto rigorosi,
  questa definizione risulta valida solo se l'insieme dei
  possibili risultati \`e composto da un numero finito o da
  un'infinit\`a numerabile di elementi; la reale definizione
  assiomatica della probabilit\`a \`e leggermente differente
  (ed ancora pi\`u astratta).}, non dice nulla su come
assegnare dei valori alla probabilit\`a; tuttavia su tali
valori si possono fare delle ipotesi, verificabili poi
analizzando gli eventi reali osservati.

\subsection{Le leggi della probabilit\`a e la
  definizione assiomatica}
\label{ch:3.lpdeas}
Dalla definizione assiomatica \`e possibile ricavare, come
abbiamo gi\`a prima accennato, le stesse leggi cui siamo
giunti a partire dalla definizione empirica.  Infatti:
\begin{itemize}
\item Essendo $\mathcal{S} \cup \emptyset = \mathcal{S}$, la
  propriet\`a \ref{def:3.dap3} (applicabile perch\'e
  $\mathcal{S} \cap \emptyset = \emptyset$) implica
  $p(\mathcal{S}) + p(\emptyset) = p(\mathcal{S})$; da cui
  ricaviamo, vista la propriet\`a \ref{def:3.dap2},
  \begin{equation*}
    p(\emptyset) = 0 \peq .
  \end{equation*}
\item Se $A \supset B$, essendo in questo caso $A = B \cup
  \left( A \cap \ob{B} \right)$, applicando la propriet\`a
  \ref{def:3.dap3} (il che \`e lecito dato che $B \cap
  \left( A \cap \ob{B} \right) = \emptyset$) si ottiene
  $p(A) = p(B) + p \left( A \cap \ob{B} \right)$; e, vista
  la propriet\`a \ref{def:3.dap1},
  \begin{equation*}
    A \supset B \quad \Rightarrow \quad p(A) \geq p(B) \peq .
  \end{equation*}
\item Dati due insiemi $A$ e $B$, visto che qualunque essi
  siano valgono le seguenti identit\`a:
  \begin{align*}
    A &= (A \cap B) \cup \left( A \cap \ob{B} \right) \\
    B &= (A \cap B) \cup \left( \ob{A} \cap B \right) \\
    (A \cup B) &= (A \cap B) \cup \left( A \cap \ob{B} \right)
      \cup \left( \ob{A} \cap B \right) \\
  \end{align*}
  e applicando a queste tre relazioni (dopo aver verificato
  che gli insiemi a secondo membro sono tutti disgiunti) la
  propriet\`a \ref{def:3.dap3} e sommando e sottraendo
  opportunamente i risultati, si ottiene la \emph{legge
    della probabilit\`a totale} nella sua forma pi\`u
  generale:
  \begin{equation*}%
  \index{probabilit\`a!totale (teorema della)}
    p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) \peq .
  \end{equation*}
\end{itemize}

Definendo poi $p(E|A)$ (con $p(A) \ne 0$) come
\begin{equation}%
\label{eq:3.procas}%
\index{probabilit\`a!condizionata}
  p(E|A) = \frac{p(E \cap A)}{p(A)} \peq ,
\end{equation}
\`e facile riconoscere che anche essa rappresenta una
probabilit\`a: essendo $p(E \cap A) \geq 0$ e $p(A) > 0$,
$p(E|A)$ soddisfa alla propriet\`a \ref{def:3.dap1}; essendo
$\mathcal{S} \cap A = A$, $p(\mathcal{S}|A) = p(A)/p(A) =
1$, e $p(E|A)$ soddisfa alla propriet\`a \ref{def:3.dap2};
infine, se $E_1, E_2,\ldots$ sono insiemi a due a due
disgiunti,
\begin{align*}
  p(E_1 \cup E_2 \cup\cdots|A) &= \frac{p[(E_1 \cup
    E_2 \cup\cdots) \cap A]}{p(A)} \\[1ex]
  &= \frac{p[(E_1 \cap A) \cup (E_2 \cap A)
    \cup\cdots]}{p(A)} \\[1ex]
  &= \frac{p(E_1 \cap A)}{p(A)} + \frac{p(E_2 \cap A)}{
    p(A) } +\cdots \\[1.5ex]
  &= p(E_1|A) + p(E_2|A) +\cdots
\end{align*}
e $p(E|A)$ soddisfa anche alla propriet\`a \ref{def:3.dap3}.
Dalla \eqref{eq:3.procas} si ottiene infine la \emph{legge
  della probabilit\`a composta} nella sua forma pi\`u
generale,
\begin{equation*}%
\index{probabilit\`a!composta (teorema della)}
  p(A \cap B) \; = \; p(A|B) \cdot p(B) \; = \; p(B|A)
    \cdot  p(A) \peq .
\end{equation*}

\section{La convergenza statistica}%
\index{statistica!convergenza|(}%
\index{limite debole|see{statistica, convergenza}}%
\label{ch:3.convstat}
Difetto della definizione empirica di probabilit\`a, oltre a
quello di essere basata su di un esperimento, \`e quello di
presupporre a priori una convergenza della frequenza
relativa $f$, al crescere di $N$, verso un valore ben
definito: valore che si assume poi come probabilit\`a
dell'evento.

\index{grandi numeri, legge dei|(}%
Qualora si assuma come definizione di probabilit\`a quella
assiomatica, \`e effettivamente possibile dimostrare (come
vedremo pi\`u avanti nel paragrafo \ref{ch:5.granum}, ed in
particolare nel sottoparagrafo \ref{ch:5.teober}) come, al
crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un
\emph{qualunque} evento casuale converga verso la
probabilit\`a dell'evento stesso.

\`E tuttavia assai importante sottolineare come questa legge
(\emph{legge dei grandi numeri}, o \emph{teorema di
  Bernoulli}) non implichi una convergenza esatta nel senso
dell'analisi: non implichi cio\`e che, scelto un qualunque
numero positivo $\epsilon$, sia possibile determinare in
conseguenza un intero $M$ tale che, se si effettuano $N$
prove, per ogni $N>M$ risulti \emph{sicuramente} $|f(E) -
p(E)| < \epsilon$.  Si pensi in proposito alla chiara
impossibilit\`a di fissare un numero $M$ tale che, quando si
lanci un dado pi\`u di $M$ volte, si sia \emph{certi} di
ottenere almeno un sei: al crescere di $M$ crescer\`a la
\emph{probabilit\`a} del verificarsi di questo evento, ma
non si potr\`a mai raggiungere la certezza.

Nella legge dei grandi numeri il concetto di convergenza va
inteso invece in senso \emph{statistico} (o \emph{debole}, o
\emph{stocastico}); si dice che all'aumentare del numero di
prove $N$ una grandezza $x$ tende statisticamente al limite
$X$ quando, scelta una qualsiasi coppia di numeri positivi
$\epsilon$ e $\delta$, si pu\`o in conseguenza determinare
un numero intero $M$ tale che, se si effettua un numero di
prove $N$ maggiore di $M$, la probabilit\`a che $x$
differisca da $X$ per pi\`u di $\epsilon$ risulti minore di
$\delta$.  Indicando col simbolo $\Pr(E)$ la probabilit\`a
di un evento $E$, la definizione di convergenza statistica
\`e
\begin{equation} \label{eq:3.limsta}
  \forall \epsilon, \delta > 0 \quad \rightarrow
  \quad \exists M : \quad N > M \; \Rightarrow \;
  \Pr \Bigl( | x - X | \geq \epsilon \Bigr) \leq
  \delta \peq .
\end{equation}

Nel paragrafo \ref{ch:5.granum} vedremo che, dato un
qualunque evento casuale $E$ avente probabilit\`a $\Pr(E)$
di manifestarsi, si pu\`o dimostrare che la sua frequenza
relativa $f(E)$ su $N$ prove converge statisticamente a
$\Pr(E)$ all'aumentare di $N$; o, in altre parole, come
aumentando il numero di prove si possa rendere tanto
improbabile quanto si vuole che la frequenza relativa e la
probabilit\`a di un qualunque evento casuale $E$
differiscano pi\`u di una quantit\`a
prefissata.%
\index{grandi numeri, legge dei|)}%
\index{statistica!convergenza|)}

\endinput