chapter4.tex

% $Id: chapter4.tex,v 1.1 2005/03/01 10:06:08 loreti Exp $

\chapter{Elaborazione dei dati}
In questo capitolo si discute dell'organizzazione da dare ai
dati sperimentali, e su come si possano da essi ricavare
quantit\`a significative.

\section{Istogrammi}%
\index{istogrammi|(emidx}
Una volta che si disponga di un insieme di pi\`u misure
della stessa grandezza fisica (nella statistica si parla in
genere di un \emph{campione} di misure), \`e opportuno
cercare di organizzarle in modo che il loro significato
risulti a colpo d'occhio evidente; la maniera pi\`u consueta
di rappresentare graficamente le misure \`e quella di
disporle in un \emph{istogramma}.

Essendovi una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed
i punti di una retta orientata, ognuna delle nostre misure
pu\`o essere rappresentata su di essa da un punto;
l'istogramma \`e un particolare tipo di diagramma cartesiano
in cui l'asse delle ascisse \`e dedicato a tale
rappresentazione.  Tuttavia \`e facile rendersi conto del
fatto che non tutti i valori della variabile sono in
realt\`a permessi, perch\'e gli strumenti forniscono per
loro natura un insieme discreto di valori essendo limitati
ad un numero finito di cifre significative.

Conviene allora mettere in evidenza sull'asse delle ascisse
tutti i possibili valori che possono essere ottenuti da una
misura reale; cio\`e punti separati da un intervallo che
corrisponde alla cifra significativa pi\`u bassa dello
strumento, o comunque alla pi\`u piccola differenza
apprezzabile con esso se l'ultima cifra deve essere stimata
dall'osservatore (ad esempio il decimo di grado stimato ad
occhio su un goniometro avente scala al mezzo grado).

Nelle ordinate del diagramma si rappresenta poi la frequenza
assoluta con la quale i diversi valori si sono presentati;
questo si fa associando ad ognuna delle misure un rettangolo
avente area unitaria, che viene riportato con la base al di
sopra dell'intervallo appropriato ogni volta che uno dei
possibili valori \`e stato ottenuto.

Nel caso consueto in cui l'asse delle ascisse venga diviso
in intervalli aventi tutti la stessa ampiezza, tutti questi
rettangoli avranno ovviamente la stessa altezza: di modo che
\`e possibile, dall'altezza di una colonna di rettangoli
unitari sovrapposti, risalire al numero di dati del campione
aventi un determinato valore.
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{isto.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[Istogramma di un campione di misure]
  {Esempio di istogramma (100 misure ripetute della somma
    degli angoli interni di un triangolo).}
  \label{fig:4.istri}
\end{figure}

Se le frequenze assolute risultassero troppo piccole, pu\`o
essere opportuno raggruppare le misure in \emph{classi di
  frequenza};%
\index{classi di frequenza|emidx}
ciascuna classe corrispondendo ad un intervallo multiplo
opportuno del pi\`u piccolo rappresentabile discusso sopra.

Anzich\'e costruire l'istogramma riportandovi un risultato
per volta, si possono contare prima le frequenze in ciascuna
classe e disegnare sopra ognuna di esse un rettangolo avente
area corrispondente alla frequenza ivi osservata.  L'area
dell'istogramma sopra ad un qualsiasi intervallo \`e
proporzionale alla frequenza assoluta con cui si \`e
osservato un valore che cade entro di esso; uguale, se si
assume come unit\`a di misura per le aree quella del
rettangolo di altezza unitaria.  L'area totale sottesa
dall'istogramma \`e, sempre rispetto a tale unit\`a, pari al
numero di osservazioni $N$.%
\index{istogrammi|)}

\index{frequenza!cumulativa|(}%
Un'altra rappresentazione, che \`e poco usata ma vantaggiosa
perch\'e non richiede la previa (e in qualche misura
arbitraria) definizione delle classi di frequenza, \`e
quella della \emph{frequenza cumulativa}, assoluta o
relativa.%
\label{def:4.frcure}
Essa \`e definita, per ogni valore dell'ascissa $x$, dal
numero (assoluto o relativo) di volte per cui il risultato
della misura \`e stato minore o uguale a $x$: si tratta
dunque di una funzione monotona non decrescente con uno
scalino pari rispettivamente ad 1 o a $1 / N$ in
corrispondenza di ognuno degli $N$ valori osservati.
Risulta inoltre
\begin{equation*}
  0 \; = \; F(-\infty) \; \le \; F(x) \; \le \; F(+\infty)
  \; = \;
  \begin{cases}
      N & \text{(ass.)} \\[4mm]
      1 & \text{(rel.)}
  \end{cases}
\end{equation*}%
\index{frequenza!cumulativa|)}
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{cumul.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[Frequenza cumulativa relativa di un campione
    di misure]{Frequenza cumulativa relativa per le stesse
    misure della figura \ref{fig:4.istri}.}
\end{figure}

\section{Stime di tendenza centrale}%
\index{stime!di tendenza centrale|(}%
\label{ch:4.tecen}
In presenza di $N$ valori osservati di una grandezza fisica
(che non siano tutti coincidenti), si pone il problema di
definire un algoritmo che fornisca la stima migliore del
valore vero della grandezza osservata; cio\`e di determinare
quale, tra le infinite funzioni dei dati, ha la maggiore
probabilit\`a di darci il valore vero.

Ora, se supponiamo di avere eliminato tutti gli errori
sistematici, \`e intuitivo come il valore di tale stima
debba corrispondere ad una ascissa in posizione centrale
rispetto alla distribuzione dei valori osservati; sappiamo
infatti che gli errori casuali hanno uguale probabilit\`a di
presentarsi in difetto ed in eccesso rispetto al valore vero
e, \emph{se il numero di misure \`e sufficientemente
  elevato}, ci aspettiamo (sulla base della legge dei grandi
numeri)%
\index{grandi numeri, legge dei}
che la distribuzione effettiva delle frequenze non si
discosti troppo da quella teorica delle probabilit\`a.
Dunque ci si attende che i valori osservati si
distribuiscano simmetricamente rispetto al valore vero.

\subsection{La moda}%
\index{moda|(}
Nella statistica esistono varie stime della cosiddetta
\emph{tendenza centrale} di un campione; una di queste stime
\`e il valore corrispondente al massimo della frequenza,
cio\`e il valore che si \`e presentato il maggior numero di
volte (ovvero la media dei valori \emph{contigui} che
presentassero tutti la medesima massima frequenza): tale
stima (se esiste) si chiama \emph{moda} del campione, e si
indica con il simbolo $\widehat x$.

In generale per\`o la distribuzione potrebbe non avere
massimo (distribuzioni \emph{amodali}), oppure averne pi\`u
d'uno in intervalli non contigui (distribuzioni
\emph{multimodali}); anche se questo non dovrebbe essere il
caso per le distribuzioni di misure ripetute.
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{modes.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[Distribuzioni unimodali, bimodali e amodali]
  {Due distribuzioni unimodali (in alto), una bimodale (in
    basso a sinistra), una senza moda (in basso a destra);
    quest'ultima distribuzione simula il campionamento a
    istanti casuali dell'elongazione di un pendolo.}
\end{figure}
Talvolta si dice che la distribuzione non ha moda anche se
il massimo esiste, ma si presenta ad uno degli estremi
dell'intervallo che contiene le misure; non essendo in tal
caso la moda, ovviamente, una stima di tendenza centrale.

Per tutti questi motivi la moda non \`e di uso molto
frequente, e non \`e opportuna in questo contesto anche
per ragioni che saranno esaminate pi\`u avanti.%
\index{moda|)}

\subsection{La mediana}%
\index{mediana|(}
Un'altra stima di tendenza centrale di uso frequente nella
statistica (anche se non nella fisica) \`e la \emph{mediana}
di un campione: indicata col simbolo $\widetilde x$, \`e
definita come quel valore che divide l'istogramma dei dati
in due parti di uguale area\/\footnote{Il valore della
  mediana di un insieme di dati, cos\`\i\ definito, dipende
  dalla scelta delle classi si frequenza; per questo motivo
  la mediana in genere non si adopera tanto per i campioni
  sperimentali di dati, quanto per le distribuzioni
  teoriche.}; in termini meno precisi, la mediana lascia un
uguale numero di dati alla propria sinistra ed alla propria
destra\/\footnote{Basta applicare le due definizioni ad un
  insieme di dati composto dai tre valori $\{ 0, 1, 1 \}$
  per rendersi conto della differenza.}.  Usando questa
forma della definizione, per trovare la mediana di un
insieme di valori tutti distinti basta disporli in ordine
crescente e prendere il valore centrale (per un numero
dispari di misure; si prende la semisomma dei due valori
centrali se le misure sono in numero pari).

Al contrario della moda, la mediana esiste sempre; nel
diagramma della frequenza cumulativa relativa \`e definita
dall'ascissa corrispondente all'ordinata del 50\%.  Si pu\`o
dimostrare anche che la mediana $\widetilde x$ \`e quel
valore di $x$ che rende minima la somma dei valori assoluti
degli scarti delle nostre misure $x_{i}$ da $x$; cio\`e tale
che
\begin{equation*}
  \min \left\{ \sum_{i=1}^N | x_i - x | \right\}
  \: = \: \sum_{i=1}^N | x_i - \widetilde x | \peq .
\end{equation*}%
\index{mediana|)}

\subsection{La media aritmetica}%
\index{media!aritmetica!come stima di tendenza centrale|(}
\label{ch:4.medari}
La stima di gran lunga pi\`u usata della tendenza centrale
di un campione \`e la \emph{media aritmetica} $\bar x$ dei
valori osservati, definita attraverso la
\begin{equation} \label{eq:4.mediar}
  \bar x = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \peq .
\end{equation}
Propriet\`a matematiche della media aritmetica sono le
seguenti:%
\index{media!aritmetica!propriet\`a matematiche|(}
\begin{quote}
  \textsc{Propriet\`a 1:} \textit{la somma degli scarti di
    un insieme di valori dalla loro media aritmetica \`e
    identicamente nulla.}
\end{quote}
Infatti dalla definizione risulta
\begin{align}
  \sum_{i=1}^N ( x_i - \bar x ) &=
    \sum_{i=1}^N x_i - \sum_{i=1}^N  \bar x
    \notag \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N x_i - N \bar x \notag \\[1ex]
  &= N \bar x - N \bar x \notag \\
  \intertext{ed infine}
  \sum_{i=1}^N ( x_i - \bar x ) &\equiv 0 \peq
  . \label{eq:4.mprop1}
\end{align}

\begin{quote}
  \textsc{Propriet\`a 2:} \textit{la media aritmetica $\bar
    x$ di un insieme di dati numerici $x_1, x_2,\ldots, x_N$
    \`e quel valore di $x$ rispetto al quale risulta minima
    la somma dei quadrati degli scarti dalle $x_i$; cio\`e
    quel numero per il quale \`e verificata la}
  \begin{equation*}
    \min \left \{ \sum_{i=1}^N (x_i - x)^2 \right \}
    \; = \; \sum_{i=1}^N ( x_i - \bar x ) ^2 \peq .
  \end{equation*}
\end{quote}

Infatti abbiamo
\begin{align*}
  \sum_{i=1}^N (x_i-x) ^2 &=
    \sum_{i=1}^N \bigl[ (x_i-\bar x) +
    (\bar x-x) \bigr] ^2 \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N \left[ (x_i-\bar x) ^2 +
    (\bar x - x) ^2
    + 2 (x_i-\bar x) (\bar x - x) \right]
    \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N (x_i-\bar x) ^2
    \;+\; \sum_{i=1}^N (\bar x-x) ^2
    \;+\; 2(\bar x-x)\sum_{i=1}^N (x_i-\bar x) \peq ;
\end{align*}
da qui, sfruttando l'equazione \eqref{eq:4.mprop1}, si
ottiene
\begin{equation} \label{eq:4.mprop2}
  \sum_{i=1}^N (x_i-x) ^2 = \sum_{i=1}^N
    (x_i-\bar x)^2 \;+\; N(\bar x - x)^2
\end{equation}
e finalmente
\begin{equation*}
  \sum_{i=1}^N (x_i-x) ^2 \ge \sum_{i=1}^N
    (x_i-\bar x)^2 \peq .
\end{equation*}%
\index{media!aritmetica!propriet\`a matematiche|)}%
\index{media!aritmetica!come stima di tendenza centrale|)}%
\index{stime!di tendenza centrale|)}

\subsection{Considerazioni complessive}
Oltre le tre stime citate di tendenza centrale ne esistono
altre, di uso per\`o limitato a casi particolari e che non
hanno frequente uso n\'e nella statistica n\'e nella fisica;
per soli motivi di completezza citiamo qui:
\begin{itemize}
\item la \emph{media geometrica},%
  \index{media!geometrica}
  $g$, definita come la radice $N$-esima del prodotto degli
  $N$ valori rappresentati nel campione:
  \begin{equation*}
    g^N = \prod_{i=1}^N x_i \peq ;
  \end{equation*}
\item la \emph{media armonica},%
  \index{media!armonica}
  $h$, definita come il reciproco del valore medio dei
  reciproci dei dati:
  \begin{equation*}
    \frac{1}{h} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{1}{x_i} \peq
    ;
  \end{equation*}
\item la \emph{media quadratica},%
  \index{media!quadratica}
  $q$, definita come la radice quadrata del valore medio dei
  quadrati dei dati:
  \begin{equation*}
    q = \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N {x_i}^2 } \peq .
  \end{equation*}
\end{itemize}

Se la distribuzione dei dati non \`e troppo irregolare, le
prime tre stime citate per la tendenza centrale (moda,
mediana e media aritmetica) non sono molto lontane; esiste
una relazione empirica che le lega e che \`e valida per
distribuzioni non troppo asimmetriche:
\begin{equation*}
  \left| \bar x - \widehat x \right| \; \approx \; 3
  \left| \bar x - \widetilde x \right| \peq ,
\end{equation*}
cio\`e la differenza tra media aritmetica e moda \`e circa
il triplo della differenza tra media aritmetica e mediana.
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{maxbol.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[La distribuzione di Maxwell--Boltzmann]
  {I valori delle tre principali stime di tendenza centrale
    per la distribuzione di Maxwell--Boltzmann; l'unit\`a
    per le ascisse \`e il parametro $\alpha$ che compare
    nell'equazione \eqref{eq:4.maxbol}.}
  \label{fig:4.maxbol}
\end{figure}

Come esempio, nella figura \ref{fig:4.maxbol} \`e mostrato
l'andamento di una distribuzione di probabilit\`a per una
variabile (continua) che \`e di interesse per la fisica; e
nel grafico sono messi in evidenza i valori per essa assunti
dalle tre stime di tendenza centrale considerate.  Si tratta
della funzione di frequenza detta di
\emph{Maxwell--Boltzmann},%
\index{distribuzione!di Maxwell--Boltzmann}
e secondo essa sono ad esempio distribuiti, in un gas
perfetto, i moduli delle velocit\`a delle molecole:
l'equazione della curva \`e
\begin{equation} \label{eq:4.maxbol}
  y \; = \; f(v) \; = \; \frac{4}{\sqrt{\pi}} \:
  \alpha^\frac{3}{2} \, v^2 \, e^{-\alpha \, v^2}
\end{equation}
(in cui $\alpha$ \`e una costante dipendente dalla massa
delle molecole e dalla temperatura del gas).

La scelta dell'uso dell'una o dell'altra stima statistica
per determinare la tendenza centrale di un campione di
misure ripetute andr\`a decisa sulla base delle propriet\`a
delle stime stesse; pi\`u precisamente sulla base dello
studio di come si distribuiscono varie stime che si
riferiscano a campioni analoghi, cio\`e ad insiemi di misure
della stessa grandezza fisica presumibilmente affette dallo
stesso errore (eseguite  insomma in condizioni simili) e
composti da uno stesso numero di dati.  La stima che
sceglieremo dovrebbe essere la migliore, nel senso gi\`a
usato all'inizio di questo paragrafo \ref{ch:4.tecen}:
quella che ha la maggiore probabilit\`a di darci il valore
vero della grandezza misurata.

\subsection{Prima giustificazione della media}%
\index{media!aritmetica!come stima del valore vero|(} La
stima di tendenza centrale che \`e di uso generale per le
misure ripetute \`e la \emph{media aritmetica}: i motivi
sono svariati e sostanzialmente legati alle propriet\`a
statistiche della media stessa; di essi ci occuperemo ancora
pi\`u avanti.  In particolare vedremo nel paragrafo
\ref{ch:11.mepeted} che la media aritmetica \`e
effettivamente la stima \emph{migliore}, nel senso or ora
chiarito di questa frase.

A questo punto possiamo gi\`a comunque renderci conto (anche
se in maniera \emph{non rigorosa}) che la media aritmetica
di pi\`u misure dovrebbe avere un errore inferiore a quello
delle misure stesse; indichiamo con $x^*$ il valore vero
della grandezza $x$, e con $x_i$ ($i = 1, 2, \ldots, N$) le
$N$ determinazioni sperimentali di $x$: l'errore assoluto
commesso in ognuna delle misure $x_i$ sar\`a dato da
$\epsilon_i = x_i - x^*$.  L'errore assoluto della media
aritmetica \`e allora dato da
\begin{equation*}
  \bar \epsilon = \bar x - x^*
\end{equation*}
e, sfruttando la \eqref{eq:4.mediar},
\begin{equation*}
  \bar \epsilon \; = \; \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i \; - \;
  x^* \; = \; \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( x_i-x^* \right)
  \; = \; \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \epsilon_i \peq .
\end{equation*}

Se gli errori sono solo casuali, saranno ugualmente
probabili in difetto e in eccesso rispetto al valore vero; e
se le misure sono numerose gli $\epsilon_{i}$ tenderanno
quindi ad eliminarsi a vicenda nella sommatoria, che inoltre
\`e moltiplicata per un fattore
$1/N$.%
\index{media!aritmetica!come stima del valore vero|)}

\subsection{La media aritmetica espressa tramite le
  frequenze}
\label{ch:4.medpes}
Siano $x_i$, con $i = 1, \ldots, N$, gli $N$ valori del
campione di cui vogliamo calcolare la media aritmetica;
supponiamo che qualcuno dei valori ottenuti sia
\emph{ripetuto}, ad esempio che il valore $x_1$ si sia
presentato $n_1$ volte, $x_2$ si sia presentato $n_2$ volte
e cos\`\i\ via: la media aritmetica si pu\`o calcolare
come
\begin{align*}
  \bar x &= \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 +\cdots}{N}
  & (N &= n_1 + n_2 +\cdots) \peq .
\end{align*}

Indichiamo con $x_j$ ($j = 1, 2, \ldots, M$) gli $M$ valori
distinti di $x$ presenti nel campione; $n_j$ \`e la
frequenza assoluta con cui abbiamo ottenuto il valore $x_j$
nel corso delle nostre misure, ed il rapporto $n_j / N$ \`e
la frequenza relativa $f_j$ dello stesso evento casuale:
allora possiamo scrivere
\begin{equation*}
  \bar x \; = \; \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \; = \;
  \frac{1}{N} \sum_{j=1}^M n_j x_j \; = \;
  \sum_{j=1}^M \frac{n_j}{N} \, x_j \; = \;
  \sum_{j=1}^M f_j x_j \peq .
\end{equation*}

\index{media!pesata|(}%
Formule in cui si sommano valori numerici (qui gli $x_j$)
moltiplicati ciascuno per un fattore specifico ($f_j$) vanno
sotto il nome generico di \emph{formule di media pesata}:
ogni valore distinto dagli altri contribuisce infatti al
risultato finale con un \emph{peso} relativo dato dal numero
$f_j$.

\`E bene osservare come si possano definire infinite medie
pesate dei valori numerici $x_j$, corrispondenti alle
infinite differenti maniere di attribuire ad ognuno di essi
un peso; ed anche che, in genere, con il nome di ``media
pesata'' ci si riferisce a quella particolare formula che
permette di calcolare la migliore stima del valore vero di
una grandezza fisica sulla base di pi\`u misure aventi
differente precisione (l'equazione \eqref{eq:11.medpes}, che
incontreremo pi\`u avanti nel paragrafo
\ref{ch:11.mepeted}), e non alla formula precedente.%
\index{media!pesata|)}

\index{media!aritmetica!propriet\`a matematiche|(}%
Fin qui tale formula si presenta solo come un artificio per
calcolare la media aritmetica di un insieme di valori
risparmiando alcune operazioni; ma pensiamo di far tendere
all'infinito il numero di misure effettuate.  In tal caso,
se assumiamo che la frequenza relativa con cui ogni valore
si \`e presentato tenda stocasticamente alla probabilit\`a
rispettiva, in definitiva otteniamo che la media aritmetica
delle misure deve anch'essa tendere ad un limite
determinato:
\begin{equation*}%
\index{media!aritmetica!come stima del valore vero}
  \lim_{N \rightarrow \infty} \bar x \; = \;
  \sum \nolimits_j p_j x_j \peq .
\end{equation*}

In definitiva, se siamo in grado di assegnare in qualche
modo una probabilit\`a al presentarsi di ognuno dei
possibili valori di una misura, siamo anche in grado di
calcolare il valore assunto dalla media aritmetica di un
campione di quei valori nel limite di infinite misure
effettuate.%
\index{media!aritmetica!propriet\`a matematiche|)}
Di questa formula ci serviremo pi\`u avanti, una volta
ricavata appunto (sotto opportune ipotesi) la probabilit\`a
di ottenere un certo risultato dalle misure di una grandezza
fisica.

\section{Stime di dispersione}%
\index{stime!di dispersione|(}
Abbiamo sviluppato il paragrafo \ref{ch:4.tecen} partendo
dall'intuizione (giustificata con l'aiuto delle
caratteristiche degli errori casuali e della legge dei
grandi numeri) che la tendenza centrale di un insieme di
misure \`e legata al valore vero della grandezza misurata.
Cos\`\i, similmente, si intuisce che agli errori introdotti
nell'eseguire le nostre misure \`e legata un'altra grandezza
caratteristica del campione, cio\`e la sua
\emph{dispersione}: ovvero la valutazione della larghezza
dell'intervallo in $x$ in cui le misure stesse sono
distribuite attorno al valore centrale.

\subsection{Semidispersione massima e quantili}%
\index{semidispersione massima|(}%
\index{dispersione massima|see{semidispersione massima}}
La pi\`u grossolana delle stime statistiche di dispersione
si effettua trovando il massimo ed il minimo valore
osservato: la \emph{semidispersione massima} \`e definita
come la semidifferenza tra questi due valori,
\begin{equation*}
  \frac{x_{\max} - x_{\min}}{2} \peq .
\end{equation*}

Essa ha il difetto di ignorare la maggior parte dei dati e
particolarmente quelli, generalmente preponderanti, prossimi
al centro della distribuzione; inoltre normalmente aumenta
all'aumentare del numero di misure, invece di tendere ad un
valore determinato.  Il doppio della semidispersione massima
\begin{equation*}
  R = x_{\max} - x_{\min}
\end{equation*}
\`e anch'esso usato come stima della dispersione di un
campione, e viene chiamato \emph{range}.%
\index{range}%
\index{semidispersione massima|)}

\index{quantili|(}%
\index{quartili|see{quantili}}%
\index{decili|see{quantili}}%
\index{percentili|see{quantili}}%
Grandezze frequentemente usate per caratterizzare una
distribuzione nella statistica (non nella fisica) sono i
\emph{quartili}, i \emph{decili} ed i \emph{percentili}
(collettivamente \emph{quantili}), indicati con $Q_i$ ($i=1,
2, 3$); con $D_i$ ($i=1, \ldots, 9$); e con $P_i$
($i=1,\ldots, 99$) rispettivamente.  Essi sono definiti
(analogamente alla mediana) come quei valori della $x$ che
dividono la distribuzione rispettivamente in 4, 10 e 100
parti di uguale area; ovviamente vale la
\begin{equation*}
  Q_2 \: \equiv \: D_5 \: \equiv \: P_{50}
  \: \equiv \: \widetilde x \peq .
\end{equation*}

Come stima della dispersione di una distribuzione \`e usato
dagli statistici l'\emph{intervallo semiinterquartilico} $Q
= (Q_3 - Q_1) / 2$, come pure la differenza $P_{90} -
P_{10}$ tra il novantesimo ed il decimo percentile; tali
intervalli esistono sempre, ma non sono padroneggiabili
agevolmente negli sviluppi teorici.%
\index{quantili|)}

\subsection{Deviazione media assoluta (errore medio)}%
\index{errore!medio|(}%
\index{deviazione media assoluta|see{errore medio}}
Altra stima di dispersione \`e la \emph{deviazione media
  assoluta} (o \emph{errore medio}), definita come
\begin{equation*}
  \overline{ \rule{0pt}{2.0ex} | x - \bar x | } \: =
  \: \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left| x_i - \bar x \right| \peq
  ,
\end{equation*}
oppure, meno frequentemente, come
\begin{equation*}
  \overline{ \rule{0pt}{2.0ex} | x - \widetilde x | } \: = \:
  \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left| x_i - \widetilde x \right|
  \peq ;
\end{equation*}
ma anch'essa non \`e facile da trattare a ragione della
operazione non lineare costituita dal valore assoluto.%
\index{errore!medio|)}

\subsection{Varianza e deviazione standard}%
\index{varianza|(}%
\index{errore!quadratico medio|(}
La pi\`u importante (e pi\`u usata, non solo in fisica)
stima di dispersione \`e la \emph{deviazione standard}
(oppure \emph{scarto} o \emph{deviazione quadratica media})
$s$; che si definisce come la radice quadrata della
\emph{varianza}, $s^2$:
\begin{equation*}
  s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( x_i
    - \bar x \right) ^2 \peq .
\end{equation*}

Per distribuzioni non troppo asimmetriche la deviazione
media assoluta \`e circa i $\frac{4}{5}$ della deviazione
standard, e l'intervallo semiinterquartilico \`e circa i
$\frac{2}{3}$ della stessa.

Per calcolare lo scarto quadratico medio di un campione
senza l'aiuto di un calcolatore appositamente programmato,
pu\`o risultare utile sfruttare la sua seguente propriet\`a:

\begin{align*}%
\index{varianza!propriet\`a matematiche|(}
  N \, s^2 &= \sum_{i=1}^N ( x_i - \bar x ) ^2 \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N \bigl( {x_i}^2 +
    \bar x ^2 - 2 \, \bar x \, x_i \bigr) \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; + \; N \, \bar x ^2 \; - \;
    2 \, \bar x \sum_{i=1}^N x_i \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; + \; N \, \bar x ^2 \; - \;
    2 \, N \, \bar x ^2 \\[1ex]
  &= \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; - \; N \, \bar x ^2 \\
\intertext{da cui la formula}
  s^2 &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \; - \; \bar x ^2
\end{align*}
che permette un calcolo pi\`u agevole di $s^2$ accumulando
successivamente i quadrati dei valori
osservati anzich\'e quelli dei loro scarti dalla media.%
\index{varianza!propriet\`a matematiche|)}%
\index{errore!quadratico medio|)}%
\index{varianza|)}%
\index{stime!di dispersione|)}

\section{Giustificazione della media}%
\index{media!aritmetica!come stima del valore vero|(}%
\label{ch:4.giumed}
Stabiliamo quindi per convenzione che il nostro metodo per
misurare la dispersione di un campione di dati \`e quello
del calcolo della deviazione standard; accettiamo anche che
\emph{in qualche modo} questo numero sia legato all'errore
presumibilmente commesso nel corso delle misure.  Una
definizione pi\`u precisa di ci\`o che si intende con le
parole ``errore commesso'', ovverosia l'interpretazione
probabilistica dello scarto quadratico medio nei riguardi
delle misure ripetute, verr\`a data pi\`u avanti nel
paragrafo \ref{ch:9.scanor}.

Comunque, una volta assunto questo, possiamo approfondire il
discorso gi\`a cominciato sulla media aritmetica come stima
del centro della distribuzione e quindi del valore vero di
una grandezza, nel caso di misure ripetute ed in assenza di
errori sistematici.  \`E infatti possibile
provare\/\footnote{La   dimostrazione risale a Gauss%
  \index{Gauss, Karl Friedrich}
  se ci si limita alle sole operazioni lineari sui dati, e
  solo ad anni recenti per un qualsiasi algoritmo operante
  su di essi; vedi in proposito
  l'appendice~\ref{ch:e.maxlik}.} che la media aritmetica
\`e la stima del valore vero affetta \emph{dal minimo errore
  casuale},%
\index{errore!della media|(}
cio\`e avente la pi\`u piccola deviazione standard.

Riferendosi a quanto prima accennato, ci\`o significa che le
medie aritmetiche di molti campioni analoghi di $N$ misure
avranno un istogramma pi\`u stretto delle mode, delle
mediane e di qualsiasi altra misura di tendenza centrale
desumibile dagli stessi campioni; la larghezza di tale
istogramma (misurata, come abbiamo assunto, dal suo scarto
quadratico medio) sar\`a messa in relazione con lo scarto
quadratico medio delle misure da un teorema di cui ci
occuperemo nel seguito.  Da esso discender\`a anche che
l'errore statistico della media aritmetica converge a zero
al crescere indefinito del numero di dati $N$.%
\index{errore!della media|)}
Per concludere:
\begin{quote}
  \begin{enumerate}
  \item \textit{Disponendo di pi\`u misure ripetute della
      stessa grandezza fisica, si assume come migliore stima
      del valore vero di quella grandezza la loro media
      aritmetica.}
  \item \textit{Questa stima \`e pi\`u precisa di quanto non
      lo siano le singole misure, ed \`e tanto pi\`u
      attendibile quanto maggiore \`e il numero delle
      stesse.}
  \item \textit{Come valutazione dell'errore commesso nelle
      singole misure si assume il loro scarto quadratico
      medio; o meglio, per motivi che verranno chiariti in
      seguito, la quantit\`a}\/\thinspace\footnote{La
      differenza tra questa formula e quella prima citata
      non \`e praticamente avvertibile se $N$ non \`e troppo
      piccolo.}
    \begin{equation*}
      \mu = \sqrt{ \frac{\sum \limits_{i=1}^N
          ( x_i - \bar x )^2 }{N-1} } \peq .
    \end{equation*}
  \end{enumerate}
\end{quote}%
\index{media!aritmetica!come stima del valore vero|)}

\endinput