chapter8.tex

% $Id: chapter8.tex,v 1.2 2006/02/20 11:28:27 loreti Exp $

\chapter{Esempi di distribuzioni teoriche}
In questo capitolo presentiamo alcune funzioni teoriche che
rappresentano densit\`a di probabilit\`a di variabili
casuali unidimensionali (continue e discrete) che hanno
importanza per la fisica.

\section{La distribuzione uniforme}%
\index{distribuzione!uniforme|(emidx}%
\label{ch:8.distun}
Il caso pi\`u semplice, dal punto di vista teorico, \`e
quello di una variabile casuale $x$ che possa assumere solo
valori compresi in un intervallo finito avente estremi
costanti prefissati, $[ a, b ]$; e ivi con probabilit\`a
uguale per ogni punto\/\footnote{La frase \`e intuitiva, ma
  impropria; si intende qui che la probabilit\`a, per la
  variabile casuale, di cadere in un intervallino di
  ampiezza (infinitesima) prefissata $\de x$ e centrato su
  un qualsivoglia punto del dominio di definizione, ha
  sempre lo stesso valore.}.

Questo implica che la densit\`a di probabilit\`a $f(x)$ di
questa variabile debba essere definita come
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    f(x) = 0 & \quad\text{per $x<a$ e per $x>b$;}
      \\[1.5ex]
    f(x) = \dfrac{1}{b-a} = \mathrm{cost.} &
      \quad\text{per $a \leq x \leq b$.}
  \end{cases}
\end{equation*}
(il valore costante di $f(x)$ quando $x \in [ a, b ]$ \`e
fissato dalla condizione di normalizzazione).  La funzione
di distribuzione $F(x)$ della $x$ \`e data da
\begin{equation*}
  F(x) \; = \; \int_{-\infty}^x \! f(t) \, \de t \; =
  \;
  \begin{cases}
    0 & \text{per $x<a$;} \\[2ex]
    \dfrac{x-a}{b-a} & \text{per $a \leq x \leq b$;}
    \\[2ex]
    1 & \text{per $x>b$.}
  \end{cases}
\end{equation*}
I valori della media e della varianza della variabile
casuale $x$, come si pu\`o facilmente calcolare, valgono
\begin{equation} \label{eq:8.mevaun}
  \begin{cases}
    E(x) \; = \; \dfrac{a+b}{2} \\[2ex]
    \var(x) \; = \; \dfrac{\left( b-a \right)^2}{12}
    \end{cases}
\end{equation}%
\index{distribuzione!uniforme|)}

Per vedere una prima applicazione pratica della
distribuzione uniforme, supponiamo di misurare una grandezza
fisica  usando uno strumento \emph{digitale}: ad esempio una
bilancia con sensibilit\`a inversa di  1 grammo.  Se, per
semplicit\`a, escludiamo la presenza di errori sistematici,
il fatto che il display digitale indichi (ad esempio) $10$
grammi significa solo che la massa dell'oggetto pesato \`e
maggiore o uguale a questo valore e minore di $11$
grammi\/\footnote{La maggior parte degli strumenti digitali
  \emph{tronca} il valore mostrato e si comporta appunto in
  questo modo; altri invece \emph{arrotondano} il risultato
  e, se questo fosse il caso, vorrebbe dire che la massa
  dell'oggetto pesato \`e maggiore o uguale a $9.5$\un{g} e
  minore di $10.5$\un{g}.}; e tutti i valori interni a
questo intervallo ci appaiono inoltre come ugualmente
plausibili.  Per questo motivo, viste le
\eqref{eq:8.mevaun}, in casi di questo genere si attribuisce
all'oggetto pesato una massa di $10.5$\un{g} con un errore
di $1 / \sqrt{12} \approx 0.3 \un{g}$.

\subsection[Applicazione: decadimento del
    $\pi^0$]{Applicazione: decadimento del
    $\boldsymbol{\pi}^{\boldsymbol{0}}$}
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{polar.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[Le aree elementari sulla superficie di una
    sfera di raggio $R$]{Le aree elementari sulla superficie
    di una sfera di raggio $R$ (in coordinate polari).}
  \label{fig:8.sfera}
\end{figure}

Esistono, nella fisica, variabili casuali che seguono la
distribuzione uniforme: ad esempio, se una particella
instabile non dotata di momento angolare intrinseco (come il
mesone $\pi^0$), originariamente in quiete in un punto (che
supporremo sia l'origine degli assi coordinati), decade, i
prodotti di decadimento si distribuiscono uniformemente tra
le varie direzioni possibili; sostanzialmente per motivi di
simmetria, perch\'e non esiste nessuna direzione
privilegiata nel sistema di riferimento considerato
(ovverosia nessuna caratteristica intrinseca del fenomeno
che possa servire per definire uno, o pi\`u d'uno, degli
assi coordinati).

Con riferimento alla figura \ref{fig:8.sfera}, pensiamo
introdotto un sistema di coordinate polari $\{ R, \theta,
\varphi \}$: l'elemento infinitesimo di area, $\de S$, sulla
sfera di raggio $R$, che corrisponde a valori della
\emph{colatitudine} compresi tra $\theta$ e $\theta + \de
\theta$, e dell'\emph{azimuth} compresi tra $\varphi$ e
$\varphi + \de \varphi$, \`e uno pseudorettangolo di lati $R
\, \de\theta$ ed $R \sin\theta \, \de\varphi$; quindi, a
meno del segno,
\begin{gather*}
  \left| \de S \right| \; = \; R^2 \sin\theta \,
    \de\theta \, \de\varphi \; = \; - R^2 \,
    \de(\cos\theta) \, \de\varphi \\
  \intertext{mentre l'angolo solido corrispondente
    vale}
  \de\Omega \; = \; \frac{\left| \de S \right|}{R^2} \;
    = \; \sin\theta \, \de\theta \, \de\varphi \; = \;
    - \de(\cos\theta) \, \de\varphi \peq .
\end{gather*}

L'asserita uniformit\`a nell'emissione dei prodotti di
decadimento si traduce nella condizione che la
probabilit\`a, per essi, di essere contenuti in un qualsiasi
angolo solido, sia proporzionale all'ampiezza di
quest'ultimo:
\begin{equation*}
  \de P \; = \; K \, \de \Omega \; = \; K' \, \de (\cos
  \theta) \, \de \varphi
\end{equation*}
(ove $K$ e $K'$ sono due opportune costanti); ovverosia
richiede che le due variabili casuali
\begin{align*}
  u &= \cos\theta &&\text{e} & v &= \varphi
\end{align*}
abbiano distribuzione uniforme, e siano inoltre
statisticamente indipendenti tra loro (questo in conseguenza
dell'equazione \eqref{eq:6.instmu}).

\subsection{Applicazione: generazione di numeri casuali
  con distribuzione data}%
\index{pseudo-casuali, numeri|(}
Supponiamo che la variabile casuale $x$ abbia densit\`a di
probabilit\`a $f(x)$ e funzione di distribuzione%
\index{funzione!di distribuzione|(}
$F(x)$: vogliamo ora dimostrare che la variabile casuale $y
= F(x)$ \`e distribuita uniformemente nell'intervallo $[ 0,
1 ]$ \emph{qualunque} siano $f(x)$ e $F(x)$.  Chiaramente
$y$ pu\`o appartenere solo a tale intervallo; ed inoltre,
essendo funzione integrale di $f(x)$, \`e dotata della
propriet\`a di essere continua e derivabile in tutto
l'insieme di definizione e con derivata prima data da
\begin{gather*}
  y' \; = \; F'(x) \; = \; f(x) \\
  \intertext{cos\`\i\ che, ricordando l'equazione
    \eqref{eq:6.cavaun}, la densit\`a di probabilit\`a
    della nuova variabile $y$ \`e data (ove $f(x)$ non
    sia nulla) dalla}
  g(y) \; = \; \frac{f(x)}{y'(x)} \; = \;
    \frac{f(x)}{f(x)} \; \equiv \; 1
\end{gather*}
come volevamo dimostrare.%
\index{funzione!di distribuzione|)}

Supponiamo sia nota la densit\`a di probabilit\`a $f(x)$ di
una qualche variabile casuale $x$; e che si vogliano
ottenere dei numeri che si presentino secondo una legge di
probabilit\`a data appunto da questa $f(x)$.  I moderni
calcolatori numerici sono in grado di generare sequenze di
numeri casuali\/\footnote{O meglio \emph{pseudo-casuali}:
  ovverosia prodotti da un algoritmo ripetibile, quindi non
  propriamente ``imprevedibili''; ma in modo tale che le
  loro propriet\`a statistiche siano indistinguibili da
  quelle di una sequenza casuale propriamente detta.}  che
hanno distribuzione uniforme in un intervallo dipendente
dall'implementazione dell'algoritmo, e che possono a loro
volta essere usati per produrre numeri casuali con
distribuzione uniforme nell'intervallo $[0,1]$; se $y$ \`e
uno di tali numeri, e se si \`e in grado di invertire,
numericamente od analiticamente, la funzione di
distribuzione $F(x)$ della variabile casuale $x$, i numeri
\begin{equation*}
  x \; = \; F^{-1}(y)
\end{equation*}
hanno densit\`a di probabilit\`a data da $f(x)$, come
appunto richiesto.

Generalmente le funzioni di distribuzione $F(x)$ non si
sanno invertire per via analitica; un metodo numerico spesso
impiegato, e che richiede la sola preventiva conoscenza
della $f(x)$ (quindi non bisogna nemmeno saper calcolare la
$F(x)$, per non parlare della sua inversa) \`e illustrato
qui di seguito (\emph{metodo
dei rigetti}).%
\index{metodo!dei rigetti|(}
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{riget.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[Il metodo dei rigetti --- esempio]
    {La scelta di un numero a caso con distribuzione
    prefissata mediante tecniche numeriche (la densit\`a di
    probabilit\`a \`e la stessa della figura
    \ref{fig:4.maxbol}); la funzione maggiorante \`e una
    spezzata (superiormente) o la retta $y=0.9$
    (inferiormente).}
  \label{fig:8.maxbol}
\end{figure}
Si faccia riferimento alla figura \ref{fig:8.maxbol}: sia
$x$ limitata in un intervallo chiuso $[x_{\min}, x_{\max}]$
(nella figura, $x_{\min} = 0$ e $x_{\max} = 3$); e si
conosca una funzione $y=\varphi(x)$ \emph{maggiorante} della
$f(x)$, ossia una funzione che risulti comunque non
inferiore alla $f$ per qualunque $x \in [x_{\min},
x_{\max}]$.

Nel caso si sappia scegliere, sul piano $\{ x,y \}$, un
punto con distribuzione uniforme nella parte di piano
limitata inferiormente dall'asse delle ascisse,
superiormente dalla funzione $y=\varphi(x)$, e,
lateralmente, dalle due rette di equazione $x = x_{\min}$ ed
$x = x_{\max}$, basta accettare tale punto se la sua
ordinata risulta non superiore alla corrispondente $f(x)$; e
rigettarlo in caso contrario, iterando il procedimento fino
a che la condizione precedente non \`e soddisfatta: le
ascisse $x$ dei punti accettati seguono la funzione di
distribuzione $f(x)$.

Infatti, i punti accettati saranno distribuiti uniformemente
nella parte di piano limitata dalla $y=f(x)$; quindi, in un
intervallino infinitesimo centrato su una particolare $x$,
vi sar\`a un numero di punti accettati proporzionale
all'altezza della curva sopra di esso --- ovverosia ogni
ascissa $x$ viene accettata con densit\`a di probabilit\`a
che \`e proprio $f(x)$.

La scelta, infine, di un punto che sia distribuito
uniformemente nella parte di piano limitata dalla funzione
$y=\varphi(x)$ si sa sicuramente effettuare se $\varphi(x)$
\`e stata scelta in modo che si sappia invertire la sua
funzione integrale
\begin{equation*}
  \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \! \varphi(t) \, \de t
\end{equation*}
cos\`\i\ che si possa associare, a qualsiasi valore $A$
compreso tra 0 e $\Phi(+\infty)$, quella $x = \Phi^{-1}(A)$
che lascia alla propria sinistra un'area $A$ al di sotto
della funzione $y=\varphi(x)$ (una scelta banale \`e quella
di prendere come maggiorante una retta, o meglio una
spezzata --- come illustrato nella figura
\ref{fig:8.maxbol}).

In tal caso basta scegliere un numero $A$ con distribuzione
uniforme tra i limiti $\Phi(x_{\min})$ e $\Phi(x_{\max})$;
trovare la $x = \Phi^{-1}(A)$ che soddisfa la condizione
precedente; ed infine scegliere una $y$ con distribuzione
uniforme tra 0 e $\varphi(x)$.  Non \`e difficile rendersi
conto che il punto $(x,y)$ soddisfa alla condizione
richiesta di essere distribuito uniformemente nella parte
del semipiano $y>0$ limitata superiormente dalla funzione
$y=\varphi(x)$: a questo punto non rimane che calcolare la
$f(x)$ ed accettare $x$ se $y \leq f(x)$.

Se proprio non si \`e in grado di effettuare una scelta
migliore, anche una retta del tipo $y=\mathrm{cost.}$ pu\`o
andar bene; basta tener presente che l'algoritmo viene
sfruttato tanto pi\`u efficacemente quanto pi\`u
$y=\varphi(x)$ \`e vicina alla $f(x)$ (in tal caso il numero
di rigetti \`e minore).

Per questo motivo, una scelta del tipo
$\varphi(x)=\mathrm{cost.}$ \`e assolutamente da evitare se
la $f(x)$ \`e sensibilmente diversa da zero solo in una
parte ristretta dell'intervallo di definizione (perch\'e in
tal caso la scelta uniforme di $x$ all'interno dell'area su
detta ci farebbe trascorrere gran parte del tempo ad
esaminare valori poco probabili rispetto alla $\varphi(x)$,
che vengono in conseguenza quasi sempre rifiutati).%
\index{metodo!dei rigetti|)}%
\index{pseudo-casuali, numeri|)}

\subsection{Esempio: valori estremi di un campione di dati a
  distribuzione uniforme}
\index{campione!valori estremi|(}%
\label{ch:8.estremi}
Come ulteriore esempio, applichiamo le conclusioni dei
paragrafi \ref{ch:6.estremi} e \ref{ch:7.estremi} ad un
campione di valori proveniente da una distribuzione
uniforme.  Usando le espressioni per $f(x)$ e $F(x)$ che
conosciamo, ed essendo\/\footnote{All'interno
  dell'intervallo $[a,b]$; per brevit\`a ometteremo, qui e
  nel seguito, di specificare che, al di fuori di questo
  intervallo, le densit\`a di probabilit\`a sono
  identicamente nulle e le funzioni di distribuzione valgono
  o zero od uno.}
\begin{equation*}
  1 - F(x) \; = \; \frac{b - x}{b - a} \peq ,
\end{equation*}
la \eqref{eq:6.iesimo} diventa
\begin{equation*}
  f_i(x) \; = \; N \, \binom{N - 1}{i - 1} \: \frac{(x -
    a)^{i - 1} \, (b - x)^{N - i}}{(b - a)^N}
\end{equation*}
e, in particolare, per i due valori minimo e massimo
presenti nel campione le densit\`a di probabilit\`a si
scrivono
\begin{gather*}
  f_1(x) \; = \; N \, \frac{(b - x)^{N - 1}}{(b - a)^N} \\
  \intertext{e}
  f_N(x) \; = \; N \, \frac{(x - a)^{N - 1}}{(b - a)^N} \peq
  .
\end{gather*}
Come conseguenza, la speranza matematica di $x_N$ vale
\begin{align*}
  E ( x_N ) &= \int_a^b \! x \cdot f_N(x) \, \de x \\[1ex]
  &= \frac{N}{(b - a)^N} \int_a^b \bigl[ a + (x - a)
  \bigr] \, (x - a)^{N - 1} \, \de x \\[1ex]
  &= \frac{N}{(b - a)^N}\:  \left[ a \, \frac{(x - a)^N}{N}
    + \frac{(x - a)^{N + 1}}{N + 1} \right]_a^b \\[1ex]
  &= a + \frac{N}{N + 1} \, (b - a) \\[1ex]
  &= b - \frac{1}{N + 1} \, (b - a) \peq .
\end{align*}
Allo stesso modo si troverebbe
\begin{gather*}
  E ( x_1 ) \; = \; a + \frac{1}{N + 1} \, (b - a) \peq ; \\
  \intertext{e, per il generico $x_i$,}
  E ( x_i ) \; = \; a + \frac{i}{N + 1} \, (b - a) \peq . \\
  \intertext{Dopo gli opportuni calcoli, si potrebbero
    ricavare anche le varianze rispettive: che valgono}
  \var( x_1 ) \; = \; \var( x_N ) \; = \; \frac{N}{(N +
    1)^2 \, (N + 2)} \, (b - a)^2 \\
  \intertext{e}
  \var( x_i ) \; = \; \frac{i \cdot (N - i + 1)}{(N + 1)^2
    \, (N + 2)} \, (b - a)^2 \peq .
\end{gather*}

\`E immediato calcolare la speranza matematica della
semisomma del pi\`u piccolo e del pi\`u grande valore
presenti nel campione
\begin{gather*}
  d \; = \; \frac{x_1 + x_N}{2} \\
  \intertext{che vale}
  E(d) \; = \; \frac{ E(x_1) + E(x_N) }{2} \; = \;
  \frac{a+b}{2} \peq ; \\
  \intertext{come pure quella del cosiddetto \emph{range},%
    \index{distribuzione!uniforme!range|(}%
    }
  R \; = \; x_N - x_1 \\
  \intertext{per il quale}
  E(R) \; = \; E(x_N) - E(x_1) \; = \; (b - a) \left( 1 -
    \frac{2}{N + 1} \right) \peq . \\
  \intertext{Per il calcolo delle varianze, invece, si deve
    ricorrere alla distribuzione congiunta
    \eqref{eq:7.estremi}, dalla quale si pu\`o ricavare}
  \var(d) \; = \; \frac{(b - a)^2}{2 \, (N + 1) \, ( N + 2)}
  \\
  \intertext{e}
  \var(R) \; = \; \frac{2 \: (N - 1)}{(N + 1)^2 \, (N + 2)}
  \, (b - a)^2 \peq .
\end{gather*}%
\index{distribuzione!uniforme!range|)}%
\index{campione!valori estremi|)}

\section{La distribuzione normale}%
\index{distribuzione!normale|(emidx}%
\label{ch:8.gauss}
La \emph{funzione normale} (o \emph{funzione di Gauss}), che
esamineremo poi in dettaglio nel prossimo capitolo mettendo
l'accento sui suoi legami con le misure ripetute delle
grandezze fisiche, \`e una funzione di frequenza per la $x$
che dipende da due parametri $\mu$ e $\sigma$ (con la
condizione $\sigma > 0$) definita come
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{gauss.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[La distribuzione normale standardizzata]
    {L'andamento della funzione $N(x;0,1)$ per la
    \emph{variabile normale standardizzata} (ossia con media
    0 e varianza 1).}
  \label{fig:8.gauss}
\end{figure}
\begin{equation*}
  f(x) \; \equiv \; N(x; \mu, \sigma) \; = \;
    \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \, e^{ - \frac{1}{2}
    \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2} \peq .
\end{equation*}

L'andamento della funzione normale \`e quello delineato
nella figura \ref{fig:8.gauss}: quando $x = \mu$ si ha un
punto di massimo, nel quale la funzione ha il valore
$\widehat y = ( \sigma \sqrt{2 \pi} )^{-1} \approx 0.4 /
\sigma$.  La \emph{larghezza a met\`a
  altezza}\thinspace\footnote{In genere indicata con la
  sigla FWHM, acronimo di \emph{full width at half maximum};
  \`e un parametro talvolta usato nella pratica per
  caratterizzare una curva, perch\'e facile da misurare su
  un oscilloscopio.}  \`e pari all'ampiezza dell'intervallo
che separa i due punti $x_1$ ed $x_2$ di ascissa $\mu \pm
\sigma \sqrt{2 \, \ln 2}$ e di ordinata $y_1 = y_2 =
\widehat y / 2$: e vale quindi $2 \sigma \sqrt{2 \, \ln 2}
\approx 2.35 \sigma$.

La funzione generatrice dei momenti \`e definita attraverso
l'equazione \eqref{eq:6.fugemo} e, nel caso della
distribuzione normale, abbiamo
\begin{align*}
  M_x(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \! e^{
    tx} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \,
    e^{ - \frac{1}{2} \left( \frac{x -
    \mu}{\sigma} \right)^2} \de x \\[2ex]
  &= \frac{e^{ t \mu}}{\sigma \sqrt{2
    \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \! e^{
    t (x - \mu)} e^{ - \frac{1}{2} \left(
    \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2} \de x \\[2ex]
  &= \frac{e^{ t \mu}}{\sigma \sqrt{2
    \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \! e^{
    \left[ \frac{\sigma^2 t^2}{2} - \frac{(x - \mu -
    \sigma^2 t)^2}{2 \sigma^2} \right]} \, \de x
    \\[2ex]
  &= e^{ \left( t \mu + \frac{\sigma^2
    t^2}{2} \right)} \int_{-\infty}^{+\infty}
    \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \, e^{ -
    \frac{1}{2} \bigl[ \frac{x - ( \mu + \sigma^2 t
    )}{\sigma} \bigr] ^2} \de x \peq .
\end{align*}

Riconoscendo nell'argomento dell'integrale la funzione
$N(x;\mu+\sigma^2 t,\sigma)$, ovverosia la funzione normale
relativa ai parametri $\mu + \sigma^2 t$ e $\sigma$, \`e
immediato capire che esso vale 1 in conseguenza della
condizione di normalizzazione; quindi la funzione
generatrice dei momenti, per la distribuzione normale, \`e
data da
\begin{equation} \label{eq:8.fgmodn}
  M_x(t) \; = \; e^{\left( t \mu + \frac{\sigma^2
    t^2}{2} \right)}
\end{equation}
e, con passaggi simili, si potrebbe trovare la funzione
caratteristica della distribuzione normale: che vale
\begin{equation} \label{eq:8.fucadn}
  \phi_x(t) \; = \; e^{\left( i t \mu - \frac{\sigma^2
    t^2}{2} \right)} \peq .
\end{equation}

Sfruttando la \eqref{eq:8.fgmodn} \`e facile calcolare la
speranza matematica della distribuzione normale:
\begin{equation*}
  E(x) \; = \; \left. \frac{\de \, M_x(t)}{\de t}
    \right|_{t=0} \; = \; \mu \peq ;
\end{equation*}
la funzione generatrice dei momenti rispetto alla media
$\mu$ vale allora
\begin{equation} \label{eq:8.fgmmdn}
  \ob{M}_x (t) \; = \; e^{- t \mu} M_x(t) \; = \;
    e^{ \frac{\sigma^2 t^2}{2} }
\end{equation}
e dalla \eqref{eq:8.fgmmdn} si ricava poi la varianza
della $x$,
\begin{equation*}
  \var(x) \; = \; \left. \frac{\de^2 \ob{M}_x
    (t)}{\de t^2} \right|_{t=0} \; = \; \sigma^2 \peq .
\end{equation*}

Vista la simmetria della funzione, tutti i suoi momenti di
ordine dispari rispetto alla media sono nulli; mentre quelli
di ordine pari soddisfano alla formula generale (valida per
qualsiasi intero $k$)
\begin{gather}
  \mu_{2k} \; = \; E \left\{ \bigl[ x - E(x)
    \bigr]^{2k} \right\} \; = \; \frac{(2k)!}{2^k \,
    k!} \, {\mu_2} ^k \label{eq:8.mopaga} \\
  \intertext{con}
  \mu_2 \; = \; E \left\{ \bigl[ x - E(x) \bigr]^2
    \right\} \; = \sigma^2 \peq . \notag
\end{gather}

Nel caso particolare di una variabile normale con valore
medio $\mu=0$ e varianza $\sigma^2=1$ (\emph{variabile
  normale standardizzata}), la funzione generatrice dei
momenti diventa
\begin{gather*}
  M_x(t) \; \equiv \;  \ob{M}_x(t) \; = \;
    e^{\frac{t^2}{2}} \\
  \intertext{e la funzione caratteristica}
  \phi_x(t) \; = \; e^{- \frac{t^2}{2}} \peq .
\end{gather*}

Dimostriamo ora il seguente importante
\begin{quote}
  \textsc{Teorema:}%
  \index{combinazioni lineari!di variabili normali|(}%
  \label{th:8.colino}
  \textit{combinazioni lineari di variabili casuali normali
    e tutte statisticamente indipendenti tra loro sono
    ancora distribuite secondo la legge normale.}
\end{quote}
Siano $N$ variabili normali $x_k$ (con $k=1,\ldots,N$), e
siano $\mu_k$ e ${\sigma_k}^2$ i loro valori medi e le loro
varianze rispettivamente; consideriamo poi la nuova
variabile casuale $y$ definita dalla
\begin{gather*}
  y = \sum_{k=1}^N a_k \, x_k \\
  \intertext{(ove le $a_k$ sono coefficienti costanti). La
    funzione caratteristica di ognuna delle $x_k$ \`e, dalla
    \eqref{eq:8.fucadn},}
  \phi_{x_k}(t) = e^{\left( i t \mu_k -
    \frac{{\sigma_k}^2 t^2}{2} \right)} \\
  \intertext{e quella della variabile ausiliaria $\xi_k =
    a_k x_k$, dall'equazione \eqref{eq:6.fuccav},}
  \phi_{\xi_k}(t) \; = \; \phi_{x_k}(a_k t) \; =
    \;e^{\left( i a_k t \mu_k - \frac{{\sigma_k}^2
    {a_k}^2 t^2}{2} \right)} \peq . \\
  \intertext{Infine, la funzione caratteristica della
    $y$ vale, essendo}
  y = \sum_{k=1}^N \xi_k
\end{gather*}
e ricordando l'equazione \eqref{eq:6.fucacl}, applicabile
perch\'e anche le $\xi_k$ sono indipendenti tra loro,
otteniamo
\begin{align*}
  \phi_y(t) &= \prod_{k=1}^N \phi_{\xi_k}(t) \\[1ex]
  &= \prod_{k=1}^N e^{\left( i t a_k \mu_k -
    \frac{1}{2} t^2 {a_k}^2 {\sigma_k}^2 \right)} \\[1ex]
  &= e^{\left[ i t \left( \sum_k a_k \mu_k \right) -
    \frac{1}{2} t^2 \left( \sum_k {a_k}^2 {\sigma_k}^2
    \right) \right]} \\[1ex]
  &= e^{\left( i t \mu - \frac{t^2 \sigma^2}{2}
    \right)}
\end{align*}
ove si \`e posto
\begin{align*}
  \mu &= \sum_{k=1}^N a_k \, \mu_k &&\text{e} &
    \sigma^2 &= \sum_{k=1}^N {a_k}^2 {\sigma_k}^2 \peq .
\end{align*}
Questa \`e appunto la funzione caratteristica di una nuova
distribuzione normale; e, in virt\`u di uno dei teoremi
enunciati nel paragrafo \ref{ch:6.fugeca}, quanto dimostrato
prova la tesi.%
\index{combinazioni lineari!di variabili normali|)}%
\index{distribuzione!normale|)}

\section{La distribuzione di Cauchy}%
\index{distribuzione!di Cauchy|(emidx}%
\index{distribuzione!di Breit--Wigner|see{distribuzione di Cauchy}}%
\label{ch:8.cauchy}
La distribuzione di Cauchy (o \emph{distribuzione di
  Breit--Wigner}, nome con il quale \`e pi\`u nota nel mondo
della fisica) \`e definita da una densit\`a di probabilit\`a
che corrisponde alla funzione, dipendente da due parametri
$\theta$ e $d$ (con la condizione $d > 0$),
\begin{equation} \label{eq:8.cauchy}
  f(x;\theta, d) \; = \; \frac{1}{\pi d} \, \frac{1}{1
    + \left( \frac{x - \theta}{d} \right)^2} \peq .
\end{equation}
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{cauchy.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[La distribuzione di Cauchy]
    {L'andamento della distribuzione di Cauchy,
    per $\theta = 0$ e $d = 1$.}
  \label{fig:8.cauchy}
\end{figure}
Anche se la \eqref{eq:8.cauchy} \`e integrabile, e la sua
funzione integrale, ovverosia la funzione di distribuzione
della $x$, vale
\begin{equation*}
  F(x;\theta, d) \; = \; \int_{-\infty}^x \! f(t) \,
    \de t \; = \; \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan
    \left( \frac{x - \theta}{d} \right)
\end{equation*}
\emph{nessuno dei momenti esiste}, nemmeno la media.

$\theta$ \`e la mediana della distribuzione e $d$ ne misura
la larghezza a met\`a altezza, come \`e rilevabile ad
esempio dalla figura \ref{fig:8.cauchy}.  La funzione
caratteristica della distribuzione di Cauchy \`e la
\begin{gather*}
  \phi_x (t; \theta, d) = e^{ i \theta t - |t| \, d } \peq ;
  \\
  \intertext{per la cosiddetta \emph{variabile
      standardizzata},}
  u = \frac{ x - \theta }{ d }
\end{gather*}
funzione di frequenza, funzione di distribuzione e funzione
caratteristica valgono rispettivamente
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    f(u) \; = \; \dfrac{ 1 }{ \pi \left( 1 + u^2 \right) }
    \\[3ex]
    F(u) \; = \; \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \, \arctan u
    \\[3ex]
    \phi_u (t) \; = \; \displaystyle e^{ - |t| }
  \end{cases}
\end{equation*}

Secondo la funzione \eqref{eq:8.cauchy} sono, ad esempio,
distribuite le intensit\`a nelle righe spettrali di
emissione e di assorbimento degli atomi (che hanno una
ampiezza non nulla); e la massa invariante delle risonanze
nella fisica delle particelle elementari.  \`E evidente
per\`o come nella fisica la distribuzione di Cauchy possa
descrivere questi fenomeni solo in prima approssimazione:
infatti essa si annulla solo per $x \to \pm \infty$, ed \`e
chiaramente priva di significato fisico una probabilit\`a
non nulla di emissione spettrale per frequenze negative, o
di masse invarianti anch'esse negative nel caso delle
risonanze.

Per la distribuzione di Cauchy \emph{troncata}, ossia quella
descritta dalla funzione di frequenza (per la variabile
standardizzata)
\begin{equation*}
  f(u | -K \le u \le K) =
  \begin{cases}
    0 & \quad |u| > K \\[1ex]
    \dfrac{1}{2 \, \arctan K} \, \dfrac{1}{\left( 1 + u^2
      \right)} & \quad |u| \le K
  \end{cases}
\end{equation*}
(\emph{discontinua} in $u = \pm K$), esistono invece i
momenti: i primi due valgono
\begin{align*}
  E(u | -K \le u \le K) &= 0 \\
  \intertext{e}
  \var(u | -K \le u \le K) &= \frac{K}{\arctan K} - 1
\end{align*}

\index{combinazioni lineari!di variabili di Cauchy|(}%
Se le $x_k$ sono $N$ variabili casuali indipendenti che
seguono la distribuzione di Cauchy con parametri $\theta_k$
e $d_k$, una generica loro combinazione lineare
\begin{gather*}
  y = \sum_{k=1}^N a_k \, x_k \\
  \intertext{segue la stessa distribuzione: infatti la
    funzione generatrice per le $x_k$ \`e}
  \phi_{x_k} (t) = e^{ i \theta_k t - |t| d_k } \\
  \intertext{e, definendo $\xi_k = a_k x_k$ e ricordando la
    \eqref{eq:6.fuccav},}
  \phi_{\xi_k} (t) \; = \; \phi_{x_k} (a_k t) \; = \; e^{ i
    a_k \theta_k t - |t| \cdot | a_k | \, d_k } \peq ; \\
  \intertext{infine, applicando la \eqref{eq:6.fucacl},}
  \phi_y (t) \; = \; \prod_{k=1}^N \phi_{\xi_k} (t) \; = \;
  e^{ i \theta_y t - |t| d_y } \\
  \intertext{ove si \`e posto}
  \theta_y = \sum_{k=1}^N a_k \theta_k
  \makebox[40mm]{e}
  d_y = \sum_{k=1}^N |a_k| d_k \peq .
\end{gather*}%
\index{combinazioni lineari!di variabili di Cauchy|)}

Una conseguenza importante \`e che il valore medio di un
campione di misure proveniente da una popolazione che segua
la distribuzione di Cauchy con certi parametri $\theta$ e
$d$ (in questo caso tutte le $a_k$ sono uguali e valgono
$1/N$) \`e distribuito anch'esso secondo Cauchy \emph{e con
  gli stessi parametri}; in altre parole \emph{non si
  guadagna nessuna informazione} accumulando pi\`u di una
misura (e calcolando la media aritmetica del
campione)\/\footnote{Esistono altre tecniche, basate per\`o
  sull'uso della mediana, che permettono di migliorare la
  conoscenza del valore di $\theta$ disponendo di pi\`u
  di una misura.}.%
\index{distribuzione!di Cauchy|)}

\subsection{Il rapporto di due variabili normali}%
\index{rapporto di variabili!normali|(}
Siano due variabili casuali $x$ ed $y$ che seguano la
distribuzione normale standardizzata $N(0,1)$; e sia inoltre
la $y$ definita su tutto l'asse reale ad eccezione
dell'origine ($y \ne 0$).  La densit\`a di probabilit\`a
congiunta di $x$ e $y$ \`e la
\begin{gather*}
  f(x,y) \; = \; N(x; 0, 1) \cdot N(y; 0, 1) \; = \;
  \frac{1}{2 \pi} \, e^{- \frac{1}{2} x^2 } e^{ -
    \frac{1}{2} y^2 } \peq ; \\
  \intertext{definendo}
  u = \frac{x}{y} \makebox[30mm]{e} v = y
\end{gather*}
e ricordando la \eqref{eq:7.rapvar}, la densit\`a di
probabilit\`a $\varphi(u)$ della $u$ \`e la
\begin{align*}
  \varphi(u) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \!
  e^{- \frac{1}{2} \, u^2 v^2} e^{- \frac{1}{2} \, v^2} \,
  |v| \, \de v \\[1ex]
  &= \frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \! e^{- \frac{1}{2} \,
    v^2 \left( 1 + u^2 \right) } \, v \, \de v \\[1ex]
  &= \frac{1}{\pi \left( 1 + u^2 \right)} \int_0^{+\infty}
  \! e^{-t} \, \de t \\[1ex]
  &= \frac{1}{\pi \left( 1 + u^2 \right)} \left[ - e^{-t}
  \right]_0^{+\infty} \\[1ex]
  &= \frac{1}{\pi \left( 1 + u^2 \right)}
\end{align*}
Per eseguire l'integrazione si \`e effettuata la
sostituzione
\begin{equation*}
  t = \frac{1}{2} \, v^2 \left( 1 + u^2 \right)
  \makebox[40mm]{$\Longrightarrow$}
  \de t = \left( 1 + u^2 \right) v \, \de v
\end{equation*}
e si riconosce immediatamente nella $\varphi(u)$ la
densit\`a di probabilit\`a di una variabile (standardizzata)
di Cauchy: \emph{il rapporto tra due variabili normali segue
  la distribuzione di Cauchy}.%
\index{rapporto di variabili!normali|)}

\section{La distribuzione di Bernoulli}%
\index{distribuzione!di Bernoulli|(}%
\index{binomiale, distribuzione|see{distribuzione di Bernoulli}}%
\label{ch:8.binom}
Consideriamo un evento casuale ripetibile $E$, avente
probabilit\`a costante $p$ di verificarsi; indichiamo con $q
= 1 - p$ la probabilit\`a del non verificarsi di $E$ (cio\`e
la probabilit\`a dell'evento complementare \ob{E}\,).
Vogliamo ora determinare la probabilit\`a $P(x;N)$ che in
$N$ prove ripetute $E$ si verifichi esattamente $x$ volte
(deve necessariamente risultare $0 \le x \le N$).

L'evento casuale costituito dal presentarsi di $E$ per $x$
volte (e quindi dal presentarsi di \ob{E}\ per le restanti
$N - x$) \`e un evento complesso che pu\`o verificarsi in
diverse maniere, corrispondenti a tutte le diverse possibili
sequenze di successi e fallimenti; queste sono ovviamente
mutuamente esclusive, ed in numero pari a quello delle
possibili combinazioni di $N$ oggetti a $x$ a $x$, che vale
\begin{equation*}
  C^N_x \; = \; \binom{N}{x} \; = \; \frac{N!}{x! \,
    (N-x)!} \peq .
\end{equation*}

Essendo poi ognuna delle prove statisticamente indipendente
dalle altre (infatti la probabilit\`a di $E$ non cambia di
prova in prova), ognuna delle possibili sequenze di $x$
successi ed $N-x$ fallimenti ha una probabilit\`a di
presentarsi che vale $p^x q^{N-x}$; in definitiva
\begin{equation} \label{eq:8.binom}
  P(x;N) \; = \; \frac{N!}{x! \, (N-x)!} \,
    p^x q^{N-x} \peq .
\end{equation}

Questa distribuzione di probabilit\`a $ P(x;N) $ per una
variabile casuale discreta $x$ si chiama \emph{distribuzione
  binomiale} o \emph{di Bernoulli}\thinspace\footnote{I
  Bernoulli furono una famiglia originaria di Anversa poi
  trasferitasi a Basilea, numerosi membri della quale ebbero
  importanza per le scienze del diciassettesimo e del
  diciottesimo secolo; quello cui vanno attribuiti gli studi
  di statistica ebbe nome Jacob (o Jacques), visse dal 1654
  al 1705, e fu zio del pi\`u noto Daniel (cui si deve il
  teorema di Bernoulli della dinamica dei fluidi).};%
\index{Bernoulli!Jacob (o Jacques)}
vogliamo ora determinarne alcune costanti caratteristiche.

Verifichiamo per prima cosa che vale la condizione di
normalizzazione: sfruttando la formula per lo sviluppo delle
potenze del binomio, risulta
\begin{equation*}
  \sum_{x=0}^N P(x;N) \; = \;
    \sum_{x=0}^N \frac{N!}{x! \, (N-x)!}
    \, p^x q^{N-x} \; = \;
    {(p+q)}^N \; \equiv \; 1 \peq .
\end{equation*}

Vogliamo ora calcolare la speranza matematica della
variabile $x$ (ossia il numero di successi attesi, in media,
in $N$ prove): per questo useremo la stessa variabile
casuale ausiliaria gi\`a considerata nel paragrafo
\ref{ch:5.teober}, $y$, che rappresenta il numero di
successi nella generica delle $N$ prove eseguite.

Avevamo a suo tempo gi\`a calcolato, sempre nel paragrafo
\ref{ch:5.teober}, la speranza matematica della $y$
\begin{gather}
  E ( y ) \; = \; 1 \cdot p + 0 \cdot q \;
    = \; p \peq ; \notag \\
  \intertext{e, osservando che anche $y^2$
    pu\`o assumere i due soli valori 1 e 0, sempre
    con le probabilit\`a rispettive $p$ e $q$,}
  E \bigl( y^2 \bigr) \; = \; 1 \cdot p + 0
  \cdot q \; = \; p \notag \\
  \intertext{e quindi la varianza della $y$ esiste e vale}
  \var ( y ) \; = \; E \bigl( y^2
    \bigr) - \bigl[ E ( y ) \bigr] ^2
    \; = \; p - p^2 \; = \; p \, (1-p) \;= \; pq \peq
    \label{eq:8.varber} .
\end{gather}

Il numero totale $x$ di successi nelle $N$ prove \`e legato
ai valori $y_i$ della $y$ in ognuna di esse dalla
\begin{gather*}
  x = \sum_{i=1}^N y_i \\
  \intertext{e risulta quindi, per speranza matematica e
    varianza della distribuzione binomiale,}
  E(x) \; = \; E \left( \, \sum_{i=1}^N y_i
    \right) \; = \; \sum_{i=1}^N E \left( y_i
    \right) \; = \; Np \\[1ex]
  \var (x) \; = \; {\sigma_x}^2 \; = \;
    \var \left( \, \sum_{i=1}^N y_i \right) \; = \;
    \sum_{i=1}^N \var \left( y_i \right) \; = \;
    Npq \peq .
\end{gather*}

\begin{figure}[hbtp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{binom.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[La distribuzione binomiale]
    {La distribuzione binomiale, per un numero
    di prove $N=50$ e due differenti valori della
    probabilit\`a $p$.}
  \label{fig:8.figbin}
\end{figure}

\index{distribuzione!di Bernoulli!e distribuzione normale|(}%
Come \`e evidente dalla figura \ref{fig:8.figbin}, la forma
della distribuzione binomiale \`e molto simile a quella di
una curva di Gauss; si pu\`o in effetti dimostrare che
quando $N$ tende all'infinito la distribuzione di
probabilit\`a dei possibili valori tende ad una
distribuzione normale avente la stessa media $Np$ e la
stessa varianza $Npq$.  Infatti la funzione generatrice dei
momenti della distribuzione di Bernoulli \`e
\begin{align*}
  M_x(t) &= E \bigl( e^{tx} \bigr) \\[1ex]
  &= \sum_{x=0}^N e^{tx} \, \binom{N}{x} \, p^x q^{N-x}
    \\[1ex]
  &= \sum_{x=0}^N \binom{N}{x} \! \bigl( p e^t
    \bigr)^x \! q^{N-x} \\[1ex]
  &= \bigl( p e^t + q \bigr)^N \\
  \intertext{o anche, ricordando che $q=1-p$,}
  M_x(t) &= \left[ 1 + p \bigl( e^t - 1 \bigr)
    \right]^N
\end{align*}
e se, per semplificare i calcoli, ci riferiamo alla
\emph{variabile standardizzata}
\begin{gather*}
  z \; = \; \frac{x - E(x)}{\sigma_x} \; = \; \frac{x -
    Np}{\sqrt{Npq}} \; = \; ax+b \\
  \intertext{ove si \`e posto}
  a \; = \; \frac{1}{\sqrt{Npq}} \makebox[35mm]{e} b \;
    = \; - \, \frac{Np}{\sqrt{Npq}} \\
\end{gather*}
applicando la \eqref{eq:6.fgmcav} si trova
\begin{align*}
  M_z(t) &= e^{tb} \, M_x(at) \\[1ex]
  &= e^{- \frac{Np}{\sqrt{Npq}} t} \left[ 1 + p
    \left( e^{\frac{t}{\sqrt{Npq}}} - 1 \right)
    \right]^N
\end{align*}
da cui, passando ai logaritmi naturali,

\begin{align*}
  \ln M_z(t) &= - \, \frac{Np}{\sqrt{Npq}} \, t + N \,
    \ln \left[ 1 + p \left( e^{\frac{t}{\sqrt{Npq}}} -
    1 \right) \right] \\[1ex]
  &= - \, \frac{Np}{\sqrt{Npq}} \, t + N \left[ p
    \left( e^{\frac{t}{\sqrt{Npq}}} - 1 \right) -
    \frac{p^2}{2} \left( e^{\frac{t}{\sqrt{Npq}}} - 1
    \right)^2 + \right. \\[1ex]
  & \qquad \left. + \frac{p^3}{3} \left(
      e^{\frac{t}{\sqrt{Npq}}} - 1 \right)^3
    +\cdots\right] \\[1ex]
  &= - \, \frac{Np}{\sqrt{Npq}} \, t + N \left\{ p
    \left[ \frac{t}{\sqrt{Npq}} + \frac{1}{2} \,
    \frac{t^2}{Npq} + \frac{1}{6} \,
    \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}} +\cdots\right] -
    \right. \\[1ex]
  & \qquad - \frac{p^2}{2} \left[ \frac{t}{\sqrt{Npq}}
    + \frac{1}{2} \, \frac{t^2}{Npq} + \frac{1}{6} \,
    \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}} +\cdots\right]^2 +
    \\[1ex]
  & \qquad \left. + \frac{p^3}{3} \left[
    \frac{t}{\sqrt{Npq}} + \frac{1}{2} \,
    \frac{t^2}{Npq} + \frac{1}{6} \,
    \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}} +\cdots\right]^3
    +\cdots\right\} \\[1ex]
  &= N \left\{ p \left[ \frac{1}{2} \, \frac{t^2}{Npq}
    + \frac{1}{6} \, \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}}
    +\cdots\right] - \right. \\[1ex]
  & \qquad \left. - \frac{p^2}{2} \left[
    \frac{t^2}{Npq} + \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}}
    +\cdots\right] + \frac{p^3}{3} \left[
    \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}} +\cdots\right]
    \right\} \\[1ex]
  &= N \left[ \frac{1}{2} \, \frac{t^2}{Npq} \, p(1-p)
    + \frac{t^3}{(Npq)^\frac{3}{2}} \left( \frac{p}{6}
    - \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} \right) +
    \mathcal{O} \bigl( t^4 N^{-2} \bigr) \right] \\[1ex]
  &= \frac{1}{2} \, t^2 + \mathcal{O} \bigl( t^3
    N^{-\frac{1}{2}} \bigr)
\end{align*}
ove si \`e sviluppato in serie di McLaurin prima
\begin{gather*}
  \ln(1+x) \; = \; x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}
    +\cdots \\
  \intertext{e poi}
  e^x \; = \; 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}
    +\cdots
\end{gather*}
e si sono svolti i prodotti tenendo solo i termini dei primi
ordini.

Chiaramente quando $N$ viene fatto tendere all'infinito
tutti i termini eccetto il primo tendono a zero, per cui
\begin{equation*}
  \lim_{N \to \infty} M_z(t) \; = \; e^\frac{t^2}{2}
\end{equation*}
e $M_z(t)$ tende quindi alla funzione generatrice dei
momenti di una distribuzione normale standardizzata; in
conseguenza si \`e effettivamente provato, visto uno dei
teoremi citati nel paragrafo \ref{ch:6.fugeca}, che la
distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale.

In pratica, quando il numero di prove $N$ \`e elevato e la
probabilit\`a $p$ non \`e troppo vicina ai valori estremi 0
ed 1, la distribuzione binomiale \`e bene approssimata da
una distribuzione normale; in generale si ritiene che
l'approssimazione sia accettabile quando entrambi i prodotti
$Np$ e $Nq$ hanno valore non inferiore a 5.%
\index{distribuzione!di Bernoulli!e distribuzione normale|)}%
\index{distribuzione!di Bernoulli|)}

\subsection{Applicazione: decadimenti radioattivi}
Se la probabilit\`a $\Lambda_t$ per un singolo nucleo
instabile di decadere in un intervallo di tempo $t$ \`e
costante, la probabilit\`a di avere un numero prefissato di
decadimenti nel tempo $t$ in un insieme di $N$ nuclei \`e
data dalla distribuzione binomiale; in particolare, il
numero medio di decadimenti in $N$ nuclei e nel tempo $t$
\`e $N \Lambda_t$.

Se si ammette poi che $\Lambda_t$ sia proporzionale al
tempo\/\footnote{Questa ipotesi pu\`o evidentemente essere
  soddisfatta solo in prima approssimazione: basta pensare
  al fatto che $\Lambda_t$ deve raggiungere l'unit\`a solo
  dopo un tempo infinito.  In particolare, la probabilit\`a
  per un nucleo di decadere in un tempo $2t$ vale $
  \Lambda_{2t} = \Lambda_t + \left( 1 - \Lambda_t \right)
  \cdot \Lambda_t = 2 \Lambda_t - {\Lambda_t}^2$; e
  l'ipotesi fatta \`e in effetti valida solo se $\Lambda_t$
  \`e infinitesimo, o (in pratica) se l'osservazione
  riguarda un lasso di tempo trascurabile rispetto alla vita
  media.} $t$, indicando con $\lambda$ la probabilit\`a di
decadimento nell'unit\`a di tempo avremo $\Lambda_t =
\lambda t$; in un tempo infinitesimo $\de t$, il numero di
atomi $N(t)$ presente al tempo $t$ varia mediamente di
\begin{equation*}
  \de N \; = \; - N \, \lambda \:
  \de t \peq .
\end{equation*}

Separando le variabili ed integrando, il numero \emph{medio}
di atomi presenti al tempo $t$, dopo il decadimento di una
parte di quelli $N_0$ presenti all'istante iniziale $t = 0$,
\`e dato dalla
\begin{gather}
  N(t) \; = \; N_0 \, e^{- \lambda t} \label{eq:8.nt1}
    \\
  \intertext{ed il numero medio di decadimenti dalla}
  N_0 - N(t) \; = \; N_0 \bigl( 1 - e^{- \lambda t}
    \bigr) \peq . \notag
\end{gather}

La \emph{vita media}%
\index{vita media}
$\tau$ di una sostanza radioattiva si pu\`o definire come il
tempo necessario perch\'e il numero originario di nuclei si
riduca mediamente di un fattore $1/e$; quindi $ \tau = 1 /
\lambda $, e la \eqref{eq:8.nt1} si pu\`o riscrivere
\begin{equation} \label{eq:8.nt2}
  N(t) \; = \; N_0 \, e^{- \frac{t}{\tau}} \peq .
\end{equation}

\subsection{Applicazione: il rapporto di asimmetria}%
\index{rapporto di asimmetria|see{asimmetria, rapporto di}}%
\index{asimmetria, rapporto di|(}%
\label{ch:8.rasim1}
Frequentemente, nella fisica, si devono considerare
esperimenti in cui si cerca di mettere in evidenza delle
\emph{asimmetrie}; ovvero, la non invarianza della funzione
di frequenza di una qualche variabile casuale per
riflessione rispetto ad un piano.  Supponiamo, come esempio,
di considerare la possibilit\`a che un dato fenomeno abbia
una diversa probabilit\`a di presentarsi \emph{in avanti} o
\emph{all'indietro} rispetto ad una opportuna superficie di
riferimento; e di raccogliere $N$ eventi sperimentali
dividendoli in due sottoinsiemi (mutuamente esclusivi ed
esaurienti) collegati a queste due categorie, indicando con
$F$ e $B$ (iniziali delle due parole inglesi \emph{forward}
e \emph{backward}) il loro numero: ovviamente dovr\`a
risultare $N = F + B$.

Il cosiddetto \emph{rapporto di asimmetria}, $R$, si
definisce come
\begin{equation} \label{eq:8.rapasi}
  R \; = \; \frac{F - B}{F + B} \; = \; \frac{F - B}{N} \; =
  \; \frac{2F}{N} - 1 \peq :
\end{equation}
\`e ovvio sia che $-1 \leq R \leq 1$, sia che soltanto due
dei quattro valori $N$, $F$, $B$ ed $R$ sono indipendenti;
e, volendo, dall'ultima forma della \eqref{eq:8.rapasi} si
possono ricavare le espressioni di $F$ e $B$ in funzione di
$N$ ed $R$, ovvero
\begin{align*}
  F &= \frac{N (1 + R)}{2} &&\text{e} & B &= \frac{N (1 -
    R)}{2} \peq .
\end{align*}

Se indichiamo con $p$ la probabilit\`a di un evento in
avanti (e con $q = 1 - p$ quella di uno all'indietro), il
trovare esattamente $F$ eventi in avanti su un totale di $N$
ha probabilit\`a data dalla distribuzione binomiale: ovvero
\begin{gather*}
  \Pr(F) = \binom{N}{F} \, p^F (1 - p)^{N - F} \\
  \intertext{con, inoltre,}
  E(F) = Np \makebox[40mm]{e} \var(F) = N p \, (1 - p) \peq
  . \\
  \intertext{Ma, per quanto detto, c'\`e una corrispondenza
    biunivoca tra i valori di $N$ ed $F$ da una parte, e
    quello di $R$; cos\`\i\ che}
  \Pr(R) = \binom{N}{\frac{N (1 + R)}{2}} \, p^{\frac{N (1
      + R)}{2}} \, (1 - p)^{\frac{N (1 - R)}{2}} \peq ,
  \\[1ex]
  E(R) = \frac{2}{N} \, E(F) - 1 = 2 p - 1 \\
  \intertext{e}
  \var(R) = \frac{4}{N^2} \, \var(F) = \frac{4 p ( 1 -
    p)}{N} \peq .
\end{gather*}

\emph{Se il numero di eventi nel campione \`e elevato} e $p$
lontano dai valori estremi, cos\`\i\ da potere sia sfruttare
l'approssimazione normale alla distribuzione di Bernoulli,
sia pensare che risulti
\begin{align*}
  p &\simeq \frac{F}{N} &&\text{che} & q &\simeq \frac{B}{N}
  \peq ,
\end{align*}
come conseguenza anche la distribuzione di $R$ sar\`a
approssimativamente normale; e con i primi due momenti dati
da
\begin{align*}
  E(R) &\simeq 2 \, \frac{F}{N} - 1 &&\text{e} & \var(R)
  &\simeq 4 \, \frac{F B}{N^3} \peq .
\end{align*}

Del rapporto di asimmetria parleremo ancora pi\`u avanti,
nel corso di questo stesso capitolo: pi\`u esattamente nel
paragrafo \ref{ch:8.rasim2}.%
\index{asimmetria, rapporto di|)}

\subsection{La distribuzione binomiale negativa}%
\index{distribuzione!binomiale negativa|(}%
\index{binomiale negativa,
  distribuzione|see{distribuzione binomiale negativa}}
Consideriamo ancora un evento casuale $E$ ripetibile, avente
probabilit\`a costante $p$ di presentarsi (e quindi
probabilit\`a $q = 1 - p$ di non presentarsi) in una singola
prova; in pi\`u prove successive l'evento seguir\`a dunque
la statistica di Bernoulli.  Vogliamo ora calcolare la
probabilit\`a $f(x; N, p)$ che, prima che si verifichi
l'$N$-esimo successo, si siano avuti esattamente $x$
insuccessi; o, se si preferisce, la probabilit\`a che
l'$N$-simo successo si presenti nella $(N+x)$-sima prova.

L'evento casuale considerato si realizza se e solo se nelle
prime $N + x - 1$ prove si \`e presentata una delle
possibili sequenze di $N - 1$ successi e $x$ fallimenti; e
se poi, nella prova successiva, si ha un ulteriore successo.
La prima condizione, applicando la \eqref{eq:8.binom}, ha
probabilit\`a
\begin{equation*}
  \binom{N + x - 1}{N - 1} \, p^{N - 1} \, q^x \peq ;
\end{equation*}
e, vista l'indipendenza statistica delle prove tra loro,
risulta dunque
\begin{equation} \label{eq:8.bineg}
  f(x; N, p) \; = \; \binom{N + x - 1}{N - 1} \, p^N \, q^x
  \; = \; \binom{N + x - 1}{x} \, p^N \, q^x \peq .
\end{equation}
(nell'ultimo passaggio si \`e sfruttata la propriet\`a dei
coefficienti binomiali $\binom{N}{K} \equiv \binom{N}{N -
  K}$; vedi in proposito il paragrafo \ref{ch:a.combina}).

Questa distribuzione di probabilit\`a prende il nome di
\emph{distribuzione binomiale
  negativa}\thinspace\footnote{La distribuzione binomiale
  negativa \`e talvolta chiamata anche \emph{distribuzione
    di Pascal} o \emph{di P\'olya}.}; il motivo di tale nome
\`e che l'equazione \eqref{eq:8.bineg} pu\`o essere
riscritta in forma compatta sfruttando una ``estensione''
dei coefficienti binomiali che permette di definirli anche
per valori negativi di $N$.  La funzione generatrice dei
momenti \`e
\begin{gather*}
  M_x(t) \; = \; E \bigl( e^{tx} \bigr) \; = \; \left(
    \frac{p}{1 - q e^t} \right)^N \peq ; \\
  \intertext{da questa si possono poi ricavare la speranza
    matematica}
  E(x) = \frac{N q}{p} \peq , \\
  \intertext{e la varianza}
  \var(x) = N \, \frac{q}{p^2} \peq .
\end{gather*}

La distribuzione binomiale negativa con $N = 1$ prende il
nome di \emph{distribuzione geometrica};%
\index{distribuzione!geometrica|(}
la probabilit\`a \eqref{eq:8.bineg} diventa
\begin{equation*}
  f(x; p) = p q^x \peq ,
\end{equation*}
ed \`e quella dell'evento casuale consistente nell'ottenere
il primo successo dopo esattamente $x$ insuccessi; ponendo
$N = 1$ nelle formule precedenti, speranza matematica e
varianza della distribuzione geometrica sono rispettivamente
\begin{equation*}
  E(x) = \frac{q}{p} \makebox[35mm]{e} \var(x) =
  \frac{q}{p^2} \peq .
\end{equation*}%
\index{distribuzione!geometrica|)}%
\index{distribuzione!binomiale negativa|)}

\section{La distribuzione di Poisson}%
\index{distribuzione!di Poisson|(}%
\index{Poisson!distribuzione di|see{distribuzione di Poisson}}%
\label{ch:8.poisson}
Sia $E$ un evento casuale che avvenga rispettando le
seguenti ipotesi:
\begin{enumerate}
\item La probabilit\`a del verificarsi dell'evento $E$ in un
  intervallo di tempo\/\footnote{Sebbene ci si riferisca,
    per esemplificare le nostre considerazioni, ad un
    processo \emph{temporale} (e si faccia poi l'esempio del
    numero di decadimenti in un intervallo costante di tempo
    per una sostanza radioattiva come quello di una
    variabile casuale che segue la distribuzione di
    Poisson), gli stessi ragionamenti naturalmente si
    applicano anche a fenomeni fisici riferiti ad intervalli
    di differente natura, per esempio di spazio.

    Cos\`\i\ anche il numero di urti per unit\`a di
    lunghezza delle molecole dei gas segue la distribuzione
    di Poisson (se si ammette che la probabilit\`a di un
    urto nel percorrere un intervallo infinitesimo di spazio
    sia proporzionale alla sua lunghezza, ed analogamente
    per le altre ipotesi).} molto piccolo (al limite
  infinitesimo) $\de t$ \`e proporzionale alla durata di
  tale intervallo;
\item\label{it:pois2} Il verificarsi o meno dell'evento in
  un certo intervallo temporale \`e indipendente dal
  verificarsi o meno dell'evento prima o dopo di esso;
\item La probabilit\`a che pi\`u di un evento si
  verifichi in un tempo infinitesimo $\de t$ \`e
  infinitesima di ordine superiore rispetto a $\de t$.
\end{enumerate}
vogliamo ora ricavare la probabilit\`a $P(x;t)$ che in un
intervallo di tempo finito, di durata $t$, si verifichi
esattamente un numero prefissato $x$ di eventi $E$.  Usando
questa simbologia, la prima ipotesi fatta sul processo
casuale in esame si scrive
\begin{align*}
  P (1; \de t) \; &= \; \lambda \, \de t
  && \Longrightarrow &
  P (0; \de t) \; &= \; 1 - \lambda \, \de t
\end{align*}
e, viste le altre ipotesi ed applicando in conseguenza i
teoremi delle probabilit\`a totali e composte, la
probabilit\`a di avere $x$ eventi in un intervallo di tempo
lungo $t+\de t$ \`e data, a meno di infinitesimi di ordine
superiore, da
\begin{align*}
  P(x; t+\de t) &= P(x-1;t) \cdot
    P(1;\de t) + P(x;t) \cdot P(0; \de t)
    \\[1ex]
  &= P(x-1; t) \, \lambda \, \de t +
    P(x;t) \, (1 - \lambda \, \de t)
\end{align*}
cio\`e
\begin{equation*}
  \frac{P(x;t+\de t) - P(x;t)}{\de t} \; \equiv \;
    \frac{\de}{\de t} \, P(x;t) \; = \;
    - \lambda \, P(x;t) \, + \, \lambda \, P(x-1;t) \peq .
\end{equation*}

Ora, quando $x=0$, essendo chiaramente nulla la
probabilit\`a di avere un numero negativo di eventi $E$ in
un tempo qualsiasi, risulta in particolare
\begin{gather*}
  \frac{\de}{\de t} \, P(0;t) =
    - \lambda \, P(0;t) \\
  \intertext{da cui}
  P(0;t) = e^{- \lambda t}
\end{gather*}
(la costante di integrazione si determina imponendo che
$P(0;0)=1 $).  Da questa relazione si pu\`o ricavare
$P(1;t)$ e, con una serie di integrazioni successive,
$P(x;t)$: risulta
\begin{equation} \label{eq:8.poisson}
  P(x;t) = \frac{ (\lambda t)^x }{ x! } \,
    e^{-\lambda t} \peq .
\end{equation}

In questa espressione $x$ \`e l'unica variabile casuale, e
$t$ funge da parametro: se introduciamo la nuova grandezza
$\alpha = \lambda t$, possiamo scrivere
\begin{equation} \label{eq:8.poiss2}
  P(x;\alpha) = \frac{\alpha^x}{x!} \, e^{-\alpha} \peq .
\end{equation}

Questa distribuzione di probabilit\`a per una variabile
casuale (discreta) $x$ prende il nome di \emph{distribuzione
  di Poisson}\thinspace\footnote{Sim\'eon Denis Poisson
  visse in Francia dal 1781 al 1840; matematico e fisico di
  valore, si occup\`o della teoria degli integrali e delle
  serie, di meccanica, elettricit\`a, magnetismo ed
  astronomia.  Gli studi sulla distribuzione che porta il
  suo nome compaiono nel trattato del 1837 ``Recherches sur
  la probabilit\'e des jugements\ldots''.};%
\index{Poisson!Sim\'eon Denis} da essa si pu\`o ottenere, ad
esempio, la probabilit\`a di ottenere $x$ decadimenti in una
massa nota di sostanza radioattiva nel tempo $t$: infatti
per questo tipo di processi fisici risultano soddisfatte le
tre ipotesi di partenza.

\index{distribuzione!di Poisson!e distribuzione di Bernoulli|(}%
Pi\`u esattamente, la probabilit\`a di avere precisamente
$x$ decadimenti radioattivi nel tempo $t$ \`e data dalla
distribuzione binomiale; la distribuzione di Poisson \`e una
approssimazione alla distribuzione binomiale che si pu\`o
ritenere valida qualora si considerino eventi casuali di
probabilit\`a estremamente piccola, e che ci \`e possibile
vedere solo perch\'e si compiono osservazioni su un numero
molto elevato di essi: in formula, quando
\begin{equation} \label{eq:8.poival}
  p^2 \ll p \makebox[30mm]{e} p \ll Np \ll N
\end{equation}
(\emph{eventi rari su larga base statistica}).

Anche se la distribuzione di Poisson \`e, come nel caso dei
decadimenti radioattivi, una approssimazione di quella
binomiale, si preferisce per\`o sempre usarla nella pratica
al posto di quest'ultima quando le \eqref{eq:8.poival} siano
approssimativamente verificate: infatti se $N$ \`e grande i
fattoriali e le potenze presenti nella \eqref{eq:8.binom}
rendono generalmente l'espressione difficile da calcolare.%
\index{distribuzione!di Poisson!e distribuzione di Bernoulli|)}
Verifichiamo ora la condizione di normalizzazione:
\begin{equation*}
  \sum_{x=0}^{+ \infty} P(x) \; = \;
     e^{-\alpha} \sum_{x=0}^{+ \infty}
     \frac{\alpha^x}{x!} \; = \;
     e^{-\alpha} e^{\alpha} \; \equiv \; 1
\end{equation*}
(riconoscendo nella sommatoria l'espressione di uno sviluppo
in serie di McLaurin della funzione esponenziale).
Calcoliamo poi la speranza matematica di $x $:
\begin{align*}
  E(x) &= \sum_{x=0}^{+ \infty} x \,
  \frac{\alpha^x}{x!} \, e^{-\alpha} \\[1ex]
  &= \sum_{x=1}^{+ \infty} x \,
  \frac{\alpha^x}{x!} \, e^{-\alpha} \\[1ex]
  &= \alpha \, e^{-\alpha} \sum_{x=1}^{+ \infty}
  \frac{\alpha^{x-1}}{(x-1)!} \\[1ex]
  &= \alpha \, e^{-\alpha} \sum_{y=0}^{+ \infty}
  \frac{\alpha^y}{y!} \\[1ex]
  &= \alpha \, e^{-\alpha} e^\alpha \\[1ex]
  &= \alpha \peq .
\end{align*}

Nei passaggi si \`e prima osservato che il primo termine
della sommatoria ($x = 0$) \`e nullo, e si \`e poi
introdotta la nuova variabile $y = x - 1$.  Troviamo ora la
speranza matematica di $x^2$: con passaggi analoghi, si
ottiene
\begin{align*}
  E(x^2) &= \sum_{x=0}^{+ \infty} x^2
    \frac{\alpha^x}{x!} \, e^{-\alpha} \\[1ex]
  &= \alpha \sum_{x=1}^{+ \infty} x \,
    \frac{\alpha^{x-1}}{(x-1)!}
    \, e^{-\alpha} \\[1ex]
  &= \alpha \sum_{x=1}^{+ \infty}
    \bigl[ (x-1)+1 \bigr]
    \, \frac{\alpha^{x-1}}{(x-1)!} \, e^{-\alpha}
    \\[1ex]
  &= \alpha \left[ \,
    \sum_{y=0}^{+ \infty} y \,
    \frac{\alpha^y}{y!} \, e^{-\alpha} \; + \;
    \sum_{y=0}^{+ \infty} \frac{\alpha^y}{y!} \,
    e^{-\alpha} \right] \\[1ex]
  &= \alpha \left[ \,
    \sum_{y=0}^{+ \infty} y \, P(y) \; + \;
    \sum_{y=0}^{+ \infty} P(y) \right] \\[1ex]
  &= \alpha \, (\alpha + 1)
\end{align*}
e la varianza di $x$ risulta allora anch'essa data da
\begin{equation*}
  \var (x) \; = \;
    E \bigl( x^2 \bigr) - \bigl[ E(x) \bigr]^2
    \; = \; \alpha \, (\alpha+1) - \alpha^2 \; = \;
    \alpha \peq .
\end{equation*}
\begin{figure}[hbtp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{poisson.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[La distribuzione di Poisson]
    {La distribuzione di
    Poisson, per tre diversi valori del parametro
    $\alpha$.}
  \label{fig:8.poissn}
\end{figure}

La funzione generatrice dei momenti, come si potrebbe
facilmente ottenere dalla definizione, \`e la
\begin{gather}
  M_x(t) \; = \; e^{- \alpha} e^{\alpha e^t} \; = \;
  e^{\alpha \left( e^t - 1 \right)} \peq ;
  \label{eq:8.fgmpoi} \\
  \intertext{la funzione caratteristica di variabile reale}
  \phi_x (t) = e^{\alpha \left( e^{it} - 1
    \right)} \peq , \notag \\
  \intertext{e la funzione caratteristica di variabile
    complessa}
  \phi_x (z) = e^{\alpha (z - 1)} \peq .
  \label{eq:8.fcapoi}
\end{gather}
Da esse potrebbero essere ricavati tutti i momenti
successivi; i primi quattro valgono
\begin{align*}
  &\begin{cases}
    \lambda_1 \; \equiv \; E(x) \; = \; \alpha \\[1ex]
    \lambda_2 \; \equiv \; E \bigl( x^2 \bigr) \; = \;
    \alpha \, ( \alpha + 1 ) \\[1ex]
    \lambda_3 \; = \; \alpha \, \bigl[ (\alpha + 1)^2 +
    \alpha \bigr] \\[1ex]
    \lambda_4 \; =  \;\alpha \, \bigl[ \alpha^3 + 6 \alpha^2
    + 7 \alpha + 1 \bigr]
  \end{cases}
  &&\begin{cases}
    \mu_1 \; \equiv \; 0 \\[1ex]
    \mu_2 \; \equiv \; \var(x) \; = \; \alpha \\[1ex]
    \mu_3 \; = \; \alpha \\[1ex]
    \mu_4 \; = \; \alpha \, ( 3 \alpha + 1 )
  \end{cases}
\end{align*}

Un'altra conseguenza della \eqref{eq:8.fgmpoi} \`e che la
somma $w = x + y$ di due variabili casuali indipendenti che
seguano la distribuzione di Poisson (con valori medi $\xi$
ed $\eta$) segue anch'essa tale distribuzione (con valore
medio pari a $\xi + \eta$):
\begin{equation} \label{eq:8.sumpoi}
  M_w(t) \; = \; e^{ \xi \left( e^t - 1 \right) } \, e^{
    \eta \left( e^t - 1 \right) } \; = \; e^{ (\xi + \eta)
    \left( e^t - 1 \right) } \peq .
\end{equation}

\index{distribuzione!di Poisson!e distribuzione normale|(}%
Anche la distribuzione di Poisson, come si vede dai grafici
di figura \ref{fig:8.poissn}, \`e bene approssimata da una
distribuzione normale quando $\alpha$ \`e abbastanza
elevato; questo non deve stupire, visto lo stretto legame
che esiste tra la distribuzione di Poisson e quella di
Bernoulli --- il cui limite per grandi $N$ \`e appunto la
funzione di Gauss.  Volendo, si potrebbe ripetere per la
funzione generatrice \eqref{eq:8.fgmpoi} una analisi analoga
a quella a suo tempo compiuta per la distribuzione
binomiale; in questo modo si proverebbe rigorosamente il
fatto che anche la distribuzione di Poisson, per grandi
$\alpha$, tende a quella normale.

In genere si ritiene che, per valori medi $\alpha \gtrsim
8$, si possa ritenere soddisfacente l'approssimazione
normale alla distribuzione di Poisson.%
\index{distribuzione!di Poisson!e distribuzione normale|)}%
\index{distribuzione!di Poisson|)}

\subsection{Applicazione: esperimenti ``negativi''}
Si osserva un numero $N_0$ di protoni per un tempo $t$, e
non si registra alcun decadimento.  Quale \`e il limite
inferiore che si pu\`o dare sulla vita media del protone,
$\tau$, con una probabilit\`a (\emph{livello di confidenza})
del 95\%?

L'evento casuale consistente nel non avere osservato alcun
decadimento \`e somma logica di altri due eventi mutuamente
esclusivi: o il protone \`e stabile (e non pu\`o quindi
decadere); o il protone \`e instabile, e si sono inoltre
verificati 0 decadimenti nel tempo di osservazione
(supponiamo per semplicit\`a che ognuno di essi abbia poi
probabilit\`a 1 di essere osservato).

In questa seconda eventualit\`a, dalla \eqref{eq:8.nt2} si
pu\`o ricavare il numero medio di decadimenti attesi nel
tempo $t$, che \`e
\begin{equation*}
  \alpha \; = \; N_0 \left( 1 -
    e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \; \approx
    \; N_0 \, \frac{t}{\tau}
\end{equation*}
(supponendo che $\tau$ sia molto maggiore del periodo di
osservazione $t$); e da esso la probabilit\`a di osservare 0
eventi sempre nel tempo $t$, che \`e data dalla statistica
di Poisson e vale
\begin{equation*}
  P(0) \; = \; \frac{\alpha^0}{0!} \,
    e^{-\alpha} \; = \; e^{-\alpha} \peq .
\end{equation*}

Quello che si domanda \`e di calcolare, assumendo come certa
l'ipotesi che il protone sia instabile, il valore minimo che
deve avere la sua vita media perch\'e la probabilit\`a di
non osservare nulla sia almeno del 95\%: e questo avviene
quando
\begin{gather*}
  P(0) \; = \; e^{-\alpha} \; \approx \;
    e^{-N_0 \, \frac{t}{\tau}} \; \ge \;
    0.95 \\[1ex]
  - \, N_0 \, \frac{t}{\tau} \; \ge \;
    \ln 0.95 \\[1ex]
  \tau \; \ge \; - \, \frac{N_0 \, t}{\ln 0.95}
\end{gather*}
(abbiamo invertito il segno della disuguaglianza nell'ultimo
passaggio perch\'e $\ln 0.95 \approx -0.0513$ \`e un numero
negativo).

\subsection{Applicazione: ancora il rapporto di asimmetria}%
\index{asimmetria, rapporto di|(}%
\label{ch:8.rasim2}

Nel paragrafo \ref{ch:8.rasim1} abbiamo supposto che il
numero $N$ di osservazioni effettuate sia noto a priori e
costante: per\`o questo non \`e in generale corretto; e,
nella realt\`a, il numero di volte in cui un certo fenomeno
fisico si presenter\`a \`e di norma esso stesso una
variabile casuale.  Continuiamo la nostra analisi supponendo
che si tratti di un fenomeno nel quale $N$ segua la
distribuzione di Poisson con valore medio $\nu$.

Continuando ad usare gli stessi simboli del paragrafo
\ref{ch:8.rasim1}, la probabilit\`a congiunta di osservare
$N$ eventi dei quali $F$ in avanti \`e in realt\`a
\begin{align*}
  \Pr(F, N) &= \frac{\nu^N}{N!} \, e^{- \nu} \cdot
  \frac{N!}{F! \, (N - F)!} \, p^F q^{N-F} \\[1ex]
  &= \frac{ p^F q^{N-F} }{F! \, (N - F)!} \, \nu^N e^{- \nu}
  \peq ;
\intertext{o anche, cambiando coppia di variabili casuali
  passando da $\{ F, N \}$ a $\{ F, B \}$:}
  \Pr(F, B) &= \frac{p^F q^B}{F! \, B!} \, \nu^{F + B} e^{-
    \nu} \\[1ex]
  &= \frac{(\nu p)^F (\nu q)^B}{F! \, B!} \, e^{- \nu}
  \\[1ex]
  &= \frac{(\nu p)^F}{F!} \, e^{- \nu p} \cdot \frac{(\nu
    q)^B}{B!} \, e^{- \nu q} \peq .
\end{align*}
che \`e il \emph{prodotto di due funzioni di frequenza di
  Poisson}.

In definitiva abbiamo scoperto che la composizione di un
processo di Poisson e di un processo di Bernoulli equivale
al prodotto di due Poissoniane: il numero $N$ di eventi
osservato segue la statistica di Poisson; la scelta dello
stato finale $F$ o $B$ quella binomiale; ma tutto avviene
come se i decadimenti dei due tipi, in avanti ed
all'indietro, si verificassero \emph{separatamente} ed
\emph{indipendentemente} secondo la statistica di Poisson.

Accettato questo fatto appena dimostrato (ancorch\'e
inaspettato), e pensando sia ad $F$ che a $B$ come variabili
casuali statisticamente indipendenti tra loro e che seguono
singolarmente la statistica di Poisson, per il rapporto di
asimmetria \emph{asintoticamente} (ovvero per grandi $N$) si
ricava:
\begin{gather*}
  \var(F) \; = \; E(F) \; \simeq \; F \\[1ex]
  \var(B) \; = \; E(B) \; \simeq \; B
\end{gather*}
e, per il rapporto di asimmetria $R$:
\begin{align*}
  R &= \frac{F - B}{F + B} \\[1ex]
  &\simeq \frac{E(F) - E(B)}{E(F) + E(B)} + \frac{\partial
    R}{\partial F} \, \bigl[ F - E(F) \bigr] +
  \frac{\partial R}{\partial B} \, \bigl[ B - E(B) \bigr]
  \peq ; \\
  \intertext{visto che la speranza matematica degli ultimi
    due termini \`e nulla,}
  E(R) &\simeq \frac{E(F) - E(B)}{E(F) + E(B)} \\[1ex]
  &= \frac{2 F}{N} - 1 \peq ; \\[1ex]
  \var(R) &\simeq \left( \frac{\partial R}{\partial F}
  \right)^2 \var(F) + \left( \frac{\partial R}{\partial B}
  \right)^2 \var(B) \\[1ex]
  &= \frac{4}{(F + B)^4} \left[ B^2 \var(F) + F^2 \var(B)
  \right] \\[1ex]
  &= \frac{4 F B}{(F + B)^3} \\[1ex]
  &= 4 \, \frac{F B}{N^3} \peq ,
\end{align*}
e le cose, di fatto, non cambiano (almeno nel limite dei
grandi $N$) rispetto alla precedente analisi del paragrafo
\ref{ch:8.rasim1}.%
\index{asimmetria, rapporto di|)}

\subsection{La distribuzione esponenziale}%
\index{distribuzione!esponenziale|(}
Alla distribuzione di Poisson ne \`e strettamente legata
un'altra, quella \emph{esponenziale}: sia infatti un
fenomeno casuale qualsiasi che segua la distribuzione di
Poisson, ovvero tale che la probabilit\`a di osservare $x$
eventi nell'intervallo finito di tempo $t$ sia data dalla
\eqref{eq:8.poisson}; definiamo una nuova variabile casuale,
$\delta$, come l'intervallo di tempo che intercorre tra due
eventi successivi.

Visto che in un tempo $\delta$ nessun evento deve venire
osservato, la probabilit\`a che $\delta$ risulti maggiore di
un valore predeterminato $d$ coincide con la probabilit\`a
di osservare zero eventi nel tempo $d$:
\begin{gather*}
  \Pr (\delta > d) \; \equiv \; \Pr (0;d) \; = \; e^{-
    \lambda d} \\
  \intertext{e quindi la \emph{funzione di distribuzione} di
    $\delta$ \`e la}
  F(d) \; = \; \Pr (\delta \le d) \; = \; 1 - e^{- \lambda
    d}
\end{gather*}
Come conseguenza, la funzione di frequenza \`e
\emph{esponenziale}:
\begin{equation} \label{eq:8.expon}
  f(\delta) \; = \; \frac{\de \, F(\delta)}{\de \delta} \; =
  \; \lambda \, e^{- \lambda \delta} \peq ;
\end{equation}
e, volendo, da essa si pu\`o ricavare la funzione
caratteristica --- che vale
\begin{equation*}
  \phi_\delta (t) = \frac{\lambda}{\lambda - i t} \peq .
\end{equation*}

I momenti successivi della distribuzione esponenziale si
possono ottenere o integrando direttamente la funzione
densit\`a di probabilit\`a (moltiplicata per potenze
opportune di $\delta$) o derivando successivamente la
funzione caratteristica; troviamo i primi due momenti,
speranza matematica e varianza, usando questo secondo
metodo:
\begin{gather*}
  \frac{\de \, \phi_\delta (t)}{\de t} \; = \;
  \frac{\de}{\de t} \left( \frac{ \lambda }{ \lambda - i t
      } \right) \; = \; \frac{ i \lambda }{ (\lambda - i
    t)^2 } \\[2ex]
  \left. \frac{\de \, \phi_\delta (t)}{\de t} \right|_{t=0}
  \; = \; \frac{i}{\lambda} \; \equiv \; i \cdot E(\delta)
  \\
  \intertext{per cui la speranza matematica di $\delta$
    vale}
  E(\delta) = \frac{1}{\lambda} \peq ; \\
  \intertext{poi}
  \frac {\de^2 \, \phi_\delta (t)}{\de t^2} \; = \; \frac{-i
    \lambda \cdot 2 (\lambda - it)(- i)}{(\lambda - it)^4}
  \; = \; - \frac{2 \lambda}{(\lambda - it)^3} \\[2ex]
  \left. \frac {\de^2 \, \phi_\delta (t)}{\de t^2}
  \right|_{t=0} \; = \; - \frac{2}{\lambda^2} \; \equiv \;
  i^2 \, E \bigl( \delta^2 \bigr) \; = \; - E \bigl(
  \delta^2 \bigr) \peq , \\
  \intertext{ed infine la varianza \`e}
  \var (\delta) \; = \; E \bigl( \delta^2 \bigr) - \bigl[
  E(\delta) \bigr]^2 \; = \; \frac{1}{\lambda^2} \peq .
\end{gather*}

Se una variabile casuale $t$ rappresenta il tempo trascorso
tra due eventi casuali successivi che seguono una
distribuzione di Poisson, $t$ necessariamente ha una
distribuzione di probabilit\`a di tipo esponenziale data
dalla \eqref{eq:8.expon}; vogliamo ora calcolare la
probabilit\`a che $t$ sia maggiore di una quantit\`a $t_0 +
\Delta t$, \emph{condizionata} per\`o dal sapere in anticipo
che $t$ \`e sicuramente maggiore di $t_0$.  Sfruttando la
\eqref{eq:3.leprco}, abbiamo:
\begin{align*}
  \Pr( t > t_0 + \Delta t \, | \, t > t_0 ) &= \frac{ \Pr(
    t > t_0 + \Delta t ) }{ \Pr( t > t_0 ) } \\[2ex]
  &= \frac{ \int_{t_0 + \Delta t}^{+ \infty} e^{- \lambda t}
    \, \de t }{ \int_{t_0}^{+ \infty} e^{- \lambda t} \, \de
    t } \\[2ex]
  &= \frac{ \left[ -e^{-\lambda t} \right]_{t_0 + \Delta
      t}^{+ \infty} }{ \left[ -e^{-\lambda t}
    \right]_{t_0}^{+ \infty} } \\[2ex]
  &= \frac{ e^{-\lambda ( t_0 + \Delta t )} }{ e^{-\lambda
      t_0} } \\[2ex]
  &= e^{-\lambda \, \Delta t} \\[1ex]
  &\equiv \Pr \left( t > \Delta t \right) \peq .
\end{align*}

In conclusione, la distribuzione esponenziale (ovvero la
cadenza temporale di eventi casuali che seguono la
statistica di Poisson) \emph{non ricorda la storia
  precedente}: il presentarsi o meno di uno di tali eventi
in un tempo $\Delta t$ non dipende in alcun modo da quello
che \`e accaduto nell'arbitrario intervallo di tempo $t_0$
precedente; cos\`\i\ come ci dovevamo aspettare, vista
l'ipotesi numero \ref{it:pois2} formulata a pagina
\pageref{it:pois2}.%
\index{distribuzione!esponenziale|)}

\subsection{La distribuzione di Erlang}%
\index{distribuzione!di Erlang|(}%
\index{Erlang!distribuzione di|see{distribuzione di Erlang}}
La funzione di frequenza esponenziale \eqref{eq:8.expon} si
pu\`o considerare come un caso particolare di un'altra
funzione di frequenza, detta \emph{di
  Erlang}\thinspace\footnote{Agner Krarup Erlang fu un
  matematico danese vissuto dal 1878 al 1929; si occup\`o di
  analisi e di fisica oltre che di statistica.  Dette
  notevoli contributi alla tabulazione di varie funzioni, ed
  applic\`o in particolare la statistica a numerosi problemi
  relativi al traffico
  telefonico.}.%
\index{Erlang!Agner Krarup}
Supponiamo di voler trovare la densit\`a di probabilit\`a
$f_n(t; \lambda)$ dell'evento casuale consistente nel
presentarsi, dopo un tempo $t$, dell'$n$-esimo di una serie
di altri eventi che seguano la statistica di Poisson con
costante di tempo $\lambda$; la \eqref{eq:8.expon} \`e
ovviamente la prima di esse, $f_1(t; \lambda) = \lambda \,
e^{-\lambda t}$.

Il secondo evento si manifesta dopo un tempo $t$ con
densit\`a di probabilit\`a data da
\begin{align*}
  f_2(t; \lambda) &= \int_0^t f_1(x; \lambda) \, f_1(t-x;
  \lambda) \, \de x \\[1ex]
  &= \lambda^2 \int_0^t e^{ -\lambda x } \, e^{ -\lambda
    (t-x) } \, \de x \\[1ex]
  &= \lambda^2 \, e^{ -\lambda t} \int_0^t \! \de x \\[1ex]
  &= \lambda^2 \, t \, e^{ -\lambda t } \peq ;
\end{align*}
si \`e infatti supposto che il primo dei due eventi si sia
presentato dopo un tempo $x$ (con $0 < x < t$), si \`e
sfruttata l'indipendenza statistica degli eventi casuali tra
loro ed infine si \`e sommato su tutti i possibili valori di
$x$.  Allo stesso modo
\begin{align*}
  f_3(t; \lambda) &= \int_0^t f_2(x; \lambda) \, f_1(t-x;
  \lambda) \, \de x \\[1ex]
  &= \lambda^3 \int_0^t x \, e^{ -\lambda x } \, e^{
    -\lambda (t-x) } \de x \\[1ex]
  &= \lambda^3 \, e^{ -\lambda t} \int_0^t x \, \de x
  \\[1ex]
  &= \frac{ t^2 }{ 2 } \, \lambda^3 \, e^{ -\lambda t }
  \peq ;
\end{align*}
la formula generale (appunto la \emph{funzione di frequenza
  di Erlang}) \`e la
\begin{gather*}
  f_n(t; \lambda) = \frac{ t^{n-1} }{ (n-1)! } \, \lambda^n
  \, e^{ -\lambda t } \peq ,
  \intertext{con speranza matematica}
  E(t) = \frac{n}{\lambda}
  \intertext{e varianza}
  \var(t) = \frac{n}{\lambda^2} \peq .
\end{gather*}%
\index{distribuzione!di Erlang|)}

\subsection{La distribuzione composta di Poisson}%
\index{distribuzione!di Poisson!composta|(}
La \emph{distribuzione composta di Poisson} \`e quella
seguita da una variabile che sia somma \emph{di un numero
  casuale} $N$ di valori di un'altra variabile casuale $x$,
quando sia $N$ che $x$ seguono singolarmente delle
distribuzioni di Poisson.  Indichiamo con $\nu$ e $\xi$ i
valori medi delle popolazioni delle variabili $N$ e $x$
rispettivamente; le funzioni caratteristiche (di variabile
complessa) ad esse associate sono date, come sappiamo, dalla
\eqref{eq:8.fcapoi}:
\begin{gather*}
  \phi_N (z) = e^{ \nu (z -1)} \makebox[40mm]{e}
  \phi_x (z) = e^{ \xi (z -1)} \peq ; \\
  \intertext{ricordando la \eqref{eq:6.varn}, la variabile
    casuale}
  S = \sum_{i=1}^N x_i \\
  \intertext{ha funzione caratteristica di variabile
    complessa}
  \phi_S (z) \; = \; \phi_N \bigl[ \phi_x (z) \bigr] \; = \;
  e^{ \nu \left[ e^{\xi (z - 1)} - 1 \right] }
  \\
  \intertext{e funzione caratteristica di variabile reale}
  \phi_S (t) = e^{ \nu \left[ e^{\xi (e^{it} - 1)} - 1
    \right] } \peq ; \\
  \intertext{da quest'ultima poi si ricava}
  \frac{\de \, \phi_S (t)}{\de t} = \phi_S (t) \cdot \nu \,
  e^{\xi (e^{it} - 1)} \cdot \xi \, e^{it} \cdot i \\
  \intertext{ed infine}
  \left. \frac{\de \, \phi_S (t)}{\de t} \right|_{t=0} = i
  \nu \xi \peq .
  \intertext{La speranza matematica di una variabile che
    segua la distribuzione composta di Poisson vale quindi}
  E(S) = \nu \xi \peq , \\
  \intertext{e, similmente, si potrebbero ottenere}
  \var(S) = \nu \xi (1 + \xi) \\
  \intertext{per la varianza, e}
  \Pr (S) = \sum_{N=0}^\infty \left[ \frac{ (N \xi)^S }{ S!
      } \, e^{- N \xi} \cdot \frac{ \nu^N }{ N! } \, e^{-
      \nu} \right]
\end{gather*}
per la funzione di frequenza.

Quest'ultima formula non sorprende: \`e la somma (su tutti i
valori ammissibili) della probabilit\`a di ottenere un
determinato $N$, moltiplicata per la probabilit\`a di
ottenere il valore di $S$ condizionato da quello di $N$;
infatti la somma di $N$ variabili indipendenti distribuite
secondo Poisson con valore medio $\xi$ \`e ancora, in base a
quanto dedotto dall'equazione \eqref{eq:8.sumpoi}, una
variabile distribuita secondo Poisson e con valore medio $N
\xi$.%
\index{distribuzione!di Poisson!composta|)}

\subsection{Esempio: l'osservazione di un quark isolato}
Un esempio classico di applicazione delle formule precedenti
\`e la discussione di un articolo del
1969\/\footnote{McCusker e Cairns: Evidence of quarks in
  air-shower cores; Phys.~Rev.~Lett.~\textbf{23} (1969),
  pagg.~658--659.} in cui veniva annunciata l'osservazione
di un quark isolato; l'esperienza ivi descritta consisteva
nell'analizzare foto esposte in una camera a nebbia,
attraversata da un fascio di particelle (aventi carica
unitaria) che generavano tracce con un numero medio di gocce
per unit\`a di lunghezza $\alpha = 229$: su $55\updot 000$
tracce osservate ce ne era una con un numero di gocce per
unit\`a di lunghezza $n = 110$.

Questa traccia apparteneva indiscutibilmente al fascio di
particelle; la probabilit\`a che venisse osservato un numero
di gocce per unit\`a di lunghezza pari (o inferiore) a 110,
se il fenomeno \`e descritto da una distribuzione di Poisson
con media $229$, \`e data da
\begin{equation*}
  \Pr (n \le 110) \; = \; \sum_{k=0}^{110} \frac{ 229^k }{
    k! } \, e^{- 229} \; \approx \; 1.6 \times 10^{-18}
\end{equation*}
e risulta ben inferiore (per 13 ordini di grandezza!) alla
frequenza osservata $f = 1/55\updot 000 \approx 2 \times
10^{-5}$.  Per questo motivo gli autori sostenevano di avere
osservato una particella con carica frazionaria (un quark),
e che causava in conseguenza una ionizzazione assai
inferiore alle altre.

Una prima obiezione\/\footnote{Adair e Kasha: Analysis of
  some results of quark searches;
  Phys.~Rev.~Lett.~\textbf{23} (1969), pagg.~1355--1358.} fu
che, in ogni urto elementare tra le particelle del fascio e
le molecole di gas della camera, vengono generati in media
$\nu=4$ prodotti ionizzati indipendenti: e quindi 4 gocce.
Il numero medio effettivo di urti per unit\`a di lunghezza
era $229/4 = 57.25$, mentre la traccia osservata ne aveva
invece $\lambda = 110/4 = 27.5$; la probabilit\`a di
ottenere, per motivi puramente casuali, una fluttuazione
almeno pari a quella osservata doveva essere quindi
calcolata come probabilit\`a di avere meno di 28 eventi da
una distribuzione di Poisson con valore medio 57.25, che
vale
\begin{equation*}
  \Pr (n \le 110) \; = \; \sum_{k=0}^{27} \frac{ 57.25^k }{
    k! } \, e^{- 57.25} \; \approx \; 6.7 \times 10^{-6}
\end{equation*}
ed \`e quindi assai maggiore di quanto venisse ipotizzato
all'inizio dai due autori (pur mantenendosi pi\`u di 33
volte superiore alla frequenza osservata).

L'analisi del fenomeno \`e per\`o ancora pi\`u
complessa\/\footnote{Eadie, Drijard, James, Roos e Sadoulet:
  Statistical Methods in Experimental Physics; North-Holland
  Publishing Co.\ (1971), pag.~53.}: il numero $u$ di urti
elementari per unit\`a di lunghezza segue la distribuzione
di Poisson con valore medio $\lambda=57.25$, ed ogni urto
genera un numero di gocce che non \`e costante, ma segue
anch'esso la distribuzione di Poisson con valore medio
$\nu=4$; quindi il numero complessivo di gocce segue una
legge di distribuzione che \`e quella \emph{composta di
  Poisson}.

La probabilit\`a di osservare $k$ gocce per unit\`a di
lunghezza \`e quindi
\begin{gather*}
  \Pr(k) \; = \; \sum_{u=0}^\infty \left[ \frac{ (u \nu)^k
      }{ k! } \, e^{- u \nu} \cdot \frac{ \lambda^u }{ u! }
    e^{- \lambda} \right] \peq , \\
  \intertext{e la probabilit\`a cercata vale}
  \Pr (k \le 110) \; = \; \sum_{k=0}^{110} \Pr(k) \; \approx
  \; 4.7 \times 10^{-5}
\end{gather*}
(ben compatibile quindi con quanto osservato).

\subsection{Applicazione: segnale e fondo}
Supponiamo di osservare sperimentalmente un processo fisico,
per il quale il numero di eventi $s$ che potrebbero
presentarsi in un intervallo temporale prefissato (eventi di
\emph{segnale}) segua una distribuzione di Poisson con valore
medio $S$, e che indicheremo col simbolo $P(s; S)$;
\begin{equation*}
  \Pr(s) \; = \; P(s; S) \; = \; \frac{S^s}{s!} \, e^{-S}
  \peq :
\end{equation*}
in generale $S$ \`e ignoto, e ci si propone appunto di
determinarlo dall'esperimento.  Questo problema verr\`a poi
trattato anche nel paragrafo \ref{ch:11.stisuf} a pagina
\pageref{ch:11.stisuf}, usando altri metodi; qui vogliamo
solo vedere come, partendo dal dato di fatto consistente
nell'osservazione effettiva di $N$ eventi in un singolo
esperimento, si possa ricavare un \emph{limite superiore}
sui possibili valori di $S$.

Fissato arbitrariamente un valore della probabilit\`a
$\epsilon$, si tratta di trovare il valore $S_u$ per il
quale la probabilit\`a di osservare un numero di eventi non
superiore ad $N$ vale proprio $\epsilon$: vale a dire,
risolvere rispetto a $S_u$ l'equazione
\begin{equation*}
  \sum_{s=0}^N P(s; S_u) = \epsilon \peq ;
\end{equation*}
e diremo poi di poter affermare che $S \leq S_u$ con un
\emph{livello di confidenza} $\epsilon$.  Il significato
esatto della frase \`e che, se risultasse realmente $S \leq
S_u$, in una frazione pari almeno ad $\epsilon$ di
esperimenti analoghi a quello i cui risultati stiamo
esaminando ci aspetteremmo di ottenere al massimo $N$ eventi
come in esso.

Le cose si complicano in presenza di processi fisici che
possono produrre risultati che simulano il segnale: processi
fisici che indicheremo col nome complessivo di \emph{fondo}.
Se il fondo \`e presente, se \`e inoltre indipendente dal
segnale e se segue la distribuzione di Poisson con valore
medio \emph{noto} $F$, gi\`a sappiamo che la probabilit\`a
di osservare $N$ eventi in tutto \emph{tra fondo e segnale}
segue ancora la distribuzione di Poisson, con valore medio
$F+S$:
\begin{equation*}
  \Pr(N) \; \equiv \; P(N; F + S) \; = \; \frac{\left( F + S
    \right)^N}{N!} \, e^{- \left( F + S \right)} \peq .
\end{equation*}

Se sono stati realmente osservati $N$ eventi, si pu\`o
ancora determinare un \emph{limite superiore per $S$};
questo calcolando il valore $S_u$ per il quale la
probabilit\`a di osservare un numero di eventi (tra fondo e
segnale) non superiore a $N$ \emph{e condizionato all'avere
  ottenuto un numero di eventi di fondo che non pu\`o
  superare $N$} vale una quantit\`a predeterminata
$\epsilon$.  Insomma, si tratta di risolvere, rispetto a
$S_u$, l'equazione
\begin{equation} \label{eq:8.poisint}
  \frac{\sum\limits_{n=0}^N P(n; F +
    S_u)}{\sum\limits_{f=0}^N P(f; F)} = \epsilon \peq ;
\end{equation}
e, con lo steso significato della frase prima evidenziato,
potremo allora affermare che risulta $S \leq S_u$ con un
libello di confidenza $\epsilon$.
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} \input poisint.pstex_t \end{center}
  \caption[Limiti superiori sul segnale in presenza di fondo
    noto]{I limiti superiori sul segnale, ad un livello di
    confidenza fisso $\epsilon = 90\%$, in presenza di fondo noto.}
  \label{fig:8.poisint}
\end{figure}

Nella figura \ref{fig:8.poisint}, che \`e tratta dal
libretto pubblicato annualmente dal ``Particle Data Group''
(vedi la bibliografia), si possono trovare gi\`a
calcolate e rappresentate da curve continue le soluzioni
dell'equazione \eqref{eq:8.poisint} relative ad un livello
di confidenza fisso del 90\%.

\section{La distribuzione log-normale}%
\index{distribuzione!log-normale|(}
Sia una variabile casuale $y$ avente distribuzione normale
con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$: la sua densit\`a di
probabilit\`a sia insomma data dalla funzione
\begin{gather*}
  g(y) \; = \; N(y; \mu, \sigma) \; = \; \frac{1}{\sigma
    \sqrt{2\pi}} \, e^{- \frac{1}{2 \sigma^2} \left( y - \mu
    \right)^2 } \peq ; \\
  \intertext{definiamo poi una nuova variabile casuale $x$
    attraverso la relazione}
  x = e^y \makebox[30mm]{$\Longleftrightarrow$} y = \ln x \\
  \intertext{(la corrispondenza tra $x$ ed $y$ \`e
    ovviamente biunivoca).  Il dominio di definizione della
    $x$ \`e il semiasse $x > 0$ e, in base alla
    \eqref{eq:6.cavaun}, la sua densit\`a di probabilit\`a
    $f(x)$ sar\`a data da}
  f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, \frac{1}{x} \, e^{-
    \frac{1}{2 \sigma^2} \left( \ln x - \mu \right)^2 } \peq
  .
\end{gather*}

Questa funzione di frequenza si chiama \emph{log-normale};
sfruttando l'identit\`a
\begin{align*}
  \frac{\left( y - \mu - k \sigma^2 \right)^2}{2 \sigma^2} -
  k \mu - \frac{1}{2} k^2 \sigma^2 &= \frac{1}{2 \sigma^2}
  \Bigl( y^2 + \mu^2 + k^2 \sigma^4 - 2 \mu y \\[1ex]
  & \qquad  - 2 k \sigma^2 y + 2 k \mu \sigma^2 - 2 k \mu
  \sigma^2 - k^2 \sigma^4 \Bigr) \\[1ex]
  &= \frac{1}{2 \sigma^2} \left[ \left( y^2 - 2 \mu y +
      \mu^2 \right) - 2 k \sigma^2 y \right] \\[1ex]
  &= \frac{\left( y - \mu \right)^2}{2 \sigma^2} - k y
\end{align*}
se ne possono facilmente calcolare i momenti rispetto
all'origine, che valgono
\begin{align*}
  \lambda_k &= \int_0^{+\infty} \! x^k \, f(x) \, \de x
  \\[1ex]
  &= \int_{-\infty}^{+\infty} \! e^{k y} \, g(y) \, \de y
  \\[1ex]
  &= \int_{-\infty}^{+\infty} \! \frac{1}{\sigma \sqrt{2
      \pi}} \, e^{- \left[ \frac{\left( y - \mu \right)^2}{2
      \sigma^2} - k y \right]} \, \de y \\[1ex]
  &= e^{\left( k \mu + \frac{1}{2} k^2 \sigma^2 \right)}
  \int_{-\infty}^{+\infty} \! \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}
  \, e^{- \frac{\left( y - \mu - k \sigma^2 \right)^2}{2
      \sigma^2}} \, \de y \\[1ex]
  &= e^{\left( k \mu + \frac{1}{2} k^2 \sigma^2 \right)}
\end{align*}
(infatti l'integrale \`e quello di una distribuzione normale
avente $\mu + k \sigma^2$ come valore medio e $\sigma$ come
varianza --- e vale dunque uno).

In particolare
\begin{align*}
  E(x) &\equiv \lambda_1 \; = \; e^{\left( \mu +
    \frac{\sigma^2}{2} \right)} \\[1ex]
  E(x^2) &\equiv \lambda_2 \; = \; e^{\left( 2 \mu + 2
      \sigma^2 \right) } \\[1ex]
  \var(x) &= \lambda_2 - {\lambda_1}^2 \; = \; e^{\left( 2
      \mu + \sigma^2 \right)} \left( e^{\sigma^2} - 1
  \right)
\end{align*}

\begin{figure}[hbtp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} {
    \input{lognor.pstex_t}
  } \end{center}
  \caption[La distribuzione log-normale]
    {La distribuzione log-normale, per vari valori dei
    parametri ($\mu$ e $\sigma$) della funzione normale
    di partenza.}
  \label{fig:8.lognor}
\end{figure}

Nella figura \ref{fig:8.lognor} ci sono i grafici di alcune
distribuzioni log-normali corrispondenti a vari valori dei
parametri $\mu$ e $\sigma$ della funzione normale di
partenza (\emph{non} della funzione di frequenza esaminata);
per finire notiamo che, analogamente a quanto ricavato nel
teorema di pagina \pageref{th:8.colino} per quanto attiene
alle somme, si pu\`o dimostrare che il \emph{prodotto} di
variabili casuali \emph{log-normali ed indipendenti} debba
seguire \emph{una distribuzione log-normale}.%
\index{distribuzione!log-normale|)}

\section{La distribuzione normale in pi\`u dimensioni}%
\index{distribuzione!normale bidimensionale|(}
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} \input bigau2.pstex_t \end{center}
  \caption[Funzione normale bidimensionale]{La funzione
    normale in due dimensioni, nel piano $\{ u, v \}$ delle
    variabili standardizzate e per un coefficiente di
    correlazione $r = 0.8$.}
  \label{fig:8.bigau2}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} \input bigau1.pstex_t \end{center}
  \caption[Funzione normale bidimensionale (curve di
    livello)]{La sole curve di livello della stessa funzione
      rappresentata nella figura \ref{fig:8.bigau2}.}
  \label{fig:8.bigau1}
\end{figure}

Accenniamo solo brevemente alla cosiddetta
\emph{distribuzione normale bidimensionale}: per essa la
densit\`a di probabilit\`a congiunta delle due variabili $x$
ed $y$ \`e, nel caso generale, data dalla
\begin{equation*}
  f(x, y) = \frac{ e^{ \left\{ - \frac{1}{2 (1 - r^2)}
        \left[ \left( \frac{x - \mu_x}{ \sigma_x }
          \right)^2 - 2 r \frac{(x - \mu_x) (y - \mu_y
            )}{\sigma_x  \,\sigma_y} + \left( \frac{y -
              \mu_y}{ \sigma_y } \right)^2 \right]
      \right\} } }{2 \pi \, \sigma_x \, \sigma_y \sqrt{1 -
      r^2}}
\end{equation*}
o, espressa in funzione delle \emph{variabili
  standardizzate}
\begin{align*}
  u &= \frac{x - E(x)}{\sigma_x} &&\text{e} & v &= \frac{y
      - E(y)}{\sigma_y} \peq ,
\end{align*}
dalla
\begin{equation*}
  f(u,v) = \frac{ e^{ - \frac{1}{2} \frac{u^2 -2ruv +
        v^2}{1 - r^2} } }{ 2 \pi \sqrt{1 - r^2} } \peq ;
\end{equation*}
un esempio \`e dato dalle figure \ref{fig:8.bigau2} e
\ref{fig:8.bigau1}.

\begin{figure}[htbp]
  \vspace*{2ex}
  \begin{center} \input bigau3.pstex_t \end{center}
  \caption[Funzione normale bidimensionale (probabilit\`a
  condizionate)]{Le sezioni della figura \ref{fig:8.bigau2}
    con due piani di equazione $y=1$ e $y=2$
    rispettivamente: ovvero (a parte la normalizzazione) le
    densit\`a di probabilit\`a condizionate $\pi(x | y=1)$ e
    $\pi(x | y=2)$.}
  \label{fig:8.bigau3}
\end{figure}
$r$ \`e il coefficiente di correlazione lineare tra $x$ ed
$y$; $r = 0$ \`e condizione \emph{necessaria e sufficiente}
perch\'e le due variabili siano statisticamente indipendenti
tra loro.  Le due distribuzioni marginali $g(x)$ e $h(y)$
sono due funzioni normali, aventi speranza matematica e
varianza $\mu_x$ e ${\sigma_x}^2$ la prima, e $\mu_y$ e
${\sigma_y}^2$ la seconda:
\begin{align*}
  g(x) &= N(x; \mu_x, \sigma_x) &&\text{e} &
  h(y) &= N(y; \mu_y, \sigma_y) \peq .
\end{align*}
Le densit\`a di probabilit\`a condizionate sono anch'esse
sempre delle funzioni normali; come esempio, nella figura
\ref{fig:8.bigau3} si mostrano due di queste funzioni per
la stessa distribuzione di figura \ref{fig:8.bigau2}.%
\index{distribuzione!normale bidimensionale|)}

Nel caso pi\`u generale, la densit\`a di probabilit\`a di
una distribuzione di Gauss $N$-dimensionale \`e del tipo
\begin{equation} \label{eq:8.multigauss}
  f(x_1, x_2, \ldots, x_N) = K e^{- \frac{1}{2} H(x_1,
    x_2, \ldots, x_N)} \peq ,
\end{equation}
ove $H$ \`e una \emph{forma quadratica} nelle variabili
standardizzate
\begin{equation*}
  t_i = \frac{x_i - E(x_i)}{\sigma_i}
\end{equation*}
nella quale per\`o i coefficienti dei termini quadratici
sono \emph{tutti uguali}; le $t_i$ non sono generalmente
indipendenti tra loro, e quindi $H$ contiene anche i termini
rettangolari del tipo $t_i \cdot t_j$.

$K$, nella \eqref{eq:8.multigauss}, \`e un fattore di
normalizzazione che vale
\begin{equation*}
  K = \sqrt{ \frac{ \Delta }{ ( 2 \pi )^N } } \peq ;
\end{equation*}
a sua volta, $\Delta$ \`e il determinante della matrice
(\emph{simmetrica}) dei coefficienti della forma quadratica
$H$.  La condizione, poi, che la $f$ di equazione
\eqref{eq:8.multigauss} debba essere integrabile implica che
le ipersuperfici di equazione $H = \mathrm{cost.}$ siano
tutte al finito, e siano quindi \emph{iperellissi} nello
spazio $N$-dimensionale dei parametri; le funzioni di
distribuzione marginali e condizionate di \emph{qualsiasi}
sottoinsieme delle variabili sono ancora \emph{sempre
  normali}.

Si pu\`o inoltre dimostrare che \emph{esiste sempre} un
cambiamento di variabili $x_i \to y_k$ che muta $H$ nella
cosiddetta \emph{forma canonica} (senza termini
rettangolari); in tal caso
\begin{gather*}
  \Delta = \left[ \prod_{k=1}^N \var(y_k) \right]^{-1}
  \intertext{e}
  f(y_1,\ldots,y_k) = \frac{1}{\sqrt{\prod\limits_{k=1}^N
      \left[ 2 \pi \var(y_k) \right] }} \, e^{- \frac{1}{2}
    \sum\limits_{k=1}^N \frac{\left[ y_k - E(y_k)
      \right]^2}{\var(y_k)} } \peq :
\end{gather*}
e le $y_k$ sono quindi tutte \emph{statisticamente
  indipendenti} (oltre che normali).

\endinput