4-diskussion.tex

\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\newpage
\section{Telegrafenrauschen in Samarium-Erbium-Orthoferrit}

\todo{Roter Faden!}
\todo{Überschriften}
\todo{gibt es offizielle namen für die verwendeten Eigenbezeichnungen?}
\todo{mehr direkte refernezen auf Plots}

\todo{Einleitung und Beschreibung \cref{fig:bsp-run}}

Der betrachtete Orthoferrit besteht aus vier Untergittern, welche jeweils eine andere Gleichgewichtsmagnetisierung \(\vec{S}_i\) besitzen. Im nachfolgenden Bereich wird die normierte resultierende Magnetisierung (Überlagerung der vier Untergitter) verwendet.

\begin{align}
    % \mu_{1} &=  \mu_{2} = \mu_{3} = \mu_{4} = \num{3.66}\mu_B \\
    \vec{m} &= \frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 \vec{S}_i
\end{align}

Das Telegrafenrauschen tritt am untersuchten Reorientierungsübergang (siehe \cref{fig:bc-crit-temp}) in c-Richtung auf, weshalb nur diese Komponente betrachtet wird.

% Eine Simulation, von einem \(192 \times 192 \times 192\) Gitter mit einem simulierten Zeitraum von \qnt{1.2}{\nano\second} mit einer numerischen Schrittweite von \qnt{20}{\femto\second} benötigt etwa drei Tage Rechenzeit auf einer Nvidia RTX 2080 Ti Grafikkarte. 

In diesem Simulationszeitraum sind im optimalen Temperaturbereich (um mehrere eindeutige Schaltvorgänge zu beobachten) wie z.B  in \cref{fig:bsp-run} etwa 15-25 Schaltvorgänge pro Simulation zu beobachten.

Um mehr Schaltvorgänge pro Simulation betrachten zu können, wurde der Simulationszeitraum später teilweise verdoppelt.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/theo-vis/example-telegraph-sim.pdf}
    \caption[Einzelne Simulationskurve von \(m_c\) bei \(T \approx \qnt{302}{\kelvin}\)]{Einzelne Simulationskurve von \(m_c\) bei \(T \approx \qnt{302}{\kelvin}\). Im Zeitraum \(<0\) ist hierbei die Equilibrierung zu sehen
    }\label{fig:bsp-run}
\end{figure}

\subsection{Extraktion des Telegrafenrauschens}

Um das in \cref{fig:bsp-run} gezeigte Telegrafenrauschen zu extrahieren wird der Algorithmus aus \cref{sec:algo} angewandt.
Das Histogramm, über das die Zustände bestimmt werden, ist in \cref{fig:extraktion-tgr} rechts zu sehen. Im linken Plot sieht man dabei, dass der Algorithmus funktioniert. Die rote Linie beschreibt die Zustandswechsel, so wie man sie manuell auch einzeichneen würde.  Auf dem kurzen Intervall ist (im rechten Plot) bereits gut erkennbar, dass die doppelte Gaußverteilung den Bereich zwischen den zwei Niveaus nicht gut beschreibt. Außerhalb der Nivaus und and den Niveauspitzen passt der Fit aber sehr gut. Zum Vergleich wird in \cref{fig:fit_func_comp} zusätzlich versucht mit einer doppelten Lorentzverteilung die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung zu fitten.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/Bz_0mT/mc_fit_hist_part2_26.03meV.pdf}
    \caption[Extraktion des Telegrafenrauschen mit Hilfe des Algorithmus aus \cref{sec:algo}]{Extraktion des Telegrafenrauschen mit Hilfe des Algorithmus aus \cref{sec:algo}. Die Fitfunktion im rechten Plot ist dabei ein doppelter Gauß-Peak über den den die Intervalle der beiden Zustände bestimmt werden. Das bereinigte Telegrafenrauschen ist im linken Plot in rot zu sehen.\todo{in Legende hinzufügen} Die Differenz zwischen bereinigtem Telegrafenrauschen und dem rohen Signal ist in grün zu sehen.}\label{fig:extraktion-tgr}
\end{figure}

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den zwei Zuständen ist deutlich größer, als bei zwei überlagerte Gaußverteilungen anzunehmen wäre. Bei zwei Lorentzverteilungen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Randbereich jedoch nicht passend.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/theo-vis/hist_fit_comp.pdf}
    \caption{Vergleich von verschiedenen Verteilungsfunktionen um die Wahrscheinlichkeitsdichte $P(m_c)$ zu fitten.}\label{fig:fit_func_comp}
\end{figure}

Die erhöhte Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich zwischen den zwei Zuständen lässt sich aufgrund eines lokalen Maximums im Potential erklären. Da es sich um ein Maximum handelt existiert hier kein stabiler Zustand.

Um den Einfluss des lokalen Maximums zu analysieren zu können wäre ein komplexerer Algorithmus mit drei Niveaus notwendig. Mit drei statt zwei Gaußverteilungen das Histogramm zu fitten sollte kein Problem sein. Anhand der Fitparameter für jeden zu entscheiden in welchem Niveau sich das Teilchen befindet ist aber deutlich schwieriger und würde wahrscheinlich nicht zuverlässig funktionieren.
Außerdem ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit doch verhältnismäßig klein, weshalb für den Rahmen dieser Arbeit nur die zwei deutlichen Niveaus betrachtet werden.

\subsection{Einfluss verschiedener Temperaturen}

% Das Telegrafenrauschen tritt ja nur an der Reorientierungstemperatur auf. 
% Daher wird die Temperatur varriert, um zu beobachten, wie das Telegrafenrauschen entsteht und wieder verschwindet.

Im Rahmen der Masterarbeit von Julius Schlegel \cite{schlegel-master} wurden bereits Simulationen für verschiedene Temperaturen durchgeführt. Diese Daten wurden für diesen Teil der Analyse verwendet

\subsubsection{Betrachtung in der Zeitdomäne}

Da aus der Simulation das Rauschsignal direkt gewonnen werden kann, bietet es sich an dieses statistisch zu untersuchen.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/temp_comparison_long/mc_time.pdf}
    \caption[\(m_c\) im zeitlichen Verlauf für verschiedene Temperaturen. Die Daten sind jeweils aus einem einzelnen Simulationslauf.]{\(m_c\) im zeitlichen Verlauf für verschiedene Temperaturen. Die Daten sind jeweils aus einem einzelnen Simulationslauf. Die Colormap ist hierbei identisch zu der in \cref{fig:temp-hist}. Die y-achse reicht jeweils von \num{-2e-3} bis \num{+2e-3}}\label{fig:temp-time}
\end{figure}

Unterhalb von \qnt{300}{\kelvin} existiert nur ein einzelner Zustand, um den \(m_c\) fluktuiert. Je höher die Temperatur wird, desto stärker bilden sich die beiden Zustände aus und das Telegrafenrauschen wird deutlicher sichtbar. Wenn die Temperatur weiter erhöht wird, ist die mittlere Aufenthaltszeit ab \(\approx\SI{305}{\kelvin}\) größer als der Simulationszeitraum und kann kein Schaltvorgang mehr beobachtet werden.


\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{Temperaturbereich mit sichtbarem Telegrafenrauschen \label{fig:temp-hist-tg}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison_long/mc_hist_tgr.pdf}}
    \subcaptionbox{größerer Temperaturbereich um den Reorientierungsübergang \label{fig:temp-hist-long}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison_long/mc_hist.pdf}}
    \caption{Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von \(m_c\) für eine Kombination von mehreren Simulationsläufen.}\label{fig:temp-hist}    
\end{figure}

Da die mittlere Aufenthaltszeit  für hohe Temperaturen ähnlich groß, wie der Simulationszeitraum ist, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der beiden Zustände (in den Simulationsdaten) hier teilweise stark unterschiedlich.
Aus theoretischer Sicht sollten die beiden Niveaus für die gelb-orangenen plots in \cref{fig:temp-hist} gleich groß sein. Aufgrund der kurzen Simulationszeit und der geringen Anzahl an Schaltvorgängen, ist dies hier aber nicht der Fall.

Da der Einschwingvorgang mit einem positiven Startwert (was \(m_c\) angeht beginnt, landet das System immer zuerst im oberen Niveau. Bei den Temperaturen oberhalb von \qnt{305}{\kelvin}, wechselt es nichtmehr von dort nicht ins untere Niveau. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/temp_comparison_long/mc_diff_hist.pdf}
    \caption{Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung für Differenz zwischen rohem Signal und extrahiertem Telegrafenrauschen von \(m_c\) (entspricht extrahiertem statistisches Rauschen)}\label{fig:temp-diff-hist}    
\end{figure}

Bei einer Erhöhung der Temperatur wird texalso der Abstand der Zwei Zustände größer und ein Wechsel seltener. Doch welchen Einfluss hat dies auf die Verteilung des restlichen statistischen Rauchens?

Wenn vom rohen Signal das Telegrafenrauschen abgezogen wird (oder der Mittelwert, wenn nur ein Zustand existiert), bleibt ein statistisches Rauschen übrig, dessen Histogramm (siehe \cref{fig:temp-diff-hist}) einer Gaußverteilung ähnelt.

Die Kurven im mittleren Temperaturbereich weichen in ihrer Form deutlich von einer Gaußverteilung ab. Sie haben im Randbereich deutlich größere Werte und enden in einem senkrechten Abfall. Die Gründe dafür sind einerseits die Schwellenwerte, die der Algorithmus für die Zustände bestimmt hat. 

Andererseits ist das in \cref{fig:fit_func_comp} beobachtete lokale Maximum im Potential für eine Veränderung der Verteilung verantwortlich. 

Interessanterweise verändert sich die Form der Verteilung in \cref{fig:temp-diff-hist} für die Temperaturen mit stabilem Telegrafenrauschen nicht signifikant. Die Kurven liegen fast direkt übereinander.

Nachfolgend werden meist nur noch die 6 simulierten Temperaturen mit klar erkennbarem Telegrafenrauschen aus \cref{fig:temp-hist-tg} betrachtet diese haben folgende Werte:

\begin{align}
    T_1 = \qnt{301.37}{\kelvin},~
    T_2 = \qnt{301.54}{\kelvin},~
    T_3 = \qnt{301.89}{\kelvin},~
    T_4 = \qnt{302.07}{\kelvin},~
    T_5 = \qnt{302.41}{\kelvin},~
    T_6 = \qnt{302.88}{\kelvin}
\end{align} 

Daher ändert sich die Farbzuordnung der Temperaturen in den Plots.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{einzelner Datenpunkt für jede einzelne Simulation\label{fig:temp-switch-count-scatter}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/switch_count_scatter.pdf}}
    \subcaptionbox{Mittel-, Extremwerte und Verteilung für jede Simulationstemperatur. Außerdem wurde der Wert auch aus der Kette an Simulationen berechnet (schwarze Punkte) \label{fig:temp-switch-count-violin}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/switch_count_violin.pdf}}
    \caption{Temperaturabhängigkeit der Anzahl an Schaltvorgängen}\label{fig:temp-switch-count}
\end{figure}

Die sinkende Anzahl an Schaltvorgängen, die bereits in \cref{fig:temp-time} beobachtbar war,  ist in \cref{fig:temp-switch-count} mit konkreten werten dargestellt. Außerdem sieht man in \cref{fig:temp-switch-count-scatter} einige Simulationsläufe, deren Werte aufgrund der Kurzen Simulationszeit (und daher teilweise das Telegrafenrauschen nicht immer korrekt extrahiert werden konnte) stark von den anderen abweichen.

Der aus der Kette berechnete Wert weicht auch jeweils nicht signifikant vom Mittelwert der aus den einzelnen Simulationen berechneten Werte ab.
Die kleinen Abweichungen lassen sich gut durch Probleme bei der Extraktion des Telegrafenrauschens bei einzelnen Simulationsläufen erklären. So konnte der Algorithmus bei dem 4. Simulationslauf bei \(T=T_1\) das Telegrafenrauschen nicht extrahieren, da das Histogramm zu verrauscht war. Daher wurden hier keine Schaltvorgänge gezählt und somit verschiebt sich der Mittelwert im Violinenplot (\cref{fig:temp-switch-count-violin}) nach unten.


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/switch_events.pdf}
    \caption{Zeitpunkt an dem ein Schaltvorgang stattfindet}\label{fig:switch-events}
\end{figure}


Die Rate an Schaltvorgängen ist in 
\cref{fig:switch-events} noch auf eine andere Weise dargestellt. Hier lässt sich erkennen, dass die Schaltvorgänge gleichverteilt sind. Außerdem sind, aufgrund der hohen Zahl an natürlichen Schaltvorgängen, keine zusätzlichen Schaltvorgänge, wegen der Verkettung mehrerer Simulationsläufe, erkennbar. 

Denn da die mittleren Aufenthaltszeiten (MDT) in den beiden Niveaus befinden sich in der gleichen Größenordnung, wie der Simulationszeitraum. Um auch bei weniger optimalen Daten, wie in \cref{fig:extraktion-tgr}, eine gute Extraktion des Telegrafenrauschens zu ermöglichen, wurden teilweise die Signale mehrerer Simulationsläufe hintereinander gehängt, um ein langes Signal zu erhalten.

Da aber nicht Zufälligerweise alle Simulationsläufe immer im gleichen Niveau starten und aufhören (so lange die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand nicht deutlich höher ist), werden hierbei teilweise zusätzliche Schaltvorgänge hinzugefügt. 

Andere Möglichkeiten um die Rechenzeit zu verringern wären zum Beispiel eine eine größere Zeitschrittweite. Diese würde die Genauigkeit der Simulation verringern, sodass die Ergebnisse nicht mehr mit den experimentellen Daten vergleichbar wären. Bei einer Schrittweite von \qnt{100}{\femto\second} (wahrscheinlich aber schon früher) tritt das Telegrafenrauschen garnicht mehr auf und der Betrag der Magnetisierung ist deutlich größer. 
Im Anhang lässt sich \cref{fig:dh-variation} finden, in der der Einfluss der Schrittweite auf das Rauschsignal untersucht wird.


\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{einzelner Datenpunkt für jede einzelne Simulation\label{fig:temp-up-percentage-scatter}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/up_percentage_scatter.pdf}}
    \subcaptionbox{Mittel-, Extremwerte und Verteilung für jede Simulationstemperatur. Außerdem wurde der Wert auch aus der Kette an Simulationen berechnet (schwarze Punkte)\label{fig:temp-up-percentage-violin}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/up_percentage_violin.pdf}}
    \caption{Aufenthaltswahrscheinlichkeit im oberen Zustand}\label{fig:temp-up-percentage}
\end{figure}

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für beide Zustände liegt in dem Temperaturbereich bei \qnt{50}{\percent}, aber für die Betrachtung der mittleren Aufenthaltszeit wird die Zahl der Simulationsläufe, in denen sich das System nur in einem Zustand befindet für höhere Temperaturen immer größer. Daher gibt es bei \qnt{303}{\kelvin} sehr viele Datenpunkte in \cref{fig:temp-up-percentage-scatter}, bei denen der aus einem Einzelnen Simulationslauf berechnete Wert stark von \qnt{50}{\percent} abweicht.

\subsubsection{Spektrale Leistungsdichte und Autocovarianz}

Experimentell kann nur die Autocovarianz \(\gamma\) direkt in einer genau genugen Zeitauflösung bestimmt werden. Darüber wird dann die Spektrale Leistungsdichte \(S\) berechnet.
Da in der Simulation das Rauschsignal direkt vorliegt, kann auch die Spektrale Leistungsdichte direkt berechnet werden. Um darüber dann die Autocovarianz zu bestimmen.

% Aufgrund der kurzen Zeitskalen (\unit{\femto\second})(\todo{und anderen Dingen?}) kann das magnetische Moment in c-Richtung Zeitlich aufgelöst so nicht beobachtet werden. Es ist aber möglich die Fouriertransformierte des Rauschsignals zu ermitteln und so das Phänomen zu charakterisieren. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{aus ursprünglichem Signal \label{fig:temp-spd-source}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/spectral_power_density.pdf}}
    \subcaptionbox{aus bereinigtem Telegrafenrauschen \label{fig:temp-spd-clean}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/spectral_power_density_cleaned.pdf}}
    \subcaptionbox{aus Differenz, bzw. statistischem Rauschen \label{fig:temp-spd-diff}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/spectral_power_density_diff.pdf}}
    \caption{Spektrale Leistungsdichten $S$ für verschiedene Temperaturen}\label{fig:temp-spd}
\end{figure}

Mit der Temperatuerhöhung verschiebt sich der  erste Eigenmode ( in \cref{fig:temp-spd-source}) nach rechts. 
Die Position des zweiten Eigenmode ändert sich nicht.


Die Spektrale Leistungsdichte des bereinigten Telegrafenrauschens (\cref{fig:temp-spd-clean}) ist bei höherer Temperatur im niederfrequenten Bereich größer, aber fällt dann schneller ab.

Aus der Spektralen Leistungsdichte lässt sich die Autokorrelationsfunktion berechnen \cref*{eq:spd}.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{aus ursprünglichem Signal\label{fig:temp-autocorr-source}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/autocorrelation.pdf}}
    \subcaptionbox{aus bereinigtem Telegrafenrauschen \label{fig:temp-autocorr-clean}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/autocorrelation_cleaned.pdf}}
    \subcaptionbox{aus Differenz, bzw. statistischem Rauschen \label{fig:temp-autocorr-diff}}{\includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/autocorrelation_diff.pdf}}
    \caption{Autokorrelation $\gamma$ für verschiedene Temperaturen}\label{fig:temp-autocorr}
\end{figure}

Da beide Zustände gleich wahrscheinlich sind, konvergiert die Autokorrelationsfunktion für große Zeiten gegen 0 und ist daher identisch zur Autokovarianz.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/temp_comparison_long/rauschamplitude.pdf}
    \caption[Rauschamplitude $A$ für verschiedene Temperaturen $T$.]{Rauschamplitude $A$ für verschiedene Temperaturen $T$. Die Datenpunkte für \(T > \SI{303}{\kelvin}\) werden nicht berücksichtigt, weil dort die Autocovarianz nicht mehr der Autokorrelation entspricht. 
    Die Rauschamplitude fällt bei weiterer Erhöhung der Temperatur wieder ab, wie bereits in \cite{schlegel-master} beobachtet wurde.}\label{fig:temp-autocorr-amplitude}
\end{figure}

Die Amplitude der Autokorrelationsfunktion steigt mit Erhöhung der Temperatur auch immer weiter an (Solange stabiles Telegrafenrauschen vorliegt).


\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{Spektrale Leistungsdichten $S$ von ursprünglichem, bereinigtem Telegrafenrauschen und Differenz. Die Spektrale Leistungsdichte aus dem bereinigten Telegrafenrauschen wurde außerdem mit einem Lorentizan gefittet\label{fig:dominanz-spd}}{\includegraphics{bilder/plots/Bz_0mT/spectral_power_densities_26.03meV.pdf}}
    \subcaptionbox{Autokorrelation $\gamma$ von ursprünglichem, bereinigtem Telegrafenrauschen und Differenz. Die Autokorrelation aus dem bereinigten Telegrafenrauschen wurde außerdem mit einer exponentialfunktion gefittet \label{fig:dominanz-autocorr}}{\includegraphics{bilder/plots/Bz_0mT/autocorr_26.03meV.pdf}}
    \caption{Dominanz des Telegrafenrauschen in der Frequenzdomäne. Simulation bei \qnt{26.03}{\milli\electronvolt} ohne externes Magnetfeld}\label{fig:dominanz-tgr}
\end{figure}

Beim direkten betrachten des Rauschsignals ist nicht klar erkennbar, ob das statistische oder das Telegrafenrauschen dominiert. Wenn man jedoch die Spektrale Leistungsdichte oder die Autokorrelation bzw. Autocovarianz betrachtet, ist deutlich erkennbar, dass das Telegrafenrauschen hier den größten Beitrag leistet.

Außerdem entsprechen die Verläufe von Spektraler Leistungsdichte und Autokorrelation den theoretischen Erwartungen. Die Spektrale Leistungsdichte des Telegrafenrauschens ist eine Lorentzverteilung und die Autokorrelation eine Exponentialfunktion.

Aus Autokorrelationszeit lässt sich die mittlere Aufenthaltszeit für den symmetrischen DMP berechnen (\cref{eq:autokorr-sym-dmp}).
Und aus dem extrahiertem Telegrafenrauschen lassen sich die Aufenthaltszeiten im zeitlichen Durchblick direkt herauslesen und mit den Berechneten Werten vergleichen. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/mean_dwell_time_comparison.pdf}
    \caption{Mittlere Aufenthaltszeiten $MDT$ aus Zeitlicher Analyse (Violinenplot) und aus exponentiellem Fit der Autokorrelationsfunktion \cref{fig:temp-autocorr-clean} (schwarze Punkte)}\label{fig:temp-mdt-comp}
\end{figure}

Wie zu erwarten steigt die mittlere Aufenthaltszeit, bei einer höheren Temperatur an. Die auf die zwei verschiedenen Methoden berechneten Werte (und somit die bestimmte Anstiegsrate) weichen, bei niedrigeren Temperaturen, hier stark voneinander Ab. 
Wahrscheinlich liegt das an Problemen beim Fitten des exponentiellen Abfalls, Da für die niedrigen Temperaturen das charakteristische Resonanzverhalten überwiegt (selbst im bereinigten Telegrafenrauschen).

\todo{Telegrafenrauschen nichtmehr dominant in Autokovarianz?}

Die Probleme beim Fitten des exponentiellen Abfalls sind in \cref{fig:temp-autocorr-fit} deutlich zu erkennen. Im Anfangsbereich ist die Fitfunktion bereits deutlich steiler, als die Autokorrelationsfunktion, um eine geringere Abweichung zu den späteren Datenpunkten zu haben (die selber nicht auf einem exponentiellen Verlauf liegen).

\todo{anderes fitintervall für niedrige temperaturen?}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/temp_comparison/autocorrelation_cleaned_log.pdf}
    \caption{Ausschnitt aus \cref{fig:bc-autocorr-clean}, in der versucht wird die Autokorrelation mit einer Exponentialfunktion zu fitten. Hier aber in halblogarithmischer Darstellung}\label{fig:temp-autocorr-fit}
\end{figure}

\subsection{Einfluss des externen Magnetfelds}

Das Verhalten des magnetischen Moments in c-Richtung kann nicht nur durch eine Veränderung der Temperatur beeinflusst werden, sondern auch durch ein extern angelegtes Magnetfeld.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/Bz_comparison/critical_temperature.pdf}
    \caption[Kritische Temperatur bei schwachem und starkem Magnetfeld in c-Richtung.]{Kritische Temperatur bei schwachem und starkem Magnetfeld in c-Richtung. Die für die restlichen Simulationen mit externem Magnetfeld verwendete Temperatur \(T_B\) ist mit einer senkrechten Linie eingezeichnet.}\label{fig:bc-crit-temp}
\end{figure}

Bei einem starken Magnetfeld von \qnt{1}{\tesla} weicht der Reorientierungsübergang auf und es kommt kein Telegrafenrauschen, im Bereich von \num{300} bis \qnt{305}{\kelvin}, mehr zustande. Bei einem schwächeren Magnetfeld (um die \qnt{30}{\milli\tesla}) verändert sich die Position des Reorientierungsübergangs nicht signifikant. Daher wurden alle Simulationen mit angelegtem Magnetfeld bei der gleichen Temperatur durchgeführt.

% Das Magnetfeld wird in z-Richtung angelegt. Die c-Richtung im Kristall ist identisch zur z-Richtung im externen kartesischen Koordinatensystem.
% In den Simulationen wird auch immer nur ein konstantes Magnetfeld verwendet.
Als Temperatur wurde für jeden Simulationslauf \( \qnt{26.025}{\milli\electronvolt} \approx \qnt{302.01}{\kelvin}\) verwendet.
Der Simulationszeitraum beträgt für alle Simulationsläufe etwa \qnt{2.5}{\nano\s}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/Bz_sign_comparison/20mT_t_comp.pdf}
    \includegraphics{bilder/plots/Bz_sign_comparison/20mT_hist_comp.pdf}
    \caption{Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von \(m_c\) bei einem externen Magnetfeld von \qnt{20}{\milli\tesla} mit entgegengesetzter Richtung. Und Ausschnitt aus dem Rauschsignals für beide Magnetfeldrichtungen }\label{fig:bc-sign-hist}
\end{figure}

In \cref{fig:bc-sign-hist} ist die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung für ein externes Magnetfeld von \qnt{20}{\milli\tesla} in entgegengesetzter Richtung zu sehen. Die beiden Niveaus sind hier deutlich zu erkennen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im begünstigten Niveau ist jeweils deutlich höher, als im nicht begünstigten. Das Histogramm sieht aus, als ob es an einer senkrechten Achse bei \(m_c=0\) gespiegelt wurde.

Das System scheint sich somit bei angelegtem B-Feld in entgegengesetzter Richtung Symmetrisch zu verhalten. Daher wurden die Simulationen nur mit positivem B-Feld durchgeführt.


\subsubsection{Betrachtung in der Zeitdomäne}

Auch hier lassen sich die Charakteristiken am schnellsten bei einer direkten statistischen Analyse des Signals erkennen.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/mc_time.pdf}
    \caption[Ausschnitt von \(m_c\) im zeitlichen Verlauf bei verschieden starken externen Magnetfeldern.]{Ausschnitt von \(m_c\) im zeitlichen Verlauf bei verschieden starken externen Magnetfeldern. Die Colormap ist hier identisch zu der von \cref{fig:b-hist}. Die y-Achse reicht hier jeweils von \num{-1.5e-3} bis \num{+1.5e-3}}\label{fig:b-time}    
\end{figure}

Je stärker das externe Magnetfeld ist, desto kürzer beibt das System im unteren Niveau (Siehe \cref{fig:b-time}). 
Bei dem Ausschnitt aus dem Simulationslauf mit einem Magnetfeld von \qnt{100}{\milli\tesla} ist das System durchgängig im oberen Niveau.

Die kürzen aufenthaltszeiten im unteren Niveau lassen sich auch in einer Histogramm Darstellung in \cref{fig:b-hist} betrachten.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/mc_hist.pdf}
    \caption{Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung von \(m_c\) für eine Kombination von mehreren Simulationsläufen und bei verschieden starken externen Magnetfeldern}\label{fig:b-hist}    
\end{figure}

Anders als bei der Variation der Temperatur ohne externes Magnetfeld (\cref{fig:temp-hist}), sind die beiden Zustände hier nicht mehr gleich wahrscheinlich. Wenn einer der beiden Peaks zu klein wird, kann der Algorithmus das Telegrafenrauschen nicht mehr extrahieren. 

Außerdem sieht man in \cref{fig:b-hist} den Effekt, dass sich nicht nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der zwei zustände verändern, sondern auch deren Position. \todo{mögliche gründe}

Da das obere Niveau jetzt aber eine deutlich höhere Aufenthaltswahrscheinlichkeit hat, kommt es auch (je nach stärke des B-Feldes) zu deutlich weniger zusätzlichen Schaltvorgängen bei der Verkettung mehrerer Simulationsläufe.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/switch_events.pdf}
    \caption{Zeitpunkt an dem ein Schaltvorgang stattfindet}\label{fig:bc-switch-events}   
\end{figure}


In Manchen Simulationsläufen bei \qnt{100}{\milli\tesla} findet gar kein Schaltvorgang statt. Die dargestellten Schaltvorgänge fanden aber alle innerhalb eines Simulationslaufs statt und sind keine Artefakte aufgrund der Verkettung, da sich das System quasi durchgängig im oberen Niveau befindet.

Ähnlich wie in \cref{fig:switch-events} sind die Zustandswechsel recht gleichverteilt. Bei einer höheren Temperatur sind deutlichere Stufen erkennbar, da häufiger auf einen Schaltvorgang direkt ein zweiter (zurück in den energetisch begünstigten Zustand) stattfindet. Die Rate an Zustandswechseln bleibt jedoch im Rahmen der Unsichheiten konstant. Erst wenn quasi keine Zustandswechsel mehr stattfinden, weicht dieser Wert signifikant von denen bei niedrigeren Feldstärken ab. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{Aufenthaltszeit im oberen Zustand. Bestimmt über einzelne Simulationsläufe (Violinplot) und über Kette mehrerer Simulationen (schwarze Punkte) \label{fig:bc-up-percentage-violin}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/up_percentage_violin.pdf}}
    \subcaptionbox{Mittlere Aufenthaltszeit in oberem (blau) und unterem (grün) Zustand in Prozent. Die wagerechte Linie kennzeichnet hierbei den Mittelwert und der Violinplot die Verteilung der verschiedenen Aufenthaltszeiten auf dem jeweiligen Niveau \label{fig:bc-state-times-comp}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/state_times_comp.pdf}}
    \caption{Abhängigkeit der Aufenthaltszeit von der Magnetfeldstärke}\label{fig:bc-state-times}
\end{figure}

Was sich allerdings stark ändert ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und mittleren Aufenthaltszeiten für die beiden Niveaus.

Wie zu erwarten steigt die mittlere Aufenthaltszeit im oberen Niveau mit der Magnetfeldstärke an und die mittlere Aufenthaltszeit im unteren Niveau sinkt. 
Allerdings scheinen die mittleren Aufenthaltszeiten mit der gleichen Rate zu steigen bzw. zu sinken. Daher bleibt die mittlere Aufenthaltszeit (nicht nach Niveaus aufgeteilt wie in \cref{fig:b-mmdt}) etwa konstant. 
Das die mittlere Aufenthaltszeit konstant bleibt ist wahrscheinlich auch der grund für die konstante Rate an Zustandswechseln in \cref{fig:bc-switch-events}. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/mean_dwell_time.pdf}
    \caption[Mittlere Aufenthaltszeit nicht aufgeteilt auf die zwei Niveaus.]{Mittlere Aufenthaltszeit nicht aufgeteilt auf die zwei Niveaus. Violinenplot mit Mittelwert und Extrema in Blau. Median in Schwarz}
    \label{fig:b-mmdt}
\end{figure}

Die Abweichung der mittleren Aufenthaltszeit bei \SI{40}{\milli\tesla} vom restlichen Trend in \cref{fig:bc-state-times-comp,fig:b-mmdt} liegt vermutlich daran, dass die gesamte simulierte Zeit für \(B_c \geq \SI{40}{\milli\tesla}\) nur je ein viertel der für die geringeren Magnetfeldstärken ist (4 statt 16 Simulationsläufe). Man müsste wahrscheinlich einfach noch weitere Simulationen durchführen um die Abhängigkeit zu überprüfen

Im Bereich bis \SI{30}{\milli\tesla} (siehe \cref{fig:bc-up-percentage-violin}) lässt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im oberen Zustand mit einer linearen Abhängigkeit von der Magnetfeldstärke annähen. Das eigentliche verhalten, welches einem beschränktem Wachstum entspricht ist bei der Betrachtung stärkerer Magnetfelder, in \cref{fig:bc-up-percentage} deutlich erkennbar. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/up_percentage_fit.pdf}
    \caption[Die Aufenthaltszeit im oberen Zustand mit einer Sigmoid-Funktion gefittet.]{Die Aufenthaltszeit im oberen Zustand mit einer Sigmoid-Funktion gefittet. Die Datenpunkte wurden dabei mittels des Algorithmus aus mehreren verketteten Simulationsläufen extrahiert}\label{fig:bc-up-percentage}
\end{figure}

Aus mehreren verketteten Simulationsläufen ist es möglich auch für höhere Feldstärken als in \cref{fig:bc-up-percentage-violin} die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu bestimmen. Diese folgt einer Sigmoid-Kurve. Oberhalb von \qnt{100}{\milli\tesla} findet in den Simulationen kein Telegrafenrauschen mehr statt.

\newpage
\subsubsection{Spektrale Leistungsdichte und Autokovarianz}

Um experimentell erkennen zu können, ob kein Schaltvorgang mehr stattfindet oder in wie weit sich das System bereits davor verändert hat muss die Autokovarianz (und die daraus berechnete Spektrale Leistungsdichte) betrachtet werden.

% Da die Analyse im zeitlichen Durchblick hier experimentell leider nicht möglich ist, müssen Anhaltspunkte im Frequenzdurchblick gefunden werden um u.a. festzustellen, wann kein Telegraphenrauschen mehr stattfindet.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{aus ursprünglichem Signal\label{fig:bc-spd-source}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/spectral_power_density.pdf}}
    \subcaptionbox{aus bereinigtem Telegrafenrauschen\label{fig:bc-spd-clean}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/spectral_power_density_cleaned.pdf}}
    \subcaptionbox{aus Differenz, bzw. statistischem Rauschen \label{fig:bc-spd-diff}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/spectral_power_density_diff.pdf}}
    \caption{Spektrale Leistungsdichten $S$ bei verschiedenen Magnetfeldstärken}\label{fig:bc-spd}
\end{figure}

So wie bei der Erhöhung der der Temperatur in \cref{fig:temp-spd-source} zu einer Verschiebung der ersten Eigenmode geführt hat, führt in  \cref{fig:bc-spd-source} eine Erhöhung der Feldstärke auch zu einer Verschiebung der Eigenmode nach rechts. Die zweite Eigenmode bleibt auch unverändert.

Die spektrale Leistungsdichte ist allerdings im niederfrequenten Bereich in \cref{fig:bc-spd-source,fig:bc-spd-clean} bei größerer Feldstärke deutlich geringer und bleibt in \cref{fig:bc-spd-clean} auch kleiner im Vergleich zu den anderen Kurven.

Wie in \cref{fig:dominanz-spd} dominiert das Telegrafenrauschen auch in \cref{fig:bc-spd} im niederfrequenten Bereich.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \subcaptionbox{aus ursprünglichem Signal \label{fig:bc-autocorr-source}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/autocov.pdf}}
    \subcaptionbox{aus bereinigtem Telegrafenrauschen\label{fig:bc-autocorr-clean}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/autocov_cleaned.pdf}}
    \subcaptionbox{aus Differenz, bzw. statistischem Rauschen\label{fig:bc-autocorr-diff}}{\includegraphics{bilder/plots/max_Bz/autocorrelation_diff.pdf}}
    \caption{Autokovarianz $\gamma$ für verschiedene Magnetfeldstärken }\label{fig:bc-autocov}
\end{figure}

Die Autokorrelationsfunktionen konvergieren bei externem Magnetfeld nichtmehr gegen \num{0} (da die beiden Zustände eine unterschiedliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit haben). Daher musste, um die Autokovarianzkurven in \cref{fig:bc-autocov} zu erhalten, der Grenzwert von der Autokorrelationsfunktion abgezogen werden.

Die mittlere Aufenthaltszeit ist aus dem gleichen Grund auch nichtmehr aus der Autokovarianz bestimmbar. 

% Wann der exponentielle Abfall (Abbild \todo{wie lautet korrekter Fachbegriff?} des Telegrafenrauschen in der Autokorrelation) nichtmehr mit den anderen Charakteristika \todo{haben die einen Namen?} überlagert ist lässt sich auch direkt aus der Autokorrelation des rohen Signals erkennen:

% \begin{figure}[H]
%     \centering
%     \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/autocov_high.pdf}
%     \caption{Autokovarianz $\gamma$ für hohe Magnetfeldstärken (dem entsprechend ändert sich auch wieder die Skala der colormap)}\label{fig:bc-autocov-high}
% \end{figure}

% Die Autokovarianzkurven für die Feldstärken \qnt{\geq 90}{\milli\tesla} (bei denen quasi kein telegrafenrauschen mehr stattfindet) liegen fast 
% perfekt übereinander. 

% Um dieses Verhalten zu parametrisieren reicht es aus die Rauschamplitude \(\gamma(0)\) zu betrachten:

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics{bilder/plots/max_Bz/rauschamplitude.pdf}
    \caption{Amplitude der Autokovarianz abhängig von \(B_z\)}\label{fig:bc-rauschampl}
\end{figure}

Die Amplitude der Autokovarianz wird bei Erhöhung der Temperatur immer kleiner und oberhalb von \qnt{100}{\milli\tesla} minimal.
% Sie scheint danach wieder anzusteigen, Die Abweichung des Datenpunktes bei \qnt{120}{\milli\tesla} ist aber alleine nicht aussagekräftig. 

Eine Erhöhung der Temperatur (\cref{fig:temp-autocorr-amplitude}) führt also zu einer Erhöhung der Amplitude der Autokorrelationsfunktion, während eine Erhöhung der magnetischen Feldstärke (\cref{fig:bc-rauschampl}) zu einer Verringerung führt.

% bibliography (temporary)
% \bibliography{literatur} \todo{comment out before compiling main.tex}

\end{document}