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Author: govin08

_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 ---
 layout: single
-title: "(1) The Genesis of Fourier Analysis"
+title: "1 The Genesis of Fourier Analysis"
 categories: mathematics
 tags: [analysis, Fourier analysis, Fourier Series, differential equations, wave equation, heat equation, simple harmonic motion, Dirichlet problem, Laplacian, Fourier, Euler, d'Alembert]
 use_math: true
@@ -74,7 +74,7 @@ BUTTON을 사용했다 (파랑색).
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
 1절에서 다루는 내용은 파동방정식(wave equation)이다.
-먼저 가장 기본이 되는 simple harmonic motion이 언급된다.
+먼저 simple harmonic motion이 언급된다.
 파동(wave), 조금 더 정확하게는, 양 끝이 고정된 줄의 모양은, 수평변위($x$)와 시간($t$)에 대한 수직변위($y$)의 함수 $y=u(x,t)$로 나타내어질 수 있다.
 이 파동을 정상파(standing wave)와 traveling wave의 두 가지 타입으로 모델링하고 있는 것으로 보인다.
 standing wave는 주어진 함수 $u(x,t)$의 변수 $x$, $t$를 분리하여 $u(x,t)=\phi(x)\psi(t)$로 두는 방식으로 파동이 주어진 파동모양을 기준으로 진폭만 시간에 따라 바뀐다는 생각에 기반한다.
@@ -134,9 +134,9 @@ This wave moves rightward if $c\gt0$ where $c$ can be thought of as the velocity
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
 1.1절에서는 파동방정식을 유도해본다.
-줄을 공간적으로 infinitesimal하게 나누고, 시간적으로도 바로 다음 순간의 상태를 고려한다.
+줄을 공간적으로 infinitesimal하게 나누고, 시간적으로도 infinitesimal하게 바로 다음 순간의 상태를 고려한다.
 줄의 한 부분(particle)이 받는 힘들을 계산하고 그 알짜힘에 의해 다음 순간에 바뀌는 위치를 계산하여 방정식을 만들 수 있다.
-이때 공간적인 간격 $\Delta x$와 시간적인 간격 $\Delta t$를 모두 0으로 보냄으로써 파동방정식 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$이 유도된다.
+이때 공간적인 간격 $\Delta x$와 시간적인 간격 $\Delta t$를 모두 0으로 보내면 파동방정식 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$이 유도된다.
 </div>
 
 Consider a horizontal string of length $L$.
@@ -179,6 +179,8 @@ We analyze and solve the standard one and simply apply change of variables for t
 
 Consider a physical problem of a string where $0\le x\le \pi$ :
 
+<div class="notice--success" markdown="1">
+
 $$
 \begin{aligned}
 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
@@ -193,11 +195,13 @@ u(0,t)=u(\pi,t)=0
 \tag a
 $$
 
+</div>
+
 ### 1.2 Solution to the wave equation
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
 1.2절에서는 파동방정식의 해를 구하는데 traveling wave와 정상파(standing wave)의 두 가지 방법을 사용해서 해본다.
-조금 더 정확하게는 경계조건(boundary condition)과 초기조건(파동의 초기모양, 파동의 초기 속도)까지 포함된 문제에서의 해를 구하는데
+조금 더 정확하게는 경계조건(boundary condition)과 초기조건(initial condition, 파동의 초기모양, 파동의 초기 속도)까지 포함된 문제에서의 해를 구하는데
 traveling wave와 정상파(standing wave)의 두 가지 방법을 사용해서 해본다.
 <br><br>
 traveling wave의 방법은 $u(x,t)$가 적절한 함수 $F$, $G$에 대하여 $u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)$로 표현될 수 있음에 기반한다.
@@ -207,7 +211,7 @@ traveling wave의 방법은 $u(x,t)$가 적절한 함수 $F$, $G$에 대하여 $
 <br><br>
 정상파의 방법은 파동방정식의 양변을 각각 분리된 두 변수 $x$와 $t$로만 표현시키고 이를 simple harmonic motion에서 나온 미분방정식으로 만들어서 푼다.
 이를 통해 보면 사인과 코사인 (혹은 지수함수쌍)으로 이루어진 함수들이 특정한 해인 것을 유도할 수 있고, 이 해들로 중첩한 것이 일반해인 것을 가정한다.
-중첩에 사용되는 계수들(Fourier coefficient)은 초기조건으로부터 특정할 수 있는데, 이때 간단한 적분을 통해 얻을 수 있다.
+중첩에 사용되는 계수들(Fourier coefficient)은 초기조건으로부터 특정할 수 있는데, 간단한 적분을 통해 얻을 수 있다.
 이러한 모든 이야기가 성립하기 위해서는, 어떤 함수 $f$가 주어졌을 때, 그 함수를 sine series와 cosine series 로 표현하는 것이 가능해야 한다.
 이 문제는 이 책 전반에서 다루어질 중요한 질문이라는 점이 강조되어 언급된다.
 이러한 정상파의 방법은 traveling wave의 방법보다 더 일반적이고 더 많은 활용을 가능하게 하며, 푸리에(Fourier)가 1807년에 발전시켰다.
@@ -222,16 +226,20 @@ We can get two kinds of solution to the wave equation ;
 
 We claim that (a) has the general solution of the form
 
+<div class="notice--success" markdown="1">
+
 $$
 u(x,t) = \frac12\left[f(x+t)+f(x-t)\right]+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(y)\,dy.
 \tag b
 $$
 
+</div>
+
 Note that $f$ and $g$ were a function only on the interval $[0,\pi]$ in (a).
 Now in the above solution (b), $f$ and $g$ are defined everywhere in $\mathbb R$.
 That is, we conceive $f$ and $g$ as an extended versions in (b).
 From (a), extend the domain $[0,\pi]$ to $[-\pi, \pi]$ by defining $f(-x)=-f(x)$ and $g(-x)=-g(x)$ and then extend the domains to $\mathbb R$ by defining $f(x+2\pi)=f(x)$ and $g(x+2\pi)=g(x)$.
-That is, $f$ and $g$ are periodic functions of period $2\pi$.
+That is, $f$ and $g$ are odd functions of period $2\pi$.
 In order for $f$ and $g$ to be continuous, we need the conditions $f(0)=f(\pi)=0$ and $g(0)=g(\pi)=0$, which are guaranteed to be true from the original problem (a).
 
 Before proving that (b) is a general solution of (a), i.e. (a) $\Rightarrow$ (b), let's check if (b) is a specific solution of (a), i.e. (b) $\Rightarrow$ (a).
@@ -259,6 +267,7 @@ For the boundary conditions, first note that
 $f(\pi-s)=-f(-\pi+s)=-f(\pi+s)$
 and
 $g(\pi-s)=-g(-\pi+s)=-g(\pi+s)$ for real $s$.
+That is, $y=f(x)$ is symmetric not only about the origin, but also about $(\pi,0)$
 Then
 
 $$
@@ -309,10 +318,11 @@ Equating $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ and $\frac{\partial^2 u} {\partial
 
 $$\frac{\partial^2 u}{\partial\xi\partial\eta}=0$$
 
-Write $u(x,t)=v(\xi,\eta)$, this is
+Write $u(x,t)=v(\xi,\eta)$, then
 
 $$\frac{\partial}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\eta}v(\xi,\eta)=0$$
 
+for all $\xi$ and $\eta$
 For any $\xi$, there exists $\zeta$ between $0$ and $\xi$ such that
 
 $$
@@ -358,22 +368,22 @@ $$
 \begin{aligned}
 F(x)
 &=\int_0^x\frac12\left[f'(y)+g(y)\right]\,dy+C_1\\
-&=\frac12f(x)+\frac12\int_0^xg(y)\,dy+C_1'\\
+&=\frac12f(x)+\frac12\int_0^xg(y)\,dy+C_1\\
 G(x)
 &=\int_0^x\frac12\left[f'(y)-g(y)\right]\,dy+C_2\\
-&=\frac12f(x)-\frac12\int_0^xg(y)\,dy+C_2'.
+&=\frac12f(x)-\frac12\int_0^xg(y)\,dy+C_2.
 \end{aligned}
 $$
 
-Note that $C_1'+C_2'=0$ since $f(x)=F(x)+G(x)$.
+Note that $C_1+C_2=0$ since $f(x)=F(x)+G(x)$.
 Therefore,
 
 $$
 \begin{aligned}
 u(x,t)
 &=F(x+t)+G(x-t)\\
-&=\frac12f(x+t)+\frac12\int_0^{x+t}g(y)\,dy+C_1'
-+\frac12f(x-t)-\frac12\int_0^{x-t}g(y)\,dy+C_2'\\
+&=\frac12f(x+t)+\frac12\int_0^{x+t}g(y)\,dy+C_1
++\frac12f(x-t)-\frac12\int_0^{x-t}g(y)\,dy+C_2\\
 &=\frac12\left[f(x+t)+f(x-t)\right]+\frac12\int_{x-t}^{x+t}g(y)\,dy.
 \end{aligned}
 $$
@@ -382,6 +392,8 @@ $$
 
 We claim that (a) has the general solution of the form
 
+<div class="notice--success" markdown="1">
+
 $$u(x,t)=\sum_{m=1}^\infty\sin mx\left(A_m\cos mt+B_m\sin mt\right)\tag c$$
 
 where
@@ -393,6 +405,7 @@ B_n&=\frac2{n\pi}\int_0^\pi g(x)\sin nx\,dx\\
 \end{aligned}
 $$
 
+</div>
 
 Separating variables $x$ and $t$, let
 
@@ -427,7 +440,8 @@ $$
 $$
 
 by 3.6, where $m^2=-\lambda$.
-Apply the fourth condition of (a).
+We exckyde the case when $\lambda\lt0$ since $e^{rx}$ and $e^{-rx}$ are not oscillatory (See Appendix).
+Apply the boundary condition of (a).
 Since the string has zero displacement at $x=0$,
 
 $$0=\tilde A\left(A\cos mt + B\sin mt\right)$$
@@ -444,22 +458,27 @@ For every integer $m$,
 
 $$u_m(x,t)=\sin mx\left(A\cos mt + B\sin mt\right)$$
 
-is a solution for the wave equation.
+is a solution to the wave equation with the boundary condition.
 
 <!-- Let
 
 $$u_m(x,t)=\sin mx\left(A_m\cos mt + B_m\sin mt\right)$$ -->
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
 <b>Remark </b> <br>
-Letting, for example, $A_m=1$, $B_m=0$,
+Let, for example, $A_m=1$, $B_m=0$.
+
 $$u_1(x,t)=\cos t\sin x$$
+
 is called the fundamental tone or the first harmonic.
+
 $$u_2(x,t)=\cos2t\sin2x$$
+
 is called the first overtone or the second harmonic.
+
 $$u_3(x,t)=\cos3t\sin3x$$
-is called second overtone or the third harmonic, and so on.
 
+is called second overtone or the third harmonic, and so on.
 For fixed $t$, $u_m(x,t)=0$ if $x=\frac\pi mk$ for all $k\in\mathbb Z$.
 For each $k$, $x=\frac\pi mk$ is called a node, while $x=\frac\pi m\left(k+\frac12\right)$ is called an antinode.
 </div>
@@ -469,8 +488,8 @@ Thus,
 
 $$u(x,t)=\sum_{m=-\infty}^\infty\sin mx\left(A_m\cos mt+B_m\sin mt\right)$$
 
-also satisfy the wave equation.
-Suppose that this solution is a general one (we omit the proof here.)
+also satisfy the wave equation with the boundary condition.
+Suppose that this solution is the general one.
 Since $u_m=0$ for $m=0$ and
 
 $$
@@ -512,7 +531,7 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-Thus, (Fourier sine coeffcient of $f$)
+Thus,
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -521,9 +540,9 @@ B_n&=\frac2{n\pi}\int_0^\pi g(x)\sin nx\,dx.
 \end{aligned}
 $$
 
-And the claim is now proved.
+These are called Fourier sine coeffcient of $f$ and the claim is now proved.
 
-Note that this argument assumes that a *reasonable* function $f$ on $[0,\pi]$ can be expressed as a linear combination of sine functions ; 
+Note that the above arguments assume that a *reasonable* function $f$ on $[0,\pi]$ can be expressed as a sine series ; 
 
 $$
 f(x)=\sum_{m=1}^\infty A_m\sin mx\tag{$\ast$}
@@ -557,12 +576,10 @@ $$
 
 By Euler identity, (we can choose $a_m=\frac{A_m'-A_mi}2$ and $a_{-m}=\frac{A_m'+A_mi}2$)
 
-<div class="notice--success" markdown="1">
 $$
 F(x) = \sum_{m=-\infty}^\infty a_me^{imx}.
 $$
 
-</div>
 
 Multiplying $e^{-inx}$ and integrating over $[-\pi, \pi]$,
 
@@ -972,13 +989,10 @@ $$u(r,\theta)=r^{|m|}\left(A_m e^{im\theta}+B_me^{-im\theta}\right)$$
 is a solution to $\Delta u=0$ for each integer $m$.
 Superposing this class of solutions we can write
 
-<div class="notice--success" markdown="1">
 $$
 u(r,\theta)=\sum_{m=-\infty}^\infty r^ma_me^{im\theta}.
 $$
 
-</div>
-
 The boundary condition $f(\theta)=u(1,\theta)$ becomes
 
 $$

_posts/2024-10-25-Fourier_2.md

@@ -1,6 +1,6 @@
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 layout: single
-title: "(2) Basic Properties of Fourier Series"
+title: "2 Basic Properties of Fourier Series"
 categories: mathematics
 tags: [analysis, Fourier analysis, Fourier Series]
 use_math: true