proofread A1.1 thoroughly

Author: govin08

_posts/2024-10-25-Fourier_A1.md

@@ -25,7 +25,7 @@ Stein A1이 훨씬 간결하게, 꼭 필요한 내용들만 있는데다가, 기
 # Appendix 1. Riemann Integral
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
-Appendix 1(A1)는 두 절로 되어 있다.
+Appendix 1은 두 개의 절로 되어 있다.
 
 1. Basic properties
 2. Sets of measure zero and discontinuities of integrable functions
@@ -39,7 +39,6 @@ partition을 tuple로 정의하는 경우에 주의할 점은, open interval과
 다음으로는 upper limit과 lower limit이 정의되고, 이로부터 적분가능성과 리만적분이 정의된다.
 </div>
 
-Let $f:[a,b]\to\mathbb R$ be bounded.
 A *partition* $P$ of $[a,b]$ is a sequence where
 
 $$a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_{N-1}\lt x_N=b.$$
@@ -64,6 +63,7 @@ P_1\cap P_2&=(1,5,6)
 \end{aligned}
 $$
 
+Let $f:[a,b]\to\mathbb R$ be bounded and let $P$ be a partition of $[a,b]$.
 The upper sum $\mathcal U(f,P)$ and lower sum $\mathcal L(f,P)$ of $f$ with respect to $P$ are
 
 $$
@@ -75,7 +75,7 @@ $$
 \end{aligned}
 $$
 
-All the supremums and infimums exist since $f$ is bounded.
+The supremum and the infimum always exist since $f$ is bounded.
 It is immediate that $\mathcal U(f,P)\ge\mathcal L(f,P)$.
 
 <div class="notice--success" markdown="1">
@@ -88,6 +88,7 @@ $$(\mathcal U-\mathcal L)(f,P)\lt\epsilon.$$
 </div>
 
 Here, we denote $(\mathcal U-\mathcal L)(f,P)=\mathcal U(f,P)-\mathcal L(f,P)$ for brevity.
+
 If another partition $P'$ of $[a,b]$ is a subset of $P$ where we conceive $P$ and $P'$ as sets, then $P'$ is called a *refinement* of $P$.
 
 <div class="notice--success" markdown="1">
@@ -168,7 +169,7 @@ U-L
 \end{aligned}
 $$
 
-Since $\epsilon$ was arbitrary, $U-L\le0$.
+Since $\epsilon$ was arbitrary, $U\le L$.
 
 Suppose the latter and fix $\epsilon\gt0$.
 There exist $P_1$ and $P_2$ such that
@@ -232,25 +233,26 @@ That is, for each $\epsilon\gt0$, there exists $\delta\gt0$ such that
 
 $$|x-y|\lt\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|\lt\frac\epsilon{b-a}.$$
 
-Choose $n$ so that $\frac{b-a}n\lt\delta$ and let
+Choose $n$ so that $\frac{b-a}N\lt\delta$ and let
 
-$$P=\left(a, a+\frac{b-a}n, a+2\frac{b-a}n, \cdots, a+(n-1)\frac{b-a}n,b\right).$$
+$$P=\left(a, a+\frac{b-a}N, a+2\frac{b-a}N, \cdots, a+(N-1)\frac{b-a}N,b\right).$$
 
 Then
 
 $$
 \begin{aligned}
 (\mathcal U - \mathcal L)(f, P)
 &=\sum_{j=1}^N\left(
-    \sup\{f(x):x_{j-1}\le x\le x_j\}
+    \sup_{x_{j-1}\le x\le x_j}f(x)
     -
-    \inf\{f(x):x_{j-1}\le x\le x_j\}
-    \right)\frac{b-a}n\\
-&=\sum_{j=1}^N\epsilon\frac{b-a}n\\
-&=\frac\epsilon{b-a}\cdot(b-a)=\epsilon.
+    \inf_{x_{j-1}\le x\le x_j}f(x)
+    \right)\frac{b-a}N\\
+&\le\sum_{j=1}^N\frac\epsilon{b-a}\frac{b-a}N=\epsilon.
 \end{aligned}
 $$
 
+Thus $f$ is integrable.
+
 Suppose now that $f$ is complex valued so that $f=u+iv$.
 Since $f$ is continuous, it is trivial that $u$ and $v$ are also continuous.
 It follows that $u$ and $v$ are both integrable and that $f$ is integrable.
@@ -260,10 +262,10 @@ It follows that $u$ and $v$ are both integrable and that $f$ is integrable.
 ## A1.1 Basic properties
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
-책에는 Proposition 1.1에 주요 성질들이 적혀있고 여기에 $f$와 $g$가 적분가능하면 $f+g$와 $cf$가 적분가능하다는 게 나오고 있고, 그 이후에 Lemma 1.2로 연속함수의 합성에 의한 효과가 언급되고 그 직후에 $fg$, $|f|$도 적분가능하다는 사실이 언급되고 있다.
+책에는 Proposition 1.1에서 $f$와 $g$가 적분가능하면 $f+g$와 $cf$가 적분가능하다는 사실이 먼저 나오고, 그 이후에 Lemma 1.2로 연속함수의 합성에 의한 효과가 언급되며, 그 직후에 $fg$, $|f|$도 적분가능하다는 사실이 설명되고 있다.
 그런데 $fg$, $|f|$가 적분가능하다는 사실은 $f+g$, $cf$가 적분가능하다는 사실만큼이나 중요하다고 생각되고 lemma의 증명에 proposition의 결과가 필요해보이지 않아서 lemma를 앞으로 빼고 proposition을 뒤로 넣었다.
-Rudin의 책에도 이 순서로 되어 있다.
-그리고 lemma, proposition 등의 넘버링은 원래 1.1, 1.2 등으로 되어 있었지만 이 포스트에서는 Appendix 1의 내용만 쓸 것이므로 1, 2 등으로 썼다.
+baby Rudin의 6장도 이 순서로 되어 있다.
+그리고 lemma, proposition 등의 넘버링은 원래 1.1, 1.2 와 같이 되어 있었지만 이 포스트에서는 Appendix 1의 내용만 쓸 것이므로 1, 2 와 같이 썼다.
 
 lemma 1의 Stein 증명이 잘 이해가 안가서 Rudin의 증명을 더 많이 봤는데, 기본적으로 두 증명이 거의 같다.
 notation은 두 증명을 적당히 조합해서 썼다.
@@ -362,7 +364,7 @@ Then
   If $c$ is a constant, then $cf$ is integrable and $\int_a^bcf\,dx=c\int_a^bf\,dx$.
   </li>
   <li>
-  If $f$ and $g$ are both real valued and if $f\le g$, then $\int_a^bcf\,dx\le\int_a^bg\,dx$.
+  If $f$ and $g$ are both real valued and if $f\le g$, then $\int_a^bf\,dx\le\int_a^bg\,dx$.
   </li>
   <li>
   If $a\le c\le b$, then $\int_a^bf\,dx=\int_a^cf\,dx+\int_c^bf\,dx$.
@@ -381,7 +383,7 @@ Then
 Proposition 2의 (f)의 경우 Rudin의 증명은 천재적이다.
 그 말은, 나로서는 직관적으로 와닿지는 않는다는 말이다.
 아마도 RCA에서도 비슷한 부등식에 대한 Rudin의 증명이 비슷한 방식이었던 것 같은데, 간결하기는 하고 멋있긴 한데 내가 소화하기에는 좀 과하다.
-내 수준의 elementary한 증명으로 넣었고 이건 Stein의 힌트에 따른 것이기도 하다.
+내 수준의 elementary한 증명으로 넣었고 이건 Stein의 힌트를 따른 것이기도 하다.
 </div>
 
 <a href="#" class="btn btn--primary">proof - a</a>
@@ -417,30 +419,30 @@ $$
     \sup_{x_{j-1}\le x\le x_j}\left(f(x)+g(x)\right)
     -
     \inf_{x_{j-1}\le x\le x_j}\left(f(x)+g(x)\right)
-\right)\\
+\right)(x_j-x_{j-1})\\
 &\le\sum_{j=1}^N\left(
     \sup_{x_{j-1}\le x\le x_j}f(x)+\sup_{x_{j-1}\le x\le x_j}g(x)
     -
     \inf_{x_{j-1}\le x\le x_j}f(x)-\inf_{x_{j-1}\le x\le x_j}g(x)
-\right)\\
+\right)(x_j-x_{j-1})\\
 &=\sum_{j=1}^N\left(
     \sup_{x_{j-1}\le x\le x_j}f(x)
     -
     \inf_{x_{j-1}\le x\le x_j}f(x)
-\right)
+\right)(x_j-x_{j-1})
 +\sum_{j=1}^N\left(
     \sup_{x_{j-1}\le x\le x_j}g(x)
     -
     \inf_{x_{j-1}\le x\le x_j}g(x)
-\right)\\
+\right)(x_j-x_{j-1})\\
 &=(\mathcal U-\mathcal L)(f,P)+(\mathcal U-\mathcal L)(g,P)\\
 &\lt\epsilon
 \end{align*}
 $$
 
 Thus $f+g$ is integrable.
 
-With the same $P$, we can use (2-1) again to get
+With the same $P$ corresponding to $\epsilon\gt0$, we can use (2-1) again to get
 
 $$
 \mathcal U(f,P)\le\mathcal U(f,P)-\mathcal L(f,P)+\int f\,dx\lt\int f\,dx+\frac\epsilon2.
@@ -449,10 +451,10 @@ $$
 Similarly,
 
 $$
-\mathcal U(g,P)\lt\int g\,dx+\frac\epsilon2.
+\mathcal U(g,P)\lt\int g+\frac\epsilon2.
 $$
 
-By the subadditivity of the supremum,
+By the subadditivity of the supremum as just before,
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -464,13 +466,13 @@ $$
 $$
 
 Since $\epsilon$ was arbitrary, $\int f+g\le\int f+\int g.$
-Similarly, $\int f+g\ge\int f+\int g$ and thus
+Similarly, we can use $\mathcal L$ instead of $\mathcal U$ to get $\int f+g\ge\int f+\int g$ and thus
 
 $$
 \int f+g=\int f+\int g.
 $$
 
-Now suppos that $f$ and $g$ are complex valued so that $f=f_R+if_I$ and $g=g_R+ig_I$.
+Now suppose that $f$ and $g$ are complex valued so that $f=f_R+if_I$ and $g=g_R+ig_I$.
 If $f$ and $g$ are both integrable, $f_R$, $f_I$, $g_R$ and $g_I$ are all integrable.
 It follows that $f_R+g_R$ and $f_I+g_I$ are both integrable and that
 
@@ -484,7 +486,7 @@ $$
 \int f+g
 &=\int (f_R+g_R)+i(f_I+g_I)\\
 &=\int (f_R+g_R)+i\int(f_I+g_I)\\
-&=\int f_R+i\int f_I+\int g_R+i\int g_I\\
+&=\int f_R+\int g_R+i\int f_I+i\int g_I\\
 &=\int f+\int g
 \end{align*}
 $$
@@ -528,16 +530,14 @@ $$
 
 for a partition $P_1$ of $[a,c]$ and a partition $P_2$ of $[c,b]$.
 $P=P_1\cup P_2$ is a partition of $[a,b]$ and
-
-$$
+$
 \mathcal U(f,P_1)+\mathcal U(f,P_2)=\mathcal U(f,P)
-$$
-
+$
 by the definition of $\mathcal U$.
 Thus,
 
 $$
-\int_a^bf\,dx\le\mathcal U(f,P)=\int_a^cf\,dx+\int_c^bf\,dx+\epsilon.
+\int_a^bf\,dx\le\mathcal U(f,P)=\mathcal U(f,P_1)+\mathcal U(f,P_2)\lt\int_a^cf\,dx+\int_c^bf\,dx+\epsilon.
 $$
 
 Since $\epsilon$ was arbitrary,
@@ -546,7 +546,7 @@ $$
 \int_a^bf\,dx\le\int_a^cf\,dx+\int_c^bf\,dx.
 $$
 
-An analogous argument can be applied to $\mathcal L$ so that the converse inequality also hold.
+An analogous argument can be applied to $\mathcal L$ instead of $\mathcal U$ so that the converse inequality also holds.
 Therefore
 
 $$
@@ -563,12 +563,12 @@ Apply (a) and (b) again to concluce that
 
 $$fg=\frac14\left[(f+g)^2-(f-g)^2\right]$$
 
+is integrable.
+
 <a href="#" class="btn btn--primary">proof - f</a>
 
 Apply Lemma 1 where $\phi(t)=\lvert t\rvert$.
 
-is integrable.
-
 <a href="#" class="btn btn--primary">proof - g</a>
 
 Apply (c).
@@ -590,7 +590,7 @@ If $f:[a,b]\to\mathbb R$ is bounded and monotonic, then $f$ is integrable.
 
 <a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
 Suppose first that $f$ is monotonically increasing.
-For an integer $N\gt0$, let the partition $P_N$ be defined by
+For an integer $N\gt0$, let $P_N$ be a uniform partition on $[a,b]$ ;
 
 $$
 P_N=\left(a+j\frac{b-a}n:n=0,1,\cdots,N\right)
@@ -617,38 +617,15 @@ Therefore, $f$ is integrable too.
 
 <div class="notice--success" markdown="1">
 <b> Proposition 4 </b>
-Suppose that $f:[a,b]\to\mathbb R$ is bounded, that $a\lt c\lt b$ and that for any $\delta\gt0$ such that $\delta\lt\max\\{c-a,b-c\\}$, $f$ is integrable both on $[a,c-\delta]$ and $[c+\delta,b]$.
+Suppose that $f$ is a bounded function on $[a,b]$, that $a\lt c\lt b$ and that for any $\delta\gt0$ such that $\delta\lt\max\\{c-a,b-c\\}$, $f$ is integrable both on $[a,c-\delta]$ and $[c+\delta,b]$.
 Prove that $f$ is integrable on $[a,b]$.
 </div>
 
-<div class="notice--info" markdown="1">
-너무나도 간단한 종류의 lemma이다.
-그런데 이걸 증명하는 데 왜 오래 걸렸을까.
-
-Stein의 증명은 따라가기 싫었다.
-불연속함수에 대해서는 아직 적분이 정의될 수 없는데 마치 정의된 것처럼 쓴 것 같다.
-그렇다면 그렇게 abusing notation한 부분에 대해서는 적절히 독자가 판단하리라고 생각한 것 같은데, 읽기가 싫었다.
-그래서 혼자 증명해본거지만, Stein의 증명과 그 원리는 같을 것이다.
-
-step function($=f^\ast$)으로 원래 함수를 approximate할 수 있다는 건 당연하다.
-르벡적분에서도 항상 하던거다.
-그런데 이 step function이 연속이 아니니까 연속으로 만들어주는 과정이 있고, 만들어진 연속함수($f_k$)가 approximation 조건을 만족하는지만 따지면 되는 것이고, 그건 $\delta$를 작게 잡으면 boundedness로부터 당연히 해결될 문제라 오래 걸릴 일은 아니고 근본적으로 너무 쉬운 문제이다.
-상세한 사항들을 일일이 적으려 하다 보니 오래 걸린 것 같다.
-그 상세한 사항들이 맞는지 확인하는 것은 물론 중요하지만, 그렇게 꼼꼼히 따지는 과정에서 오히려 풀고자 하는 목적에 온전히 힘을 쏟지 못하는 느낌이다.
-그리고, 꼼꼼히 쓴다고 썼는데, 사실 오타가 있을 수도 있는 노릇이다.
-
-$f$가 실함수일 때에 대해서는 다 증명이 되었고, 복소함수일 때도 주요한 점은 증명이 되었지만 $\lvert f_k\rvert\le B$의 증명이 잘 안된다.
-bounded인 건 분명한데 upper bound를 $B$로 잡을 수 있는지 모르겠다.
-아니 잡을 수 있을 것 같은데, 증명방법을 모르겠다.
-이 부분은 미완성으로 남겨놓은 채 일단 넘어가려고 한다.
-여하튼, 이것으로 A1의 1절은 마친 셈이 되었다.
-
-</div>
-
 <a href="#" class="btn btn--primary">proof</a>
+Suppose first that $f$ is real valued.
 Since $f$ is bounded, $\lvert f\rvert\le M$ for some $M$.
 Fix $\epsilon\ge0$.
-Choose $\delta$ so that $2M\cdot2\delta\lt\frac\epsilon3$.
+Choose $\delta\gt0$ so that $2M\cdot2\delta\lt\frac\epsilon3$ and $\delta\lt\max\\{c-a,b-c\\}$.
 Choose two partitions $P_1$ on $[a, c-\delta]$ and $P_2$ on $[c+\delta,b]$ so that
 
 $$
@@ -675,9 +652,13 @@ $$
 $$
 
 Therefore, $f$ is integrable on $[a,b]$.
+
+Suppose now that $f$ is complex valued so that $f=u+iv$.
+For any $\delta\gt0$ such that $\delta\lt\max\\{c-a,b-c\\}$, $u$ and $v$ are integrable both on $[a,c-\delta]$ and $[c+\delta,b]$.
+Thus $u$ and $v$ are integrable on $[a,b]$ and so is $f$.
 <a href="#" class="btn btn--primary">QED</a>
 
-$f$ is a function on the unit circle if it is a $2\pi$-periodic function on $\mathbb R$.
+$f$ is a *function on the unit circle* if it is a $2\pi$-periodic function on $\mathbb R$.
 
 <div class="notice--success" markdown="1">
 <b> Lemma 5 </b>
@@ -688,6 +669,28 @@ $$\lim_{k\to\infty}\int_{-\pi}^\pi\lvert f-f_k\rvert\,dx=0.$$
 
 </div>
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+너무나도 간단한 종류의 lemma이다.
+그런데 이걸 증명하는 데 왜 오래 걸렸을까.
+
+Stein의 증명은 따라가기 싫었다.
+불연속함수에 대해서는 아직 적분이 정의될 수 없는데 마치 정의된 것처럼 쓰고 있다.
+그렇다면 그렇게 notation abusing이 일어난 부분에 대해서는 적절히 독자가 판단하리라고 생각한 것 같은데, 그렇게 하기가 싫었다.
+그래서 혼자 증명해본 것이지만, Stein의 증명과 그 형태는 거의 같다.
+
+step function($=f^\ast$)으로 원래 함수를 approximate할 수 있다는 건 당연하다.
+르벡적분에서도 항상 하던거다.
+그런데 이 step function이 연속이 아니니까 연속으로 만들어주는 과정이 있고, 만들어진 연속함수($f_k$)가 approximation 조건을 만족하는지만 따지면 되는 것인데, 그건 $\delta$를 작게 잡으면 boundedness로부터 당연히 해결될 문제라 근본적으로 너무 쉬운 문제이다.
+상세한 사항들을 일일이 적으려 하다 보니 오래 걸린 것 같다.
+그 상세한 사항들이 맞는지 확인하는 것은 물론 중요하지만, 그렇게 꼼꼼히 따지는 과정에서 오히려 해결고자 하는 목적에 온전히 힘을 쏟지 못한 느낌이다.
+
+$f$가 실함수일 때에 대해서는 다 증명이 되었고, 복소함수일 때도 주요한 점은 증명이 되었지만 $\lvert f_k\rvert\le B$의 증명이 잘 안된다.
+bounded인 건 분명한데 upper bound를 $B$로 잡을 수 있는지 모르겠다.
+아니 잡을 수 있을 것 같은데, 증명방법을 모르겠다.
+이 부분은 미완성으로 남겨놓은 채 일단 넘어가려고 한다.
+여하튼, 이것으로 A1의 1절은 마친 셈이 되었다.
+</div>
+
 Note that $f(-\pi)=f(\pi)$.
 Suppose first that $f$ is real valued.
 
@@ -719,24 +722,26 @@ f^\ast(x) = M_j.
 $$
 
 Note that $f^\ast$ is not continuous.
-Choose $\delta\gt0$ such that $4NB\delta\lt\frac1{2k}$ and $\delta\lt\min\\{\frac{x_j-x_{j-1}}2,x_1-x_0,x_N-x_{N-1}\\}$.
-Relax $f^\ast$ at each point $x_j$ to make it continuous by defining $f_k$ as
+Choose $\delta\gt0$ such that $4NB\delta\lt\frac1{2k}$ and $\delta\lt\min\left\\{\frac{x_j-x_{j-1}}2 : j=1,\cdots,N\right\\}$.
+Relax $f^\ast$ at each point $x_j$ to make it continuous by defining $f_k$ on $[-\pi,\pi)$ as
 
 $$
 f_k(x)=
 \begin{cases}
-M_k                                                     
+M_j
 &\text{if}\quad x_{j-1}+\delta\le x\lt x_j-\delta\quad\text{for}\quad j=1,\cdots,N\\[10pt]
 \frac{M_{j+1}-M_j}{2\delta}(x-x_j)+\frac{M_j+M_{j+1}}2  
 &\text{if}\quad x_j-\delta\le x\lt x_j+\delta\quad\text{for}\quad j=1,\cdots,N-1\\[10pt]
 \frac{M_1-M_N}{2\delta}(x-x_0)+\frac{M_N+M_1}2          
-&\text{if}\quad x_0\le x\lt x_0+\delta\quad\text{or}\quad x_N-\delta\le x\lt x_N
+&\text{if}\quad x_0\le x\lt x_0+\delta\quad\\[10pt]
+\frac{M_1-M_N}{2\delta}(x-x_N)+\frac{M_N+M_1}2          
+&\text{if}\quad x_N-\delta\le x\lt x_N
 \end{cases}
 $$
 
 ![lemma_5-2]({{site.url}}\images\2024-10-25-Fourier_A1\lemma_5-2.png){: .img-50-center}
 
-Let $\tilde P_k=P_k\cup(x_j-\delta:j=1,\cdots,N)\cup(x_j+\delta:j=0,\cdots,N-1)$.
+Let $\tilde P_k=(x_j-\delta:j=1,\cdots,N)\cup(x_j+\delta:j=0,\cdots,N-1)$.
 Then, by (5-1) and the related conditions above,
 
 $$
@@ -747,15 +752,15 @@ $$
 &+\sum_{j=1}^{N-1}\sup_{x_j-\delta\le x\le x_j+\delta}\lvert f(x)-f_k(x)\rvert\cdot2\delta\\
 &+\sup_{x_0\le x\le x_0+\delta}\lvert f(x)-f_k(x)\rvert\cdot\delta
 +\sup_{x_N-\delta\le x\le x_N}\lvert f(x)-f_k(x)\rvert\cdot\delta\\
-\lt&\sum_{j=1}^N\sup_{x_{j-1}+\delta\le x\le x_j-\delta}\lvert f(x)-M_j\rvert
+\lt&\sum_{j=1}^N\sup_{x_{j-1}+\delta\le x\le x_j-\delta}\lvert f(x)-M_j\rvert(x_j-x_{j-1})
 +2B\cdot2\delta\cdot(N-1)+2\delta B+2\delta B\\
 \lt&\frac1{2k}+4NB\delta\\
 \lt&\frac1k
 \end{aligned}
 \tag{5-2}
 $$
 
-The domain of so defined $f_k$ can be extended to $\mathbb R$ by making it $2\pi$-periodic and it is bounded by $B$ as the construction of $f_k$ suggests.
+The domain of so defined $f_k$ can be extended to $\mathbb R$ by making it $2\pi$-periodic and it is bounded by $B$ by the construction of $f_k$.
 Finally, the limit of the right hand side of (5-2) converges to $0$ as $k\to\infty$ by the comparison test.
 
 Suppose now that $f$ is complex valued so that $f=u+iv$.