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Author: govin08

_posts/2024-10-05-Fourier_1.md

@@ -28,7 +28,8 @@ toc: true
 그런데 내용을 읽다보면, 본문에서는 다루지 않고 증명하지 않는 여러 기초적인 문제들이 있다.
 이 문제들은 당연히 3절에 위치해있다.
 나는 이 포스트의 3절에 해당되는 문제들을 다 풀어보았다.
-그리고 4절은 보지 않을 예정이다.
+그리고 4절은 보지 않을 예정이므로 이 포스트에서도 제외했다.
+다만, 추가적으로 기록할 만한 내용이 있어 4절로 Appendix를 적었다.
 
 본문(1절과 2절)의 내용들은 잘 설명되어 있지만, 일부는 자세히 설명되어 있는 반면, 또 일부는 너무 많은 것들이 생략되어 설명되어 있다.
 따라서 본문의 내용들을 적당히 요약하면서, 또 설명이 빠져있는 부분들은 채워가려 했다.
@@ -38,21 +39,49 @@ toc: true
 본문을 이해하기 위해 A4용지에 계산한 많은 수식들이 모두 날아가기보다는 이렇게 블로그에 남아있는 편이 훨씬 더 나을 것이다.
 다만, 예쁘게 쓰거나 문법에 맞게 쓰는 것보다는 일단 진도를 나가고 공부를 하는 것이 더 중요하므로, 오탈자를 자세히 검수하진 못할 것 같다.
 
+기본적으로 영어로 썼지만, 중간중간에 한국어로 주석이나 설명 같은걸 달고 싶은 경우가 있었다.
+그리고 remark 정도로 용어의 의미에 대해 부연하고 싶을 때가 있었다.
+또한 각 절의 맨 앞부분에 해당 절의 내용을 요약하여 한국어로 적고 싶었다.
+그럴 때에는 (minimal mistakes의 기능인) info 타입의 NOTICE TEXT BLOCK 을 사용했다 (하늘색 배경).
+<!-- <div class="notice--info" markdown="1"> -->
+중요한 정의나 정리를 나타낼 때에는 success 타입의 NOTICE TEXT BLOCK 을 사용했다 (연두색 배경).
+<!-- <div class="notice--success" markdown="1"> -->
+연습문제에서 증명의 끝이 어디인지 표시하려면 QED로 하면 되고, 사실 QED를 쓰지 않더라도 어디가 끝인지 명확하지만 어디서부터가 증명인지 확실하지 않았다.
+증명의 시작을 나타내는 데에는 primary 타입의
+BUTTON을 사용했다 (파랑색).
+<!-- <a href="#" class="btn btn--primary">proof</a> -->
+
+
 <!--
 # : chapter 단위. 각 md파일마다 하나씩만
 - 1. chapter_title
 ## : section 단위.
 - 1 section_title
 ### : subsection 단위 
 - 1.1 subsection_title
-#### : paragraph 단위
+(no heading) : paragraph 단위
 - Simple harmonic motion
 -->
 
 # Chapter 1. The Genesis of Fourier Series
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+1장에는 Fourier Series에 대한 설명을 introductory하게 하고있다.
+모든 증명을 하고 있지 않고, 아주 엄밀하게는 설명하고 있지 않다.
+</div>
+
 ## 1. The vibrating string
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+1절에서 다루는 내용은 파동방정식(wave equation)이다.
+먼저 가장 기본이 되는 simple harmonic motion이 언급된다.
+파동(wave), 조금 더 정확하게는, 양 끝이 고정된 줄의 모양은, 수평변위($x$)와 시간($t$)에 대한 수직변위($y$)의 함수 $y=u(x,t)$로 나타내어질 수 있다.
+이 파동을 정상파(standing wave)와 traveling wave의 두 가지 타입으로 모델링하고 있는 것으로 보인다.
+standing wave는 주어진 함수 $u(x,t)$의 변수 $x$, $t$를 분리하여 $u(x,t)=\phi(x)\psi(t)$로 두는 방식으로 파동이 주어진 파동모양을 기준으로 진폭만 시간에 따라 바뀐다는 생각에 기반한다.
+traveling wave는 파동이 주어진 파동모양이 좌우로 이동한다는 생각에 기반한다.
+그밖에 파동의 중첩에 대해서도 간단히 언급된다.
+</div>
+
 <p class="text-size-12">Simple harmonic motion</p>
 
 Consider a mass $m$ attached to a horizontal spring.
@@ -103,6 +132,13 @@ This wave moves rightward if $c\gt0$ where $c$ can be thought of as the velocity
 
 ### 1.1 Derivation of the wave equation
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+1.1절에서는 파동방정식을 유도해본다.
+줄을 공간적으로 infinitesimal하게 나누고, 시간적으로도 바로 다음 순간의 상태를 고려한다.
+줄의 한 부분(particle)이 받는 힘들을 계산하고 그 알짜힘에 의해 다음 순간에 바뀌는 위치를 계산하여 방정식을 만들 수 있다.
+이때 공간적인 간격 $\Delta x$와 시간적인 간격 $\Delta t$를 모두 0으로 보냄으로써 파동방정식 $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$이 유도된다.
+</div>
+
 Consider a horizontal string of length $L$.
 For sufficiently large integer $N$, subdivide the string into $N$ *particles* evenly.
 $n$-th particle at $x=x_n=\frac nNL$ move vertically only.
@@ -159,6 +195,24 @@ $$
 
 ### 1.2 Solution to the wave equation
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+1.2절에서는 파동방정식의 해를 구하는데 traveling wave와 정상파(standing wave)의 두 가지 방법을 사용해서 해본다.
+조금 더 정확하게는 경계조건(boundary condition)과 초기조건(파동의 초기모양, 파동의 초기 속도)까지 포함된 문제에서의 해를 구하는데
+traveling wave와 정상파(standing wave)의 두 가지 방법을 사용해서 해본다.
+<br><br>
+traveling wave의 방법은 $u(x,t)$가 적절한 함수 $F$, $G$에 대하여 $u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)$로 표현될 수 있음에 기반한다.
+이때 적절한 변수변환이 사용된다.
+여기에 경계조건과 초기조건을 적용시키면 $F$와 $G$를 특정할 수 있는 것이다.
+달랑베르(D'Alembert)와 오일러(Euler)가 각각 1747년, 1748년에 traveling wave를 사용하여 파동방정식을 풀어냈다고 되어 있다.
+<br><br>
+정상파의 방법은 파동방정식의 양변을 각각 분리된 두 변수 $x$와 $t$로만 표현시키고 이를 simple harmonic motion에서 나온 미분방정식으로 만들어서 푼다.
+이를 통해 보면 사인과 코사인 (혹은 지수함수쌍)으로 이루어진 함수들이 특정한 해인 것을 유도할 수 있고, 이 해들로 중첩한 것이 일반해인 것을 가정한다.
+중첩에 사용되는 계수들(Fourier coefficient)은 초기조건으로부터 특정할 수 있는데, 이때 간단한 적분을 통해 얻을 수 있다.
+이러한 모든 이야기가 성립하기 위해서는, 어떤 함수 $f$가 주어졌을 때, 그 함수를 sine series와 cosine series 로 표현하는 것이 가능해야 한다.
+이 문제는 이 책 전반에서 다루어질 중요한 질문이라는 점이 강조되어 언급된다.
+이러한 정상파의 방법은 traveling wave의 방법보다 더 일반적이고 더 많은 활용을 가능하게 하며, 푸리에(Fourier)가 1807년에 발전시켰다.
+</div>
+
 <!-- There are two kinds of solution to the wave equation ; -->
 We can get two kinds of solution to the wave equation ;
 (1) using traveling waves
@@ -531,6 +585,11 @@ Such $a_n$ is called the *Fourier coefficient* of $F$.
 
 ### 1.3 Example : The plucked string
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+1.3절에서는 간단하지만 nontrivial한 예제에 대해 이 문제를 적용해본다.
+계산을 통해 정상파의 방법으로 wave equation 문제를 풀어낼 수 있고, 이 해가 traveling wave의 방법에서 제시한 형태의 해와도 일맥상통함을 알 수 있다.
+</div>
+
 Consider the case when the initial string is located as the two line segments
 
 $$
@@ -572,8 +631,14 @@ Note that the function $f$ in the last expression is the extended version (on $\
 ### 2.1 Derivation of the heat equation
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
-책의 내용이 잘 이해가 가지 않아서, 따로 찾아보았고 별도로 유도해보았다.
-<a href="http://www-personal.umd.umich.edu/~adwiggin/TeachingFiles/FourierSeries/Resources/HeatEquationDerivation.pdf"> 미시건 대학교 자료</a>가 굉장히 이해가 잘 되게 설명되어 있어서 이 자료를 가장 많이 참고했다.
+여기에서는 2차원의 열방정식(heat equation)을 유도해본다.
+이차원 평면을 생각하고, 이 이차원 평면의 임의의 위치 $(x,y)$와 임의의 시간 $t$에서의 온도를 함수 $u(x,y,t)$로 표현할 수 있다.
+이 $u$가 만족시켜야 할 방정식을 열역학의 기본적인 식들을 통해 찾아내본다.
+이번에도 infinitesimal하게 작은 평면의 한 조각을 생각하고, 그 조각의 온도변화를 조각의 경계로부터 출입하는 열에너지들의 합으로 표현하는 것이다.
+여기에 극한을 취하면 열방정식인 $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$을 얻을 수 있다.
+<br><br>
+하지만 본문의 내용을 읽다가 내용이 잘 이해되지 않아서, 따로 찾아보았고 별도로 유도해보았다.
+<a href="http://www-personal.umd.umich.edu/~adwiggin/TeachingFiles/FourierSeries/Resources/HeatEquationDerivation.pdf"> 미시건 대학교 자료</a>가 굉장히 쉽고 간결하게 설명되어 있어서 이 자료를 가장 많이 참고했다.
 이 자료에서 Fourier's law가 소개되고 사용되고 있는데, 사실 Stein의 책과 다른 자료들에서도 Fourier's law는 기본으로 깔고 시작하는 것 같다.
 Fourier's law의 의미는 대충 알겠지만, 정확한 의미를 잘 모르겠어서 그냥 <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conduction#Overview">열전도공식</a>인 $\kappa A\Delta T/l$ 만을 참고하여 heat equation을 유도해보았다.
 one dimensional heat equation은 미시건 대학교 자료로 거의 설명이 가능했지만, 이차원에서는 관련된 설명을 쉽게 찾을 수 없었다.
@@ -693,15 +758,15 @@ $$
 
 <div class="notice--info" markdown="1">
 책의 내용을 이해했다.
-처음에 열에너지($H$)를 정의하는 식은 이해가 안간다.
+하지만 처음에 열에너지($H$)를 정의하는 식은 이해가 안간다.
 아마도 대학교 수준의 열역학을 이해해야 알 수 있을 듯하다.
-하지만 이 식을 정의로서 받아들이고 논리를 전개해나가면 내가 했던 것과 같은 결과가 나온다.
-이 과정에서 Newton's law를 사용하는데 이것은 미시건 대학교 자료 및 위키피디아에서의 Fourier's law에 해당하는 듯하다.
+그렇지만 이 식을 정의로서 받아들이고 논리를 전개해나가면 내가 했던 것과 같은 결과가 나온다.
+이 과정에서 Newton's law of cooling을 사용하는데 이것은 미시건 대학교 자료 및 위키피디아에서의 Fourier's law에 해당하는 듯하다.
 내가 증명한 과정에서 이 법칙은 거의 증명한 셈이므로 참이라고 상정하고 받아들여도 될 것이다.
 <br><br>
 생각과는 달리 flux 및 divergence theorem이 직접적으로 나오지는 않았다.
 열에너지($H$)를 정의하면서 이중적분이 나올 뿐이다.
-하지만, 계산 중에 나오는 $\frac{\partial H}{\partial t}$에서 $h\to0$를 하면 divergence의 의미와 거의 같다.
+하지만, 계산 중에 나오는 $\frac{\partial H}{\partial t}$에서 $h\to0$를 하면 divergence의 의미와 거의 같고, heat equatoin을 유도하는 방식 또한 divergence theorem에서 의미하는 바와 비슷하다.
 </div>
 
 <p class='text-size-12'> two dimensional heat equation : Stein's book </p>
@@ -802,6 +867,12 @@ This is called the **(time dependent) heat equation**.
 
 ### 2.2 Steady-state heat equation in the disc
 
+<div class="notice--info" markdown="1">
+이 절에서는 열방정식에 경계조건을 추가한 문제를 풀어본다.
+경계가 단위원일 경우는 디리클레 문제(Dirichlet problem)라고 부르는데 이 문제를 극좌표계를 사용한 문제로 변환하고, 변수분리를 적용하여 합당한 해를 추정해본다.
+최종적으로 얻어지는 해는 파동방정식을 정상파의 방법으로 푼 해와 그 형태가 비슷하다.
+</div>
+
 As time passes by, the temperature at each point might converge to some equilibrium temperature.
 In this steady state, we can assume $\frac{\partial u}{\partial t}=0$.
 The heat equation then becomes,
@@ -1367,7 +1438,7 @@ The second integrand does too if $m\ne n$, while if $m=n$, the integrand is $1$
 
 $$
 -\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(n+m)x\,dx
-+\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(n-m)x\.dx
++\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(n-m)x\,dx
 $$
 
 Again, the first term always vanishes and the second one equals $0$ if $m\ne n$ and $1$ if $m=n$.
@@ -2006,19 +2077,24 @@ ar^2+br+c=0.\tag2
 $$
 
 Here is a theorem :
-<div class="notice--success" markdown="1">>
-
+<div class="notice--success" markdown="1">
 If the characteristic equation (2) has two distinct real roots $r_1$ and $r_2$, then the general solution to (1) is given by
+
 $$
 y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}.
 $$
+
 If (2) has a single (repeated) root  $r$, then the general solution to (1) is given by
+
 $$
 y=(c_1x+c_2)e^{rx}.
 $$
-If (3) has imaginary roots $\alpha\pm\beta i$, then the general solution to (1) is given by
+
+If (2) has imaginary roots $\alpha\pm\beta i$, then the general solution to (1) is given by
+
 $$
 y=e^\alpha(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x).
 $$
+
 In the above solutions, $c_1$ and $c_2$ are arbitrary constants.
 </div>